八年级数学-整式的乘法-教案

第十五章整式的乘法15.1.1同底数幂的乘法教学目的：1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义；2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用；教学重点：同底数幂的乘法法则难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程教具与实验：用于拼图的长方形硬纸板一、创设情境，激发求知欲课本第140页的引例二、复习提问1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方2.指出下列各式的底数与指数：(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23．其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？三、讲授新课1．（课本141页问题）利用乘方概念计算：1014×103．计算观察，探索规律：完成课本第141页的“探索”，学生“概括”am×an=…=am+n；3、

观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算；右边的底数与左边相同，指数相加4、

归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。三、实践应用，巩固创新例1、计算：(1)x2·x5(2)a·a6(3)2×24×23(4)xm·x3m+1练习：课本第142页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。

①a6·a6＝2a6

②a2+a4＝a6③a2·a4=a8例2、计算：要点指导：底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处理。例3、

（1）填空：⑴若xm+n×xm-n=x9；则m=；⑵2m=16，2n=8，则2m+n=。四、归纳小结，布置作业小结：1、同底数幂相乘的法则；2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形；3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；4、要注意与加减运算的区别。15.1.2幂的乘方教学目标：（1）经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；（2）了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.教学重点：幂的乘方的运算性质及其应用.教学难点：幂的运算性质的灵活运用.一：知识回顾1．讲评作业中出现的错误2．同底数幂的乘法的应用的练习二：新课引入探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：（1）（32）3=32×32×32=3﹝﹞（2）（a2）3=a2·a2·a2=a﹝﹞（3）（am）3=am·am·am=a﹝﹞（4）（am）n===amn．观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算．引导学生归纳同底数幂的乘法法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（am）n＝amn（m、n都是正整数）．二、知识应用例题：（1）（103）5；（2）（a4）4；（3）（am）2；（4）－（x4）3；说明：－（x4）3表示（x4）3的相反数练习：课本第143页（学生黑板演板）补充例题：（1）（y2）3·y（2）2（a2）6－（a3）4（3）（ab2）3(4)-(-2a2b)4说明：（1）（y2）3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，（y2）3·y=y2×3·y=y6+1=y7；（2）2（a2）6－（a3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以，2（a2）6－（a3）4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12．三幂的乘方法则的逆用．（1）x13·x7=x（）=（）5=（）4=（）10；（2）a2m=（）2=（）m（m为正整数）．练习：1．已知3×9n=37，求n的值．2．已知a3n=5，b2n=3，求a6nb4n的值．3．设n为正整数，且x2n=2，求9（x3n）2的值．四、归纳小结、布置作业小结：幂的乘方法则．15.1.3积的乘方教学目标：（1）经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；（2）了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．教学重点：积的乘方的运算性质及其应用．教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用．教学过程：创设情境，复习导入1．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：（1）（2）（3）（4）2．探索新知，讲授新课（1）(3×5)7 ——积的乘方= ——幂的意义=× ——乘法交换律、结合律=37×57； ——乘方的意义（2）（ab）2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a()b()(3)（a2b3）3=(a2b3)·(a2b3)·(a2b3)=（a2·a2·a2)·(b3·b3·b3)=a()b()(4)(ab)n= ——幂的意义=· ——乘法交换律、结合律=anbn ． ——乘方的意义由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘．即：(ab)n=an·bn二、知识应用，巩固提高例题3计算（1）(2a)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)2；（4）(-2／3x3)4．（5）(－2xy)4（6）（2×103）2说明：（5）意在将(ab)n=anbn推广，得到了(abc)n=anbncn判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？①②③练习：课本第144页三．综合尝试，巩固知识补充例题：

