第9章 第1课时　两个计数原理、排列与组合-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：事件的独立性、条件概率、二项分布、期望．以实际问题为背景，借助分布列及其期望对实际问题作出决策．2．轮考点：计数原理、古典概型、二项式定理、正态分布．计数原理常与古典概型结合命题；二项式定理主要考查通项公式及其原理；对正态分布的考查，可能单独考查也可能在解答题中出现.第1课时两个计数原理、排列与组合[考试要求]1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．1．两个计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组3．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式Anm＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－mCnm＝AnmAmm＝1m！[n(n－1)·(性质Ann＝n！Cnn＝1，C[常用结论]排列数、组合数常用公式1Anm2Anm(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.4kCnk＝5Cn一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． ()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ()[答案](1)×(2)√(3)√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2A．12条 B．15条C．18条 D．72条C[若路线为甲乙丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲丙丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C.]2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为()A．52 B．56C．48 D．72A[当个位为0时，共有A52＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有A21A3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．16[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有4．(易错题)(人教A版选择性必修第三册P12习题6.1T81024625[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45＝1024(种)不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54＝625(种)获得冠军的可能性．]考点一两个计数原理及综合应用[典例1](1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9(2)(2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有()A．1050种 B．1260种C．1302种 D．1512种(3)(2023·山东济南二模)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共________个(用数字作答)．(1)B(2)C(3)240[(1)由题意可知E到F共有6条最短路径，F到G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．(2)由题意可得，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择；当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋1×6)＝1302种．故选C.(3)a，b，c为取自0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的不同的三个数字，最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为2×C103＝2[拓展变式]若本例(1)中CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．26[先假设CD是实线，则从E到G，向上3次，向右4次，最短路径有C74＝35(条)，其中经过CD的，即先从E到C，然后C到D，最后D到G的最短路径有3×3＝9(条)，所以当利用两个基本计数原理解决问题的步骤提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析．[跟进训练]1．(1)(2024·山东菏泽模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为()A．288种 B．336种C．576种 D．1680种(2)(2023·南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法种数为()A．144种 B．73种C．48种 D．32种(3)3600有________个正约数．(1)B(2)C(3)45[(1)第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有4×3×2＝24(种)，第二步，排黑车，若白车选AF，则黑车有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7＝14(种)，根据分步乘法计数原理，共有24×14＝336(种)．故选B.(2)先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后再对区域A，D涂色，有两种情况：①若区域A，D同色，有2种情况；②若区域A，D不同色，有2×1＝2(种)情况．综上所述，不同的涂法种数为4×3×(2＋2)＝48(种)．故选C.(3)3600＝24×32×52，其中24的约数有1，2，22，23，24，共5个；32的约数有1，3，32，共3个，52的约数有1，5，52，共3个，所以3600的正约数有5×3×3＝45(个)．]【教师备选资源】在一块并排10垄的田地中，种植作物时每种作物种植一垄，相邻的垄不种同一种作物，现有3种作物可选，则有________种种植方法；若3种作物必须都种，则有________种种植方法；若只在其中2垄种植其中的A，B两种作物，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则有________种种植方法．1536153012[3种作物任选时，种植第1垄有3种选择，第2垄有2种选择，后面的垄只需与前一垄不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1536(种)种植方法.3种作物都选时，只需排除只用2种作物完成种植的情况，共有1536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1530(种)种植方法．两种作物的间隔不小于6垄时，分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种方法．所以根据分步乘法计数原理，可得有6×2＝12(种)种植方法．]考点二排列、组合问题[典例2](1)(2024·海南模拟)某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一场或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有()A．34种 B．56种C．96种 D．144种(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．(1)C(2)64[(1)由题意知讲座A只能安排在第一场或最后一场，∴有A21＝2(种)结果，∵讲座B和C必须相邻，∴共有A44A22＝48(2)法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C4法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43求解排列、组合应用问题的六种常用方法提醒：先选后排，先组合后排列，恰当的分类，合理的分步．分类标准要明确，做到不重不漏；分步要步步独立，步骤完整．[跟进训练]2．(1)(2024·四川泸县模拟)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是()A．60 B．120C．240 D．360(2)(2023·唐山二模)从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为()A．336 B．252C．216 D．180(3)(2024·浙江平湖模拟)若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”，那么“叔同数”共有________个．(1)C(2)C(3)36[(1)先排甲、乙、丙以外的4个人，再把甲、乙按甲在乙的左边捆好，与丙插两个空位，并去掉顺序，所以不同的排法种数是A4(2)由题意方法数为C83−(3)三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出A33＝6个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出A31＝3个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出A21A22＝4个“叔同数”，有1个0其余2个数为相同的非零数字可排出2个“叔同数”【教师备选资源】(1)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现用选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有()A．