2024年高中数学新高二暑期培优讲义第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（教师版）

第第页第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：坐标法题型三：基底法题型四：几何意义法【知识点梳理】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1、定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论2、坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3、基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4、几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0(2)(1)(2)两式相加得：SKIPIF1<0知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．【典例例题】题型一：定义法例1．如图，在SKIPIF1<0中，M为线段SKIPIF1<0的中点，G为线段SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，过点G的直线分别交直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于P，Q两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．9【答案】B【解析】因为M为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号.故选：B.例2．已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点(不包括端点)，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号.故选：D.题型二：坐标法例3．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若点M是SKIPIF1<0所在平面内的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，依题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.例4．已知梯形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一点，则SKIPIF1<0的最小值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一点，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0.故选：A.题型三：基底法例5．已知SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为(

)A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】A【解析】如图所示，过点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②，由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最大值为2.故选：A．题型四：几何意义法例6．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为(

)A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故由向量加减的三角形法则可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0构成三角形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角等于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.【过关测试】一、单选题1．如图，在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P在边BC上，且满足SKIPIF1<0(m，n均为正数)，则SKIPIF1<0的最小值为(

)

A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得·，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D2．平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值的最大值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0两边平方得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取等号.则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值的最大值SKIPIF1<0.故选：A.3．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若平面区域D由所有满足SKIPIF1<0的点P组成(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，则SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D4．如图所示，边长为2的正SKIPIF1<0，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧SKIPIF1<0，点P在圆弧上运动，则SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交半圆弧于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，而SKIPIF1<0是正三角形，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，当点P在弧SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，当点P在弧SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B5．如图，正方形SKIPIF1<0的边长为2，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0点在正方形内部及边上运动，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示，以点SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0.故选：B.6．如图所示，矩形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是圆弧SKIPIF1<0(含端点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0上的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】以点SKIPIF1<0为原点，以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D.7．已知平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，点P在线段CD上(不包含端点)，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0的垂线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的坐标系，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0