2024年四川省泸州市江阳区梓橦路学校中考数学模拟试卷

2024年四川省泸州市江阳区梓橦路学校中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一项是符合要求的）1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．﹣2．（3分）据统计，2023年我省出版期刊杂志总印数45000000册，其中45000000用科学记数法表示为（）A．4.5×108 B．0.45×108 C．4.5×107 D．45×1063．（3分）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°（）A．135° B．105° C．95° D．75°4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a﹣2a＝1 C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a36．（3分）一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.57．（3分）估计﹣4的值在（）A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若OA＝6，OH＝4（）A．72 B．24 C．48 D．969．（3分）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（）A．502 B．520 C．525 D．20510．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的外心，BC＝6，则OP的长为（）A．2 B．3 C． D．11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别在边AD，AF，BE相交于点G，tan∠DFA＝2，则AG的长为（）A． B． C． D．12．（3分）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．﹣2＜c＜ B．﹣4＜c＜ C．﹣4＜c＜ D．﹣10＜c＜二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，得到点B（a，b），则a+b＝．14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是．15．（3分）关于x值不等式线有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．三、计算证明题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：．18．（6分）如图，E、A、C三点共线，AB∥CD，AC＝CD，求证：BC＝ED．19．（6分）化简：．四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）20．（7分）“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后频数分布统计表组别成绩x（分）人数百分比A60≤x＜70820%B70≤x＜8016m%C80≤x＜90a30%D90≤x≤100410%请观察图表，解答下列问题：（1）表中a＝，m＝；（2）补全频数分布直方图；（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．21．（7分）“六一”儿童节到了，某小区决定购买一批书包送给小朋友们．经市场调查得知，购买3个男生书包与4个女生书包费用相同（1）求男生书包和女生书包的单价；（2）该小区要求男生书包比女生书包多4个，两种书包至少需要22个，购买两种书包的费用不超过5000元五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）22．（8分）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数（﹣3，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，△AOC的面积为6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在x轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．23．（8分）如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O上有两点C、D，点C是弧BD的中点，垂足为点E，EC交AB的延长线于点P，与⊙O相交于点M，N．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若，CP＝8，求⊙O的半径和PN的长．25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，点E是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BC，P是第一象限抛物线上的点，若∠PCB＝∠ACO；（3）如图2，点K（1，2）在对称轴上（直线KD除外）与抛物线分别交于点G，H，直线DG，N．试探究EM•EN的值是否是定值，如果是，如果不是，说明理由．

2024年四川省泸州市江阳区梓橦路学校中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一项是符合要求的）1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．﹣【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：B．【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2．（3分）据统计，2023年我省出版期刊杂志总印数45000000册，其中45000000用科学记数法表示为（）A．4.5×108 B．0.45×108 C．4.5×107 D．45×106【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：45000000＝4.5×103．故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．3．（3分）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°（）A．135° B．105° C．95° D．75°【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝45°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝105°．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠3＝45°，又∵∠4＝30°，∴∠7＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】从左面看该几何体，能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出相应的图形即可．【解答】解：该几何体的左视图如图所示：故选：C．【点评】本题考查简单几何体的左视图，掌握能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是正确画图的关键．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a﹣2a＝1 C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a3【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．【解答】解：A．a2•a3＝a6，故本选项不合题意；B．3a﹣2a＝a；C．