56种 B．68种C．74种 D．92种(2)现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有________种．(用数字作答)(3)以长方体ABCD­A1B1C1D1的任意3个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况有________种．(1)D(2)8(3)1468[(1)根据划左舷中“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C63＝20(种)，有1个“多面手”的选派方法有C21(2)先安排甲，其选座方法有C41种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A22种，所以共有坐法种数为(3)因为长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点任意3个均不共线，所以从8个顶点中任取3个均可构成1个三角形，共有C83＝56(个)三角形，从中任选2个，共有C562＝1540(种)情况．因为长方体有六个面，六个对角面，所以8个顶点中四点共面共有12种情况，每个面的4个顶点共确定4个不同的三角形，从这4个三角形中选出两个共有6种情况，故任考点三分组、分配问题[典例3](1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为()A．41种B．56种C．156种D．252种(2)(2023·青岛二模)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有()A．300种 B．210种C．180种 D．150种(1)B(2)D[(1)问题可转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个入团名额所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法，有C8(2)由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有C5分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”；(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以Am[跟进训练]3．(1)甲、乙等4名志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种(2)现有5支救援队前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是()A．72种 B．84种C．88种 D．100种(1)C(2)D[(1)①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有C32A22(2)若甲队去B点，则剩余4队，可只去A，C2个点，也可分为3组去A，B，C3个点．当剩余4队只去A，C2个点时，组数分配为1，3或2，2，此时的分配方法有C4当剩余4队分为3组去A，B，C3个点时，先从4队中选出2队，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有C42·综上可得，甲队去B点，不同的安排方法数是14＋36＝50(种)．同理，甲队去C点，不同的安排方法数也是50(种)，所以不同的安排方法数是50＋50＝100(种)．故选D.]【教师备选资源】1．有3个地区，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师，现将3名支医医生(1男2女)和6名支教教师(3男3女)分配到这3个地区去工作．(1)要求每个地区至少有一名男性，则共有________种不同分配方案；(2)要求每个地区至少有一名女性，则共有________种不同分配方案．(1)324(2)432[(1)要求每个地区至少有一名男性的对立事件是至少有一个地区全是女性，其分配方案有C21C32C42C21A所以要求每个地区至少有一名男性的分配方案有540－216＝324(种)．(2)有一个地区全是男性的分配方案有C11C322．教育部为了发展农村地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．90[先把6个毕业生平均分成3组，有C62C42课时分层作业(六十三)两个计数原理、排列与组合一、单项选择题1．若Cn2AA．60 B．70C．120 D．140D[∵Cn2A解得n＝7或n＝－6(舍去)，∴n！3！n−4！＝72．(2023·广东汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为()A．2563 B．27C．2553 D．6A[分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色．故选A.]3．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A．30种 B．60种C．120种 D．240种C[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C54．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A．120 B．60C．40 D．30B[先从5人中选1人连续两天参加服务，共有C51＝5(种)选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选1人参加星期天服务，共有C45．将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，则不同的分法种数是()A．2 B．10C．5 D．6D[法一：由“挡板法”可知，共有C4法二：若按3，1，1分成3组给3个不同的球迷，有3种不同的方法；若按2，2，1分成3组给3个不同的球迷，也有3种不同的方法．故所有不同的分法种数为3＋3＝6(种)．故选D.]6．(2024年1月九省联考卷)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()A．20种 B．16种C．12种 D．8种B[因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A22种方法，排甲有A2所以有A22②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A22种方法，排甲有A2所以有A2由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法．故选B.]7．(2024·四川成都石室中学期中)学校运动会上，有A，B，C三位运动员分别参加3000m，1500m和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外4名同学参加后勤服务工作(每名同学只能参加一个后勤服务小组)．若甲在A的后勤服务小组，则这五名同学的分配方案种数为()A．44 B．50C．42 D．38B[若A小组只有一人，则5人的分配方案有C42C2若A小组只有两人，则5人的分配方案有C41若A小组恰有三人，则5人的分配方案有C42A所以共有50种.故选B.]8．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种 B．6种C．10种 D．16种B[分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．]9．(2024·西安模拟)如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为()A．18 B．24C．30 D．42A[若3种不同的颜色灯带都使用，故有两块区域涂色相同，要么A，C，要么B，D相同，有2种方案，则不同的信号数为2A若只用2种不同的颜色灯带，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为C3则不同的信号总数为12＋6＝18.故选A.]10．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．420C．729 D．920A[法一：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．法二：分两类：①如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C92个；②如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(C93A22＋C92)个.二、多项选择题11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中劳动模范只有1班有2人，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是()A．若1班不再分配名额，则共有C20B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C19C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法BD[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有C194种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有C195种分配方法，故B正确；对12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是()A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C32D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为CABD[对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有C32A33＋C31C42A33种安排方法，C正确；对于D，