计算：（1）（2）四．逆用公式：，即预备题：（1）（2）例题：（1）0．12516·(－8)17；（2）（2）已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值．（注解）：23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675．四、归纳小结、布置作业作业：习题15.115．1．4整式的乘法（单项式乘以单项式）教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则的探索．教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．教学过程：复习巩固：同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。提出问题，引入新课（课本引例）：光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？说明：（3×105）×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7．单项式乘以单项式的运算法则及应用单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例4（课本例题）计算：（学生黑板演板）（1）（－5a2b）（－3a）；（2）（2x）3（－5xy2）．练习1（课本）计算：（1）3x25x3；（2）4y（－2xy2）；（3）（3x2y）3•（－4x）；（4）（－2a）3（－3a）2．练习2（课本）下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）3a3•2a2=6a6；（2）2x2•3x2=6x4；（3）3x2•4x2=12x2；（4）5y3•y5=15y15．四．巩固提高（补充例题）：1．（-2x2y）·(1/3xy2)2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)3.(2×105)2·(4×103)4.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3)5.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b)6.(-ab3)·(-a2b)37.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z)8.-6m2n·(x-y)3·1/3mn2·(y-x)2五．小结作业方法归纳：积的系数等于各系数的积，应先确定符号。相同字母相乘，是同底数幂的乘法。只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉。单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘单项式的结果仍然是单项式。作业：课本149页315．1．4整式的乘法（单项式乘以多项式）教学目标：经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。教学重点：单项式与多项式相乘的运算法则的探索．教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．教学过程：复习旧知单项式乘单项式的运算法则练习：9x2y3·(-2xy2)(-3ab)3·(1/3abz)合并同类项的知识二、问题引入，探究单项式与多项式相乘的法则（课本内容）：三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：m（a＋b＋c）．另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：ma＋mb＋mc．由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，三．讲解例题1.例题5（课本）计算：（1）（－4x2）（3x+1）；（2）2.补充例题1：化简求值:(-3x)2－2x(x+3)+x·x+2x·(-4x+3)+2007其中：x=2008练习：课本146页1、23.补充练习：计算1．2ab（5ab2+3a2b）；2．（ab2－2ab）·ab；3．－6x（x－3y）；4．－2a2（ab+b2）．5．（-2a2）·(1/2ab+b2)6.(2/3x2y－6xy)·1/2xy27.(-3x2)·(4x2－4/9x+1)83ab·(6a2b4－3ab+3/2ab3)9.1/3xny·(3/4x2－1/2xy－2/3y－1/2x2y)10.(-ab)2·(-3ab)2·(2/3a2b+a3·a2·a－1/3a)四．小结归纳，布置作业：作业：课本第149页415．1．4整式的乘法（多项式乘以多项式）教学目标：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索教学难点：灵活运用法则进行计算和化简．教学过程：mnmnabｂｎｂｍaｍaｎ讲评作业二．创设情景，引入新课（课本）如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（am+an+bm+bn）米2．另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（a+b）（m＋n）米2．由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此（a+b）（m＋n）=am+an+bm+bn．