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文档简介
课时质量评价(六十九)1.(2024·烟台模拟)某篮球队为提高队员训练的积极性,进行小组投篮游戏;每个小组由两名队员组成,队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下:每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1,p2.(1)若p1=12,p2=23,求他们在第一轮游戏获得“神投小组(2)已知p1+p2=65①p1,p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大?并求出此时的最大概率.②在第①问的前提下,若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号,则他们平均要进行多少轮游戏?解:(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”,则可能的情况有:①甲投中一次,乙投中两次;②甲投中两次,乙投中一次;③甲投中两次,乙投中两次.因为p1=12,p2=2所以他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为C21·122×232+122×C21×23(2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率P=C21×因为p1+p2=65,所以P=12又0≤p1≤1,0≤p2≤1,则15≤p1≤1令m=p1p2=-p12+65p1=-p则m∈15令P=f(m)=125m-3m2=-3m-252所以f(m)=125m-3m2在15,925上单调递增,则Pmax=f925=297625,此时p②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ~Bn,所以np=297,则n=297297625=所以平均要进行625轮游戏.2.某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入,其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2.现对其进行两次检测,第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为34和35,第二次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为45和2(1)设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X,求X的分布列和数学期望;(2)若地区排查期间,一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测,如果有一人检测呈阳性,则检测结束,并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立,该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f(p),若当p=p0时,f(p)最大,求p0的值.解:(1)试剂α1合格的概率为34×45=试剂α2合格的概率为35×23=由题意知X的所有可能取值为0,1,2.则P(X=0)=1-35×1-25=625,P(X=1)=1-35×25+35×1-25=1325,P(X012P6251325625数学期望E(X)=0×625+1×1325+2×6(2)检测3人确定“感染高危户”的概率为(1-p)2p,检测4人确定“感染高危户”的概率为(1-p)3p,则f(p)=(1-p)2p+(1-p)3p=(1-p)2p(2-p).令x=1-p,因为0<p<1,所以0<x<1,原函数可化为g(x)=x2(1-x2)(0<x<1).因为x2(1-x2)≤x2+1-当且仅当x2=1-x2,即x=22此时p=1-22,所以p0=1-23.(2024·济南模拟)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图.(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数的数学期望.(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=362,已知小明的预赛成绩为91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛?(3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973;362≈19.解:(1)预赛成绩在[60,80)范围内的样本量为0.0125×20×100=25,预赛成绩在[80,100)范围内的样本量为0.0075×20×100=15,设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,则P(X≥1)=C15又P(X=0)=C252C402=513,P(X=1)=C151C251C402=X012P5132552752故E(X)=0×513+1×2552+2×752(2)μ=x=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.0125+90×0.0075)×20=53,σ2=362,则σ≈19,所以Z~N(53,362),故P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=12[1-P(μ-2σ<Z<μ+2σ)]≈0.02275故全市参加预赛的学生中,成绩不低于91分的有120000×0.02275=273(人),因为273<300,故小明有资格参加复赛.(3)设学生甲答对的题目数为ξ,复赛成绩为Y,则ξ~B(n,0.8),故E(ξ)=0.8n,Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ,故E(Y)=100-0.2(1+2+3+…+n)+2E(ξ)=-110n2+3n2+100=-110n-因为n∈N*,所以答题数量为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.4.老年公寓是一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务,现对所入住的120名老年人征集意见,该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示.入住房间的类型单人间双人间三人间人数366024(1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取4人进行询问,记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.(2)记双人间与三人间为多人间,若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的m(m>2且m∈N*)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人入住房间类型相同,则该组标为Ⅰ,否则该组标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p.①试用含m的代数式表示p;②若一共询问了5组,用g(p)表示恰有3组被标为Ⅱ的概率,试求g(p)的最大值及此时m的值.解:(1)因为单人间、双人间、三人间入住人数比为36∶60∶24,即3∶5∶2,所以这10人中,入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10×310=3,10×510=5,10×210所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C74C104=16,P(ξ=P(ξ=2)=C32C72C102=310,P所以ξ的分布列为ξ0123P1612310130E(ξ)=0×16+1×12+2×310+3×1(2)①从m+2人中任选2人,有Cm+22种选法,其中入住房间类型相同的有所以询问的某组被标为Ⅱ的概率为p=1-Cm2+C22C②由题意,5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率g(p)=C53p3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5所以g′(
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