2024年高中数学新高二暑期培优讲义第07讲 直线的倾斜角与斜率 （教师版）

第第页第07讲直线的倾斜角与斜率【题型归纳目录】题型一：直线的倾斜角与斜率定义题型二：斜率与倾斜角的变化关系题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数题型四：直线与线段相交关系求斜率范围题型五：直线平行题型六：直线垂直题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用【知识点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与SKIPIF1<0轴相交的直线，如果把SKIPIF1<0轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做直线的倾斜角．规定：当直线和SKIPIF1<0轴平行或重合时，直线倾斜角为SKIPIF1<0，所以，倾斜角的范围是SKIPIF1<0．知识点诠释：1、要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②SKIPIF1<0轴正向；③小于SKIPIF1<0的角．2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由SKIPIF1<0轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．3、倾斜角SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，直线与x轴平行或与x轴重合．4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．知识点二：直线的斜率1、定义：倾斜角不是SKIPIF1<0的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)当直线SKIPIF1<0与x轴平行或重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)直线SKIPIF1<0与x轴垂直时，SKIPIF1<0，k不存在．由此可知，一条直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直线的倾斜角SKIPIF1<0与斜率SKIPIF1<0之间的关系由斜率的定义可知，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内时，直线的斜率大于零；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内时，直线的斜率小于零；当SKIPIF1<0时，直线的斜率为零；当SKIPIF1<0时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(SKIPIF1<0除外)为一一对应关系，且在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．知识点三：斜率公式已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直，过两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直线的斜率公式SKIPIF1<0．知识点诠释：1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当SKIPIF1<0时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴垂直；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的顺序无关，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率SKIPIF1<0可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当SKIPIF1<0时，斜率SKIPIF1<0，直线的倾斜角SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0点的坐标求SKIPIF1<0的值；(2)已知SKIPIF1<0及SKIPIF1<0中的三个量可求第四个量；(3)已知SKIPIF1<0及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的横坐标(或纵坐标)可求SKIPIF1<0；(4)证明三点共线．知识点四：两直线平行的条件设两条不重合的直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相等．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因此，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．反之，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点诠释：1、公式SKIPIF1<0成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0不重合；2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，SKIPIF1<0的倾斜角都是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点五：两直线垂直的条件设两条直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点诠释：1、公式SKIPIF1<0成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．【典例例题】题型一：直线的倾斜角与斜率定义例1．对于下列命题：①若SKIPIF1<0是直线l的倾斜角，则SKIPIF1<0；②若直线倾斜角为SKIPIF1<0，则它斜率SKIPIF1<0；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：若SKIPIF1<0是直线的倾斜角，则SKIPIF1<0；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，它的斜率SKIPIF1<0；倾斜角为SKIPIF1<0时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为SKIPIF1<0时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.题型二：斜率与倾斜角的变化关系例2．直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意知,若a=0

,则倾斜角为SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”)，②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，故选：C.例3．若过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0的倾斜角为锐角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数例4．若过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为150°，则SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【解析】因为过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为150°，所以直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.例5．若直线经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且其倾斜角为135°，则m的值为(

)A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的斜率为SKIPIF1<0，又直线的倾斜角为135°，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D题型四：直线与线段相交关系求斜率范围例6．已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,结合图形可知：直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与线段SKIPIF1<0相交时，SKIPIF1<0，故选：B例7．已知两点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与线段SKIPIF1<0有交点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意：如下图所示：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.题型五：直线平行例8．已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当SKIPIF1<0时，m＝_________【答案】1【解析】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0斜率一定存在，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两条不同的直线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：1例9．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，则需满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型六：直线垂直例10．直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是______．【答案】垂直【解析】①当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率不存在，因此SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．此时直线SKIPIF1<0的斜率不存在，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：垂直.例11．已知两条直线SKIPIF1<0的斜率是方程SKIPIF1<0的两个根，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是______【答案】垂直【解析】解析由方程SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0恒成立.故方程有两相异实根，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0均存在.设两根为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：垂直例12．已知直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为________________.【答案】0或5【解析】因为直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率存在，而SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则其斜率可能不存在，当SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的斜率为0，则SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0的斜率存在时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的斜率均存在，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用例13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以构成平行四边形，求点SKIPIF1<0的坐标；(2)在(1)的条件下，判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成的平行四边形是否为菱形.【解析】(1)由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.若四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.若四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.若四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.综上，点SKIPIF1<0的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2).(2)若SKIPIF1<0的坐标为(-1，6)，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平行四边形SKIPIF1<0为菱形.若SKIPIF1<0的坐标为(7，2)，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平行四边形SKIPIF1<0不是菱形.若SKIPIF1<0的坐标为(3，-2)，因为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率不存在，所以平行四边形SKIPIF1<0不是菱形.因此，平行四边形SKIPIF1<0为菱形,平行四边形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不是菱形.【过关测试】一、单选题1．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0(

)A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．2．已知坐标平面内三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一动点，则直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0的变化范围是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图所示，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一动点，所以直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0的变化范围是SKIPIF1<0.故选：D.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：D.二、填空题4．已知直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为________________.【答案】0或5【解析】因为直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率存在，而SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则其斜率可能不存在，当SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的斜率为0，则SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0的斜率存在时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的斜率均存在，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.5．直线l的斜率为k，且SKIPIF1<0，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图：当直线l的斜率SKIPIF1<0，直线l的倾斜角的取值范围为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．若实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则代数式SKIPIF1<0的取值范围为______【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，可表示点SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0连线的斜率，由图象可知，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率；(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0(包括端点)上移动时，求直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围.【解析】(1)由斜率公式可得直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0.(2)如图所示，当点SKIPIF1<0在AB上运动时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率由负无穷增大到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0增大到正无穷大，所以直线SKIPIF1<0的斜率的变化范围是SKIPIF1<0.8．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0