教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a+b）（m＋n）=am+an+bm+bn进行分析，可以把m＋n看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得（a+b）（m＋n）＝a（m＋n）＋b（m＋n），再利用单项式与多项式相乘的法则，得a（m＋n）＋b（m＋n）=am+an+bm+bn．学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．三、应用提高、拓展创新例6（课本）：计算（1）（3x+1）(x+2);(2)(x－8y)(x－y);(3)(x+y)(x2－xy+y2)进行运算时应注意：不漏不重，符号问题，合并同类项练习：（课本）148页12补充例题：(a+b)(a－b)－(a+2b)(a－b)(3x4－3x2+1)(x4+x2－2)(x－1)(x+1)(x2+1)当a=-1/2时，求代数式(2a－b)(2a+b)+(2a－b)(b－4a)+2b(b－3a)的值四．归纳总结，布置作业课本149页515.2.1平方差公式教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．教学重点：平方差公式的推导和应用．教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题．过程：创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1知识复习多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn活动2计算下列各题，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）．再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2．得出平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？图1图2图1中剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2－b2）．在图2中，长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b），所以面积为（a+b）（a－b）．这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=a2－b2．二、知识应用，巩固提高例1计算：（1）（3x＋2）（3x－2）；（2）（－x+2y）（－x－2y）（3）（b+2a）（2a－b）；（4）(3+2a)(－3+2a)练习：加深对平方差公式的理解（课本153页练习1有同种题型）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）（1）（x+1）（1+x）； （2）（a+b）（b－a）；（3）（－a+b）（a－b）；（4）（x2－y）（x+y2）；（5）（－a－b）（a－b）；（6）（c2－d2）（d2+c2）．例题2：计算（1）102×98（2）（y+2）(y-2)－(y－1)(y+5)（3）（a+b+c）(a－b+c)（补充）(4)20042－20032（补充）（5）（a+3）(a－3)(a2+9)（补充）说明：（3）意在说明公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式(4)意在说明公式的逆用练习：课本153页2四、归纳小结、布置作业课本习题156页习题1；515.2.2完全平方公式（第1课时）教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；（2）完全平方公式的应用．教学难点：完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用．教学过程：激发学生兴趣，引出本节内容活动1探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2=（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2=（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．活动2在上述活动中我们发现（a＋b）2＝，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2．（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2．二、问题引申，总结归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2．在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方；（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．活动4你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?三．例题讲解，巩固新知例3：（课本）运用完全平方公式计算（1）（4m+n）2;(2)(y－1/2)2补充例题：运用完全平方公式计算（1）（－x+2y）2； （2）（－x－y）2；(3)(x+y）2－（x－y）2．说明：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；（3）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算．例4：（课本）运用完全平方公式计算（1）1022；（2）992．思考：（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么?（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么?（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么?