函数与方程知识点总结

函数与方程知识点总结

1、函数零点的定义

(1)对于函数y=/(x),我们把方程/(x)=0的实数根叫做函数尸/(x)的零点。

(2)方程“x)=0有实根=函数y=/(x)的图像与X轴有交点o函数y=/(x)有零点。因

此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程八幻=。是否有实数根，有几

个实数根。函数零点的求法：解方程/(幻=0,所得实数根就是/⑴的零点

(3)变号零点与不变号零点

①若函数/⑴在零点与左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数/(x)的变号零点。

②若函数/⑴在零点与左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数/⑴的不变号零点。

③若函数/⑴在区间［9］上的图像是一条连续的曲线，贝I」/⑷/⑸〈。是/⑴在区间(〃力)内有

零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

(1)零点存在性定理：如果函数y=/(x)在区间3,切上的图象是连续不断的曲线，并且

有f(a)/S)<0,那么，函数y=f(x)在区间(9)内有零点，即存在天£(°,均，使得f(x。)=(),这

个也就是方程f(x)=0的根。

(2)函数y=/(x)零点个数(或方程“x)=o实数根的个数)确定方法

①代数法：函数y=的零点o/(x)=o的根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，

并利用函数的性质找出零点。

(3)二次函数零点个数确定

△>Ooy=/(x)有2个零点O/(x)=0有两个不等实根；

△=Ooy=/(x)有1个零点=/(x)=0有两个相等实根；

△<00》=/(冷无零点。/*)=0无实根；对于二次函数在区间,,可上的零点个数，要结合

图像进行确定.

1、二分法

(1)二分法的定义:对于在区间3,句上连续不断且了⑷.a)<。的函数y=/(x),通过不断地

把函数y=〃x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到

零点的近似值的方法叫做二分法；

(2)用二分法求方程的近似解的步骤：

①确定区间出向，验证/(〃)必)<0,给定精确度£；②求区间(。向的中点。；③计算/©；

(i)若/1©=(),则c就是函数的零点;(点若/(4)•/©<0,则令&c(此时零点(a,c))；

(lii)若<0,则令a=c(此时零点X。e(c⑼)；

④判断是否达到精确度£，即则得到零点近似值为。(或〃)；否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】函数/(幻=2”/-2在区间(0,1)内的零点个数是

()

A、0B、1C、2D、3

【例2】函数4见=2太+3牙的零点所在的一个区间是

()

A、(-2,-1)B、(-1,O)C>(0,1)D、(1,2)

【例3】下列函数中能用二分法求零点的是()

【例4】若函数/(x)=a'r-a(a>()且分1)有两个零点，则实数”的取值范围是二

二十—-3，x咒零点个数为

【例5】函数/*)=)

-2+Inx,x>0

A、3B、2C、1D、0

【例6】若函数/(x)=V+x2_2.2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考

数据如下：

/(1.25)=-

/⑴=-2/(1.5)=0.625

0.984

/(1.375)=-/(1.4375)=/(1.40625)=-

0.2600.1620.054

那么方程1+丁-2》-2=()的一个近似根(精确到0.1)为

()

A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5

【例7】如果二次函数y=x2+%+机+3有两个不同的零点,则〃?的取值范围是

()

A、(―,+00)B、(-00,—)C、(-00,—)D、(―,+00)

4242

【例8】方程lgx-x=0根的个数为

()

A、无穷多B、3C、1D、0

【例9】用二分法研究函数加)=431-1的零点时，第一次经计算/(0)<0,八0.5)>0,可得

其中一个零点x°e,第二次应计算.以上横线上应填的内容为

()

A、(0,0.5),/(0.25)B、(0,1),/(0.25)

C、(0.5,1),/(0.75)D、(0,0.5),/(0.125)

反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间

的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决

这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两

端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.

(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)=o的根，即当函数的自变量取这个实数时,

其函数值等于零.函数的零点也就是函数y=4㈤的图象与x轴的交点的横坐标.

函数与方程(零点)

一.选择题(共22小题)

1.(2016•呼与浩特二模)函数f(x)(1)-2的零点所在区间是()

X

A.(1,1)B.(1,e-1)C.(e-1,2)D.(2,e)

2

2.(2016•陕西模拟)函数f(x)的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(L,1)C.(1,e)D.(e,oo)

ee

3.(2016•北海一模)函数f(x)=lgx-L的零点所在的区间是()

X

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

4.(2016•郴州模拟)函数f(x)=3x-*的零点存在区间为()

2

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

5.(2016•贵阳二模)二次函数f(x)=2x2-3(b€R)零点的个数是()

A.0B.1C.2D.4

6.(2016”詹州校级模拟)函数f(x)2—零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

7.(2016•东城区模拟)函数f(x)(1)-2的零点所在的大致区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

8.(2016•安徽模拟)已知Lvav4,函数f(x)3-32有且仅有两个不同的零点x1，

2

x2,则LX2I的取值范围是()

A.(1,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(2,3)

22

9.(2016•漳州一模)函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围为()

A.(1,+oo)B.(-1,1)C.(-co,-1]U[1,+00)D.(一8,-1)U

(1,+8)

10.(2016•浦城县模拟)已知函数f(x)=22在区间(L4)上有零点，则实数b

2

的取值范围是()

A.(-10,0)B.(-8,1)C.(0,10)D.(1,12)

11.(2015秋•衡阳校级期末)若函数-X-a有两个零点，则a的取值范围是()

A.(1,+oo)B.(0,1)C.(0,+8)D.0

12.(2016春•朔州校级期中)函数(x-1)(x2-2x-3)的零点为()

A.1,2,3B.1,-1,3C.1,-1,-3D.无零点

13.(2016春•赣州校级月考)若函数f(x)的唯一一个零点同时在区间(0,16),

(0,8),(0,4),(0,2)内，则下列结论中正确的是()

A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点

B.f(x)在区间[2,16)内没有零点

C.f(x)在区间(0,1)或(1,2)内一定有零点

D.f(x)在区间(1,16)内没有零点

14.(2015•蓟县校级模拟)方程2x-6=0的解一定位于区间()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(5,6)

15.(2015•云南一模)函数f(x)2x-6的零点位于()

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

16.（2016•湖南校级模拟）设X。是函数f（x）=2*-2-1的一个零点，若a>x°,

则f（a）满足（）

A.f（a）>0B.f（a）<0

C.f（a）可以等于0D.f（a）的符号不能确定

17.（2016•贵阳一模）函数f（x）-在（0,+oo）的零点个数是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2016•红桥区模拟）若二次函数f（x）2一2-5在区间（3,4）上存在一个零

点，则m的取值范围是（）

A.B.卫C.D.或

388338

19.（2016•成都校级模拟）已知工vavl,则方程的实根个数是（）

2

A.1个B.2个

C.3个D.1个或2个或3个

20.（2016•凉山州模拟）设f（x）-1有三个不同的零点，则a的取值范围是（）

A.（0,e）B.（0,e2）C.（0,1）D.（0,L）

ee2

21.（2016•衡水校级二模）函数f（x