2020高中数学必修2同步练习《平面与平面垂直的性质》(含解析)

2.3.4平面与平面垂直的性质

课时过关•能力提升

一、基础巩固

1.已知平面a_L平面4直线。，夕,则()

A.auaB.a//a

C.a_LaD.aua或。〃a

ggD

2.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB_L平面ABC,PA=PB,AO=O8WJ()

A.POu平面ABC

B.P。，平面ABC

C.PD与平面ABC相交但不垂直

D.P。〃平面ABC

解析：|因为PA=P8,AD=DB,所以POLAB.

因为平面PA3,平面ABC,平面PABn平面A3C=AB,PDu平面PA8所以平面

ABC.

答案:|B

3.已知m,n,l是直线,a,0是平面,a_L尸,aCl夕=/,〃1?,〃_1_/,机_1_0则直线m与n的位置关系是

()

A.异面B.相交但不垂直

C.平行D.相交且垂直

解析::，a_L6,0(1~1夕=/,〃或,〃J_/,

a.又〃zJ_a,.：机〃n.

答案:c

4.如图，点P为四边形ABC。外一点，平面PAO_L平面ABCD,PA=PD,E为AO的中点，则

下列结论不一定成立的是（）

A.PE_LAC

B.PELBC

C.平面平面ABCD

D.平面平面PAD

解析：|因为为A。的中点，所以PELAD又平面PA。，平面ABC。,平面PADC\

平面A8CO=AO,所以PEJ_平面A5CD,所以PE_LAC,PE，8C,所以选项A,B成立.又

PEu平面PBE,所以平面PBE_L平面ABCD,所以选项C成立.故选D.

fg|D

5.已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直，且BC=2,则三棱锥A-BCD

的体积为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

|解析：|取BC的中点及连接AE.因为反48。为等边三角形，所以AE±BC.

因为平面ABC_L平面BCD,所以AE_L平面BDC.

所以VA-BCD=HBCD-AE=1X^X4XV3=1.

答案:A

6.如图，沿直角三角形ABC的中位线OE将平面AOE折起，使得平面ADE,平面BCDE,

得到四棱锥AdCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是.

答案:垂直

7.如图，平面a,平面人平面aCl平面夕=45/£氏8£6,44」4夕,88比4夕,且

44'=3,8B'=4RB'=2,则三棱锥A-ABB'的体积V=

解析:'/a1/3,an/3=A'B'AAta,A4'±/l'B',

/.AA'1/3.

.：V=:SAABB”AA'=I-CAB'BB'>A4'=ix|x2x4x3=4.

gg4

8.如图,P是菱形ABC。所在平面外的一点，且ND4B=60°AB的长为a.侧面PAO为正

三角形，其所在平面垂直于底面A8CDP3与平面A8CD所成的角为包则。=.

解析:如图，取AD的中点G,连接PG,BG,BD.

因为△PAD是等边三角形，

所以PG_LAD又平面PAO_L平面ABCO,平面PAOCl平面A8CO=A。，尸Gu平面PAD,

所以PG_L平面ABCD,NPBG是P8与平面ABCD所成的角3.

在4PBG中，PG工BG,BG=PG,

所以NPBG=45°，即，=45°.

gg45°

9.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFEmABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,

BC=2AC=3.

(1)求证:3尸，平面ACFD;

(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

(1)|证明：|如图，延长AD,BE,CF相交于一点K.

因为平面BCPEL平面4BC,且AC_LBC,

所以ACJ_平面BCK.因此BF1AC.

又因为EF//BC,BE=EF=FC=1,BC=2,

所以ABCK为等边三角形，且尸为CK的中点，则BFLCK.因为ACnCK=C,所以平

面ACFD.

(2)解|因为平面ACK,所以N8O/是直线8。与平面ACFD所成的角.在RsBFD

中班=\Fi,DF=|,得cos/BOQ与.故直线8。与平面AC/7)所成角的余弦值为手.