练习：课本155页1；2补充例题：(1)如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，求k的值(2)已知x+y=8，xy=12，求x2+y2；（x－y）2的值(3)已知a+1/a=3,求a2+1/a2四、归纳小结、布置作业小结：完全平方公式．作业：课本156页习题2；6；715.2.2完全平方公式(第2课时)教学目标：熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括号的方法重点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用难点：添括号法则及完全平方公式的灵活应用内容：一复习旧知，引入添括号法则去括号法则：a+(b+c)=a+b+ca－(b+c)=a－b－c添括号法则：a+b+c=a+(b+c)a－b－c=a－(b+c)添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。练习：（课本156页练习1有同种类型题）a+b－c=a+(b－c)=a－(-b+c)a－b+c=a+(-b+c)=a－(b－c)二讲解例题，巩固新知例题5运用乘法公式计算：(课本)（1）（x+2y－3）(x-2y+3)（2）（a+b+c）2． 练习：课本156页练习2三补充例题，开阔眼界1利用乘法公式化简求值题（2x+y）2－(x+y)(x–y)，其中x=1,y=-22乘法公式在解方程和不等式中的应用①已知(a+b)2=7,(a－b)2=4求a2+b2和ab的值②解不等式：(2x－5)(-5－2x)+(x+5)2﹥3x(-x+2)与三角形知识相结合的应用已知三角形ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2+c2-ab–bc-ac=0，试判断三角形的形状。四总结归纳，布置作业添括号法则作业：课本157页3；4；5；8；9；（根据学生情况酌定）15.3.1同底数幂的除法教学目标：1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解一些实际问题。教学重点：公式的实际应用。教学难点：a0＝1中a≠0的规定。教学过程：探索同底数幂的除法法则1、根据除法的意义填空，并探索其规律（1）55÷53＝5（）（2）107÷105＝10（）（3）a6÷a3＝a（）推导公式：am÷an＝am－n（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、比较公式am·an＝am+n（am）n＝amn（ab）m＝ambmam÷an＝am-n比较其异同，强调其适用条件实际应用例1：计算（1）x8÷x2（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2例2：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M＝210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？解：26M＝26×210K＝216K216÷28＝28（张）＝256（张）探究a0的意义根据除法的意义填空，你能得什么结论？（1）32÷32＝（2）103÷103＝（3）am÷am＝（a≠0）由除法意义得：am÷an＝1（a≠0）如果依照am÷am＝am-m＝a0于是规定：a0＝1（a≠0）即任何不等于0的数的0次幂都等于1四、练习：P1601、2、3五、作业：P164习题15.31、4、5、73.2整式的除法（1）教学目标：经历探索单项式除以单项式法则的过程，会进行单项式除以单项式的运算。教学重点：运用法则计算单项式除法教学难点：法则的探索教学过程：一、提出问题，引入新课］问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？如何计算：（1.90×1024）÷（5.98×1021），并说明依据。二、讨论问题，得出法则讨论如何计算：（1）8a3÷2a（2）6x3y÷3xy（3）12a3b3x3÷3ab2［注：8a3÷2a就是（8a3）÷（2a）］由学生完成上面练习，并得出单项式除单项式法则。单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。三、法则的应用例1：计算（1）28x4y2÷7x3y（2）－5a5b3c÷15a4b练习：P1621、2例2：计算下列各题（1）（a＋b）4÷（a＋b）2（2）［（x－y）3］3÷［（y－x）2］4（3）（－6x2y）3÷（－3xy）3例3：当x＝－2，y＝1/4时，求代数式：（－4x2）÷(-4x)2＋12x3y2÷(-4x2y)－24x4y3÷(-4x3y2)的值例4：已知5m＝325m＝11，求53m－2n的值。四、归纳小结，布置作业本节所学法则可与前面所学的三个法则比较，理解并记忆。五、学校作业：P1642、4、5、6补充作业：1、月球距离地球大约3.84×105km，一架飞机的速度约为8×102km/h，如果坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多长时间？2、观察下面一列式子，根据你所看到的规律进行填空：a，－2a2，4a2，－8a2，……，第10项为，第n项为。3、已知am＝4，an＝3，ak＝2则am-3k+2n＝4、16m÷4n÷2等于（）（A）2m-n-1(B)22m-n-2(C)23m-2n-1(D)24m-2n-115.3.3整式的除法（2）教学目标：经历探索多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算。教学重点：运用法则计算多项式除以单项式。教学难点：（1）法则的探索；（2）法则的逆应用；教学过程:一、复习旧知:计算:（1）am÷m＋bm÷m（2）a2÷a＋ab÷a（3）4x2y÷2xy＋2xy2÷2xy二、探索多项式除以单项式法则计算：（am＋bm）÷m，并说明计算的依据∵（a＋b）m=am＋bm∴（am＋bm）÷m=a＋b又am÷m＋bm÷m＝a＋b故（am＋bm）÷m＝am÷m＋bm÷m用语言描述上式，得到多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。