中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题7填空压轴题轴对称最值模型(将军饮马)(原卷版+解析)

专题7填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马）（原卷版）模型一两定点一动点模型（1）求两条线段和的最小值典例1(2023春•惠东县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为变式训练1．(2023•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝2，BC＝23，则PE+PB的最小值为2．(2023春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（2）求两条线段差的最大值典例2(2023春•重庆期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．变式训练1．(2023•金牛区校级模拟）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M2．(2023秋•太仓市期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD＝1：2，tan∠PDB=4（1）则A、B两点的坐标分别为A（，）；B（，）；（2）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC﹣MB|的值最大，则点M的坐标为．造桥选址模型典例3（2023•市中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为．变式训练1．(2023•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为．2．（2023•河北模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG=AC2，点P是BC中点，连接EF，EP，PG，则EF+BG模型二一定点两动点模型典例4如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是．变式训练1．（2023秋•工业园区校级期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是．2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不与点B，C重合），P，Q分别是AC，AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，∠PDQ的度数为．3．（2023•江州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为4．（2023春•昆山市期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点G是边CD的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．5．(2023•兴义市模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，BC＝4，点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN最小值为．

6．（2023春•乐山期中）如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是模型三两定点一定线模型典例4（2023春•玉林期中）如图，已知正方形ABCD边长为6，点E在AB边上且BE＝2，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的最小周长是．变式训练1．（2023•碑林区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边CD、DA上的动点，点G在对角线AC上，且CG＝3AG，则四边形BEFG的周长的最小值为．2．(2023春•洪山区期末）如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF＝1，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形MNFE的周长最小值是．专题7填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马模型）（解析版）模型一两定点一动点模型（1）求两条线段和的最小值典例1(2023春•惠东县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为213思路引领：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF∥AB，由S△PAB=13S矩形ABCD，得12AB•AE=13AB•AD，则AE=23AD＝2，延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则点G与点A关于直线EF对称，由勾股定理求得BG=AB解：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DEF＝∠DAB＝90°，∴EF∥AB，∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB•AE=13AB∴AE=23AD延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则EF垂直平分AG，∴点G与点A关于直线EF对称，∵∠BAG＝90°，AB＝6，AG＝2AE＝2×2＝4，∴BG=AB2∵PG+PB≥BG，且PG＝PA，∴PA+PB≥213，∴PA+PB的最小值是213，故答案为：213．总结提升：此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段之间的关系、两点之间线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．变式训练1．(2023•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝2，BC＝23，则PE+PB的最小值为思路引领：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，则PE+PB的最小值即为BE'的长；由已知可求E'C=3，∠ECE'＝60°；过点E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G=32，CG=32，在Rt△BE'G中，解：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，则PE+PB的最小值即为BE'的长；∵AB＝2，BC＝23，E为BC的中点，∴∠ACB＝30°，∴∠ECE'＝60°，∵EC＝CE'，∴E'C=3过点E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G=32，CG在Rt△BE'G中，BG=3∴BE'＝3；∴PE+PB的最小值为3；总结提升：本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离；通过轴对称将PE+PB转化为线段BE'的长是解题的关键．2．(2023春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为A．3 B．2 C．1 D．5思路引领：连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC＝120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长．解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=12BC∴DE=C总结提升：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．（2）求两条线段差的最大值典例2(2023春•重庆期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为1．思路引领：以BD为对称轴作N的对称点E，连接PE，ME，依据PM﹣PN＝PM﹣PE≤ME，可得当P，M，E三点共线时，取“＝”，再求得CEAC=CMCB=13，即可得出PM∥AB∥CD，∠CME解：如图所示：以BD为对称轴作N的对称点E，连接PE，ME，因为正方形的对角线互相垂直平分且相等，∴点N和E关于BD成轴对称，∴PN＝PE，∴PM﹣PN＝PM﹣PE，∴当点P，E，M三点共线时，PM﹣PE的值最大，为ME的长，在正方形ABCD中，AB＝4，∴AC＝42，∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，∴CEAC∴PM∥AB∥CD，∠CME＝90°，∵∠NCM＝45°，∴△ECM为等腰直角三角形，∴CM＝ME＝1，即PM﹣PN的最大值为1，故答案为：1．