人教A版普通高中数学一轮复习69课时练习含答案

课时质量评价(六十九)1．(2024·烟台模拟)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2.(1)若p1＝12，p2＝23，求他们在第一轮游戏获得“神投小组(2)已知p1＋p2＝65①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率．②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？解：(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，则可能的情况有：①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次．因为p1＝12，p2＝2所以他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为C21·122×232＋122×C21×23(2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率P＝C21×因为p1＋p2＝65，所以P＝12又0≤p1≤1，0≤p2≤1，则15≤p1≤1令m＝p1p2＝-p12＋65p1＝－p则m∈15令P＝f(m)＝125m－3m2＝－3m-252所以f(m)＝125m－3m2在15，925上单调递增，则Pmax＝f925＝297625，此时p②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～Bn，所以np＝297，则n＝297297625＝所以平均要进行625轮游戏．2．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为45和2(1)设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X，求X的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0＜p＜1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f(p)，若当p＝p0时，f(p)最大，求p0的值．解：(1)试剂α1合格的概率为34×45＝试剂α2合格的概率为35×23＝由题意知X的所有可能取值为0，1，2.则P(X＝0)＝1-35×1-25＝625，P(X＝1)＝1-35×25＋35×1-25＝1325，P(X012P6251325625数学期望E(X)＝0×625＋1×1325＋2×6(2)检测3人确定“感染高危户”的概率为(1－p)2p，检测4人确定“感染高危户”的概率为(1－p)3p，则f(p)＝(1－p)2p＋(1－p)3p＝(1－p)2p(2－p)．令x＝1－p，因为0＜p＜1，所以0＜x＜1，原函数可化为g(x)＝x2(1－x2)(0＜x＜1)．因为x2(1－x2)≤x2+1-当且仅当x2＝1－x2，即x＝22此时p＝1－22，所以p0＝1－23．(2024·济南模拟)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望．(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k＝1，2，…，n)；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973；362≈19.解：(1)预赛成绩在[60，80)范围内的样本量为0.0125×20×100＝25，预赛成绩在[80，100)范围内的样本量为0.0075×20×100＝15，设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，则P(X≥1)＝C15又P(X＝0)＝C252C402＝513，P(X＝1)＝C151C251C402＝X012P5132552752故E(X)＝0×513＋1×2552＋2×752(2)μ＝x＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.0125＋90×0.0075)×20＝53，σ2＝362，则σ≈19，所以Z～N(53，362)，故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝12[1－P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)]≈0.02275故全市参加预赛的学生中，成绩不低于91分的有120000×0.02275＝273(人)，因为273＜300，故小明有资格参加复赛．(3)设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ξ～B(n，0.8)，故E(ξ)＝0.8n，Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ，故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－110n2＋3n2＋100＝－110n-因为n∈N*，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩．4．老年公寓是一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示．入住房间的类型单人间双人间三人间人数366024(1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的m(m＞2且m∈N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p.①试用含m的代数式表示p；②若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g(p)的最大值及此时m的值．解：(1)因为单人间、双人间、三人间入住人数比为36∶60∶24，即3∶5∶2，所以这10人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10×310＝3，10×510＝5，10×210所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C74C104＝16，P(ξ＝P(ξ＝2)＝C32C72C102＝310，P所以ξ的分布列为ξ0123P1612310130E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×1(2)①从m＋2人中任选2人，有Cm+22种选法，其中入住房间类型相同的有所以询问的某组被标为Ⅱ的概率为p＝1－Cm2+C22C②由题意，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率g(p)＝C53p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5所以g′(