二、能力提升

1.在空间中，下列命题正确的是()

A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B.若直线〃?与平面a内的一条直线平行，则m//a

C.若平面近夕,且an夕，则过a内一点P与/垂直的直线垂直于平面夕

D.若直线。〃"且直线则11b

解析：|选项A中，若有3个交点，则确定一个平面,若三条直线交于一点，则不一定能确定一

个平面，如在正方体ABCQ-AiBiGDi中,A4i,A84。两两相交，但由AAS氏AO不能确定

一个平面，所以A不正确;选项B中，缺少条件m是平面a外的一条直线，所以B不正确；

选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件,必须是a内垂直于/的直线，所以C不正

确;由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所

以D正确.

ggD

2.如图，三棱锥P-ABC的底面在平面a内，且ACJ_PC,平面PAC_L平面PBC,点P,A,8是

定点,则动点C的轨迹是（）

A.—*条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

解析：|因为平面PAC_L平面PBCACLPC,平面PACA平面P3C=PC,ACu平面PAC,所以

平面PBC.

因为BCu平面PBC,所以ACLBC.所以NACB=90°.

所以动点。的轨迹是以45为直径的圆，除去A和B两点.

ggD

★3.如图，平面a_L平面BAGaBOAB与两平面a/所成的角分别

为：和，过点4B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为4,夕,则AB：49等于（）

46

A.2/1B.3

C.3：2D.4；3

|解析：|如图，连接AB1队则由已知得44」平面小883平面a,ZABA'=^,ZBAB'=^.

设AB=a,则BA'=ya,BB'=乎a.

在,A'B'=^-1a,

故组=±

AB'1

ggA

4.将正方形ABC。沿对角线BO折成直二面角A-8D-C,有如下三个结论.

①4C_L8D;②△AC。是等边三角形;③46与平面8CO成60°的角.

结论正确的序号是.

解析：|如图，取BD的中点E,连接AE,CE,则而AEC}CE=E,

平面AEC.又ACu平面AEC,.：AC_LB£>,故①正确.

设正方形的边长为a,则AE=CE=ya.

易知NAEC=90°是直二面角A-3O-C的平面角，

/•AC=a,

「△ACO是等边三角形，故②正确.

由题意及AEJ_8D知,AE_L平面BCD,则NABE是45与平面BCD所栽的角，而/

ABE=45°,故③不正确.

塞①②

★5.在三棱柱ABC-A5c中，侧面A4CC是垂直于底面的菱形,8C_LAC；则A5与AC所

成角的大小为

解析:因为BCLA'CN'C/AC,所以BC±AC.

因为平面A4CC'J_平面ABC,平面A'ACC'n平面ABC=AC,

所以BCL平面AACC；

所以BCA.AC'.

因为四边形AACC为菱形，

所以AC'LA'C.

因为3CnA'C=C,

所以AC'_L平面A'CB,所以ACLLAR

所以A5与AC所成的角等于90°.

答案：|90。

6.如图，正方形AQEF与梯形A3CO所在的平面互相垂直,AO，CO,A3〃CO*B=AO=2,

CD=4,M为CE的中点.求证：

(1)8〃〃平面4。£：尸；

⑵平面BDE_L平面BEC.

|证明：|(1)如图，取DE的中点N,连接MNAN.

B

在AEDC中,M,N分别为EC,ED的中点，

所以MN//CD,且MN=|CD.

因为

所以MN〃AB,且MN=AB,

所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM//AN.

因为AM=平面ADEF,SLBMC平面ADEF,

所以〃平面AOEF.

(2)因为四边形AOEF为正方形，

所以EDLAD.

因为平面AOEF,平面ABC。,且平面AOE/TI平面ABCO=AO,EOu平面ADEF,

所以EO_L平面ABCD.

所以EOJLBC.

在直角梯形ABCD中48=4。=2,。。=4,可得BC=2企.

在△BC0中,BD=BC=2®CD=4,

所以BULBD

又8。口£7)=。,所以BC_L平面BDE.

因为BCu平面BEC,

所以平面BDE工平面BEC.

★7.如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC,平面BCDE,ZCDE=Z

BED=9Q°,AB=CD=2,DE=BE=},AC=y/2.

R

(1)证明:4。，平面BCDE-,

(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值