根据法则：（a2＋ab）÷a＝＋三、实践应用例1：计算（1）（4x2y＋2xy2）÷2xy（2）（12a3－6a2＋3a）÷3a（3）（21x4y3－35x3y2＋7x2y2）÷（－7x2y）（4）［（x＋y）2－y（2x＋y）－8x］÷2x练习：P163（1）（2）（3）（4）例2:计算（1）（2/5a3x4－0.9ax3）÷3/5ax3（2）（2/5x3y2－7xy2＋2/3y3）÷2/3y2例3：化简求值（1）（x5＋3x3）÷x3－（x＋1）2其中x＝－1/2（2）［（x＋y）（x－y）－（x－y）2＋2y（x－y）］÷4y其中x＝2，y＝1四、归纳小结，布置作业P16438思考题：（1）÷（－4x2）＝－3x2＋4x－2（2）长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一个边长为2a，则它的周长是。（3）已知3n＋11m能被10整除，求证：3n＋4＋11m＋2能被10整除。15.4.1提公因式法教学目标：1、理解因式分解的概念。2、会确定多多项式的公因式。3、会用提公因式法分解因式。教学重点：用提公因式法分解因式教学难点：公因式的确定教学过程：一、分解因式（因式分解）的概念计算：（1）x（x＋1）（2）（x＋1）（x－1）（学生练习，并演板）x（x＋1）＝x2＋x（x＋1）（x－1）＝x2－1上面二式都是整式乘法，即把整式的乘积化为多项式的形式。反过来：x2＋x＝x（x＋1）x2－1＝（x＋1）（x－1）即把多项式化为整式积的形式。因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解：（1）6＝2×3（2）a（b＋c）＝ab＋ac（3）a2－2a＋1＝a（a－2）＋1（4）a2－2a＝a（a－2）（5）a＋1＝a（1＋1/a）二、提公因式法1、公因式多项式ma＋mb＋mc中，各项都有一个公共的因式m，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。指出下列各多项式的公因式（1）8a3b2＋12ab3c（2）8m2n＋2mn（3）－6abc＋3ab2－9a2b通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？（学生归纳、总结）2、提公因式法由m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，得到ma＋mb＋mc＋=m(a＋b＋c),其中，一个因式是公因式m，另一个因式（a＋b＋c）是ma＋mb＋mc除以m所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。三、例1：把（1）2a2b－4ab2(2)8a3b2＋12ab3c分解因式解：（1）2a2b－4ab2＝2ab×a－2ab×2b＝2ab（a－2b）（2）8a3b2＋12ab3c＝4ab2×2a2＋4ab2×3bc＝4ab2（2a2＋3bc）练习：P1671（1）（2）例2：把2a（b＋c）－3（b＋c）分解因式练习：P1671（3）（4）2例3：用简便方法计算（1）9992＋999（2）20072－2006×2007练习：P1673四、归纳小结，布置作业（1）分解因式（2）确定公因式（3）提公因式方法P170习题15.416补充练习：1、分解因式：（1）m2(a－2)＋m(2－a)（2）m－n－mn＋1（3）a2n－an（4）（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）2、计算：210－29－283、已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab24、若a为实数，则多项式a2（a2－1）－a2＋1的值（）A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、不等于05、证明：817－279－913能被45整除6、若关于x的二次三项式3x2－mx＋n分解因式结果为（3x＋2）（x－1），则m＝，n＝。15.4.2公式法（1）教学目标：（1）进一步理解分解因式的概念。（2）能熟练运用平方差公式分解因式。教学重点：把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解因式。教学难点：（1）确定多项式中的a、b;（2）分解彻底;教学过程：复习巩固1、什么叫分解因式？2、用提公因式法分解因式（1）2xy－4y（2）－2x（x＋1）+（x＋1）2二、用平方差公式分解因式把公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2反过来就得到a2－b2＝（a＋b）（a－b）该公式用语言叙述为：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积。注：（1）使用平方差公式分解因式时，必须先把原多项式写成两“数”平方差的形式，再分解因式，即用公式分解因式时，必须认准其中的“a”与“b”。（2）公式中的a、b即可以是单项式，也可以是多项式。三、公式的应用例1：分解因式（1）4x2－9（2）（x＋p）2－（x＋q）2解：（1）4x2－9＝（2x）2－32＝（2x＋3）（2x－3）（2）（x＋p）2－（x＋q）2＝［（x＋p）＋（x＋q）］［（x＋p）－（x＋q）］＝（2x＋p＋q）（p－q）练习P16812例2：分解因式（1）x4－y4（2）a3b－ab注：分解因式，必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止。练习：分解因式（1）a3－a（2）－（1＋xy）2＋（1－xy）2（3）x2（x－y）＋y2（y－x）（4）1－x4（5）2x2－8（6）m2（a－2)＋m（2－a）（7）m2－n2＋2m－2n四、小结（1）应用平方差公式分解因式，必须认准的a与b。（2）分解因式必须彻底。］（3）有公因式的先提公因式，再用公式分解。