（﹣3a2）3＝﹣4a6，故本选项符合题意；D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．6．（3分）一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：∵这组数据2，4，7，x，3，9的众数是2，∴x＝3，从小到大排列此数据为：2，8，3，4，2，9，处于中间位置的数是3和3，∴这组数据的中位数是3.5．故选：B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．7．（3分）估计﹣4的值在（）A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵49＜54＜64，∴7＜＜8，∴8＜﹣4＜4，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若OA＝6，OH＝4（）A．72 B．24 C．48 D．96【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝3，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD．9．（3分）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（）A．502 B．520 C．525 D．205【分析】根据题意，设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数，则“幸福数”＝8n，经过计算，只有520是8的倍数，即可得出结果．【解答】解：设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，8n+1，∴“幸福数”＝（2n+2）2﹣（2n﹣3）2＝4n5+4n+1﹣4n2+4n﹣6＝8n，A、502÷8＝62⋯⋯6；B、520÷8＝65；C、525÷8＝65⋯⋯2；D、205÷8＝25⋯⋯5；故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的外心，BC＝6，则OP的长为（）A．2 B．3 C． D．【分析】过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，由点P是内切圆的圆心可知PD＝PE＝PF，再由切线长定理可知CD＝CE，BE＝BF，故可得出四边形PDCE是正方形，再由勾股定理求出AB的长，故可得出PD的长，由BE＝BC﹣CE可得出BE的长，根据点O为直角三角形的外心可得出OB的长，进而得出OF的长，根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，∵点P是内切圆的圆心，∴PD＝PE＝PF，CD＝CE∴四边形PDCE是正方形．∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∴AB＝＝10，∴PE＝PF＝PE＝＝4，∴BE＝BF＝6﹣2＝3．∵点O为△ABC的外心，∴OB＝AB＝8，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝4，∴OP＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知直角三角形的内心与外心的求法是解答此题的关键．11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别在边AD，AF，BE相交于点G，tan∠DFA＝2，则AG的长为（）A． B． C． D．【分析】延长AF，BC交于点H，由正方形的性质得出AD//BC，AD＝BC＝CD＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，由tan∠DFA＝2求出DF的长，再利用ASA证得△ADF和△HCF全等，得出CH＝AD＝4，AF＝HF，再证△AEG∽△HBG，即可求出AG的长．【解答】解：如图，延长AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，AD＝BC＝CD＝4，∵AE＝3ED，∴AE＝6，ED＝1，∵tan∠DFA＝2，∴，∴DF＝2，∴CF＝CD﹣DF＝4﹣8＝2，∴CF＝DF，∵∠BCD＝90°，∴∠HCF＝90°，∴∠ADF＝∠HCF＝90°，在△ADF和△HCF中，，∴△ADF≌△HCF（ASA），∴CH＝AD＝4，AF＝HF，在Rt△ADF中，由勾股定理得，∴HF＝，∴AH＝AF+HF＝，∵AD∥BC，∴△AEG∽△HBG，∴，∴，∴AG＝，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．12．（3分）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．﹣2＜c＜ B．﹣4＜c＜ C．﹣4＜c＜ D．﹣10＜c＜【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，将x＝﹣2代入y＝8x得y＝﹣4，将x＝4代入y＝8x得y＝8，设A（﹣2，﹣2），8），联立方程x2﹣x+c＝5x，当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，即6﹣4c＞0，解得c＜，此时，直线x＝﹣2和直线x＝3与抛物线交点在点A，抛物线与线段AB有两个交点，把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝8+c，把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，∴，解得c＞﹣3，∴﹣4＜c＜满足题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，得到点B（a，b），则a+b＝﹣1．【分析】利用点平移的坐标规律，列出关于a、b的方程，求出a、b，代入计算即可．【解答】解：∵点A（﹣1，2）先向右平移6个单位，得到点B（a，∴﹣1+1＝a，3﹣3＝b，∴a＝0，b＝﹣8，∴a+b＝0+（﹣1）＝﹣7，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是1．【分析】首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值．【解答】解：由题意得：Δ＝[﹣2（k+1）]4﹣4（k2+8）≥0，解得k≥①又x1+x2＝4（k+1），x1x5＝k2+2所以（x2+1）（x2+5）＝x1x2+（x8+x2）+1＝k5+2+2（k+4）+1＝k2+8k+5由已知得k2+6k+5＝8，解得k＝﹣6由①②得k＝1．故答案为1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式的结合运用，是一种经常使用的解题方法．15．（3分）关于x值不等式线有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为18．【分析】求出各个不等式的解集，根据不等式组有且只有两个整数解，构建关于m的不等式组，可得结论．【解答】解：，由①得x＞，由②得x≤3，∵不等式组有且只有两个整数解，∴2≤＜5，∴5≤m＜8，∴整数m的值为2，6，7，4+6+7＝18．故答案为：18．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是学会利用转化的思想解决问题．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝3，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大××3＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△AEF＝S△ABD，属于中考常考题型．三、计算证明题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝2×﹣1+3﹣8＝1﹣1+6﹣3＝0．