五、作业：P1712715.4.3公式法（2）教学目标：熟练应用完全平方公式分解因式教学重点：把多项式写成符合公式的形式，并分解因式。教学难点：（1）辨认多项式中的“a”与“b”；（2）分解到底。教学过程：一、复习平方差公式，并练习下列各题（1）－a2＋b2（2）（x＋2）2－（x－2）2（3）2a－8a2二、用完全平方公式分解因式把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2反过来，得到：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。三、例题或练习：1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1（2）a2－4a＋4（3）a2＋2ab－b2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1（6）a2＋a＋1/42、分解因式（1）16x2＋24x＋9（2）－x2＋4xy－4y2解：16x2＋24x＋9＝（4x）2＋2·4x·3＋32［a2＋2·a·b＋b2］＝（4x＋3）2［（a＋b）2］3、分解因式（1）3ax2＋6axy＋3ay2（2）（a＋b）2－12（a＋b）＋36练习：P1702（1）――（6）四、归纳小结，布置作业（1）用完全平方公式分解因式时，必须认准a与b。（2）分解因式要“完全彻底”。作业：P17135915.4.4习题课教学目标：综合应用提出因式法和公式法分解因式教学重点：（1）熟练应用分解因式的两种方法分解因式；（2）两种方法的综合应用;教学难点：（1）选择恰当的分解方法；（2）把多项式分解彻底;教学过程：一、分解因式有哪些方法？你认为在使用这些方法时，应注意什么？二、例题或练习1、下边从左到右的变形，是因式分解的有。（1）x2－4y2＝（x＋2y）（x－2y）（2）a2－2ab＋b2＝（b－a）2（3）x2－4x＋5＝（x－2）2＋1（4）x2－4x＋5＝x（x－4）＋5（5）（x＋3）（x－3）＝x2－9（6）－ma＋mb－mc＝－m（a＋b＋c）2、－m（a－x）（x－b）－mn（a－x）（b－x）的公因式是（）3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A、x2＋4y2B、x2－2xy＋4y2C、－x2－4xy＋4y2D、（x－y）2－10（y－x）＋254、填空：（1）－1/9a2＋1/4＝（）2－（）2（2）4x2＋1＋＝（＋1）2（3）1/9x2＋＋1/4y2＝（9/3x－1/2y）2（4）若x2＋kx＋64是完全平方式，则k的值为。（5）x2＋5x＋＝（）25、把下列各式分解因式：（1）a4＋3a2（2）5（a－2）3－3（2－a）2（3）（x－2）2－x＋2（4）a（a－b－c）＋b（b＋c－a）（5）（a－b）2（a＋b）3－（b－a）3（b＋a）2（6）－2xy＋6x2y2－8x2y6、把下列各式分解因式：（1）1/2x2－2y2（2）－6a－a2－9（3）（1/36x－1/3）x＋1（4）（a＋b）2－4（a＋b－1）（5）x2＋8x（x＋1）＋16（x＋1）2（6）2（a2＋b2）（a＋b）2－（a2－b2）2（7）x3＋x2＋0.25x（8）（x2－x）2＋1/2（x2－x）＋1/16（9）x3－x2＋47、（1）求证对于任意自然数n，2n+4－2n是30的倍数。（2）求证：248－1可以被63和65整除。作业：P17146810课外作业：P173数学活动1215.4.5十字相乘法（二次项系数为1）教学目标：使学生理解并掌握二次项系数为1的二次三项式的因式分解。教学重点：准确、迅速进行十字相乘分解因式。教学难点：p与q异号的情形。教学过程：一、复习巩固课本：P148练习2，观察规律，得到（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq反过来，有x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）它告诉我们：对于二次项系数为1的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数，并且它们的和恰好等于一次项系数，那么，它就可以分解成两个一次因式的积。如：x2＋（1＋2）x＋1×2＝（x＋1）（x＋2）X2＋（－1＋2）x＋（－1）×2＝（x－1）（x＋2）二、例题与练习例1：分解因式x2＋6x＋8解：x2＋6x＋8＝x2＋（2＋4）x＋2×4＝（x＋2）（x＋4）熟练后，中间步骤可省去。练习：分解因式（1）x2＋7x＋12（2）x2＋12x＋20例2：分解因式x2－8x＋15分析：因为－8为负数，所以15应分解为两个负数之积。解：x2－8x＋15＝x2＋［（－3）＋（－5）］x＋（－5）×（－3）＝［x＋（－3）］［x＋（－5）］＝（x－3）（x－5）练习：分解因式：（1）x2－3x＋30（2）x2－8x＋12例3：分解因式（1）x2－3x－10（2）x2＋9x－10分析（由学生分析，解答）练习：分解因式（1）x2－3x－4（2）x2＋10x－24（3）a2＋a－20（4）a2－9a－36例4：分解因式（1）x2－7xy－18y2（2）x2y2＋7xy－44（3）x2－20xy＋96y2（4）a4－21a2－100例5：分解因式（1）－a2＋6ab－9b2（2）－x2－3x＋4（3）x－x2＋42（4）x2（x2－20）＋64（5）3x2y2－9xy－12（6）（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24（7）（x2＋x）（x2＋x－1）－2例6：求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是某个自然数的平方。作业：课本P172（1）（2）（3）（4）15.4.6小结与复习教学目标：把握本章知识脉络，掌握本章基础知识。教学重点：（1）整的乘除法;（2）因式分解;教学难点：（1）正确使用公式；（2）逆用公式解题；教学过程：一、本章知识结构图：整式乘法乘法公式整式除法分解因式二、回顾与思考：1、幂的运算性质是整式乘除法的基础，单项式的乘除是整式