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（6分）如图，E、A、C三点共线，AB∥CD，AC＝CD，求证：BC＝ED．【分析】首先根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ECD，再利用AAS定理证明△ACB≌△CED，然后再根据全等三角形对应边相等可得结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD，在△ABC和△CED中，∴△ACB≌△CED（AAS），∴BC＝ED．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．19．（6分）化简：．【分析】先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．【解答】解：＝＝．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）20．（7分）“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后频数分布统计表组别成绩x（分）人数百分比A60≤x＜70820%B70≤x＜8016m%C80≤x＜90a30%D90≤x≤100410%请观察图表，解答下列问题：（1）表中a＝12，m＝40；（2）补全频数分布直方图；（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．【分析】（1）先由A组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比可得a的值，用B组人数除以总人数可得m的值；（2）根据（1）中所求结果可补全图形；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为8÷20%＝40人，∴a＝40×30%＝12，m%＝，即m＝40，故答案为：12、40；（2）补全图形如下：（3）列表如下：男女1女2女3男﹣﹣﹣（女，男）（女，男）（女，男）女1（男，女）﹣﹣﹣（女，女）（女，女）女6（男，女）（女，女）﹣﹣﹣（女，女）女3（男，女）（女，女）（女，女）﹣﹣﹣∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和2名女生结果的有6种．∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．21．（7分）“六一”儿童节到了，某小区决定购买一批书包送给小朋友们．经市场调查得知，购买3个男生书包与4个女生书包费用相同（1）求男生书包和女生书包的单价；（2）该小区要求男生书包比女生书包多4个，两种书包至少需要22个，购买两种书包的费用不超过5000元【分析】（1）设男生书包的单价是x元，女生书包的单价是y元，根据“购买3个男生书包与4个女生书包费用相同，购买5个男生书包与4个女生书包共需1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个女生书包，则购买（m+4）个男生书包，根据“两种书包至少需要22个，且购买两种书包的费用不超过5000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该小区有4种购买方案．【解答】解：（1）设男生书包的单价是x元，女生书包的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：男生书包的单价是200元，女生书包的单价是150元；（2）设购买m个女生书包，则购买（m+4）个男生书包，根据题意得：，解得：9≤m≤12，又∵m为正整数，∴m可以为2，10，12，∴该小区有4种购买方案．答：该小区有4种购买方案．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）22．（8分）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数（﹣3，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，△AOC的面积为6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在x轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．【分析】（1）待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式即可；（2）根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′延长AB′交x轴于点P，此时点P满足|PA﹣PB|取得最大值，求出直线AB′与x轴交点坐标即可．【解答】解：（1）∵AC⊥x轴，点A在反比例函数图象上．∴丨k丨＝2S△AOC＝2×6＝12，∵反比例函数图象分布在第二、四象限，∴k＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣，把点A（﹣3，a）和点B（ba＝4，b＝12，∴A（﹣5，4），﹣1），，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣．（2）根据两个函数图象及交点坐标，不等式．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，此时点P满足|PA﹣PB|取得最大值，B′（12，设直线AB′的解析式为y＝px+q，，解得，∴直线AB′解析式为y＝﹣，当y＝0时，x＝17，∴P（17，0）．【点评】本题考查了一次函数图反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．23．（8分）如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）【分析】根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN、NC的长进而求出BN即可得出答案．【解答】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，如图所示：由题意可得出：∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设AF＝FC＝x海里，∴tan30°＝＝＝，解得：x＝20（+1），∵tan30°＝，∴＝，解得：BN＝（20+）海里，∴AB＝AN+BN＝20（+5）+20+）海里，答：灯塔A、B间的距离为（40+．【点评】此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O上有两点C、D，点C是弧BD的中点，垂足为点E，EC交AB的延长线于点P，与⊙O相交于点M，N．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若，CP＝8，求⊙O的半径和PN的长．【分析】（1）连接OC，由点C是弧BD的中点，得到＝，求得∠BAC＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠BAC，根据平行线的性质得到OC⊥PE，根据切线的判定定理得到PC是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，设BC＝x，AC＝2x，根据勾股定理得到AB＝x，根据相似三角形的判定和性质得到＝＝＝，PA＝16，设⊙O的半径为R，根据勾股定理得到R＝6，求得PB＝4，根据三角函数的定义得到BH＝，PH＝，过点O作OF⊥MN于F，由BH∥OF，得到＝，求得HF＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠CAD，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠CAD，∴OC∥AE，∵PE⊥AE，∴OC⊥PE，∵OC是⊙O的半径，∴PC