总结提升：本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．变式训练1．(2023•金牛区校级模拟）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标（思路引领：根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=12x2+bx+c即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴．易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点解：∵直线y=12x+1与y轴交于点∴点A的坐标为（0，1），将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=12x2+bx得c=11解得：b=−3∴物线的解析式为y=12x2−32x+1=12（则抛物线的对称轴为x=32，B、C关于直线x∴MC＝MB，要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．知直线AB的解析式为y＝﹣x+1∴y=−x+1x=解得：x=3则M（32，−故答案为：（32，−总结提升：本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．2．(2023秋•太仓市期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD＝1：2，tan∠PDB=4（1）则A、B两点的坐标分别为A（﹣1，0）；B（3，0）；（2）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC﹣MB|的值最大，则点M的坐标为（1，−92思路引领：（1）先求得抛物线的对称轴为x＝1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；（2）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，设直线AC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．解：（1）如图所示：∵由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，∴OE＝1．∵OC∥PE∥BD，CP：PD＝1：2，∴EOBE∴BE＝2．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵点A与点B关于PE对称，∴点A的坐标为（﹣1，0）．故答案是：﹣1，0；3，0；（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．将x＝0代入得：y＝c，∴点C的坐标为（0，c）．将x＝1代入得y＝﹣a+c．∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．∴PF＝a．∵PE∥BD，tan∠PDB=4∴tan∠CPF＝tan∠PDB=4∴CFPF解得a=3将a=34代入抛物线的解析式得：y=34x2−将点A的坐标代入得：34+32+∴抛物线的解析式为y=34x2−3由三角形的三边关系，|MC﹣MB|＜AC，∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则b=−9解得k=−9∴y=−94x∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y=−94×∴点M的坐标为（1，−9故答案是：（1，−9总结提升：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，作CF垂直于对称轴，利用锐角三角函数的定义求得a的值是解题的关键．造桥选址模型典例3（2023•市中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为（83，0）思路引领：点A向右平移2单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可．解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE=6∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴MN∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，∴42解得：x=4∴BP＝6﹣2−4故点P的坐标为：（83故答案为：（83总结提升：本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，掌握矩形的性质，灵活运用相似三角形是解题的关键变式训练1．(2023•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为210．思路引领：将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案．解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，EA′=22+∴AC+BD的最小值为210．故答案为：210．总结提升：此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键．2．（2023•河北模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG=AC2，点P是BC中点，连接EF，EP，PG，则EF+A．2 B．2+2 C．2+5 思路引领：连接DG，PD，首先可证四边形EPGF为平行四边形，则EF＝PG，从而EF+BG＝BG+PG，而BG＝DG，从而有EF+BG的最小值为为PD的长度，求出PD的值即可．解：如图，连接DG，PD，由题意得，EP为△ABC的中位线，∴EP∥AC，且EP=1∵正方形ABCD的边长为2，∴AC=AB2∴EP=2，FG=∴EP∥FG且EP＝FG，∴四边形EPGF为平行四边形，∴EF＝PG，根据正方形的对称性可知：BG＝DG，∴EF+BG＝PG+DG，当P，G，D三点共线时，PG+DG取得最小值，即此时EF+BG的最小值为线段PD的长度，在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝2，∴PD=P故EF+BG的最小值为5．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，将EF+BG的最小值转化为线段DP的长是解题的关键．模型二一定点两动点模型典例4如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是6cm．思路引领：由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，可得OC＝OD＝CD＝解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB=12∠∴∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝OP，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN＝6cm，∴DM+CN+MN＝6cm，即CD＝6cm＝OP，故答案为：6cm．总结提升：本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△COD等边三角形是解决问题的关键．变式训练1．（2023秋•工业园区校级期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是128°．思路引领：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，此时△AMN周长最小．解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，∴AM＝EM，AN＝NF，∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，∵∠BAD＝116°，∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，故答案为：128°．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不与点B，C重合），P，Q分别是AC，AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，∠PDQ的度数为100°．思路引领：作点D关于AC的对称点E，作点D关于AB的对称点F，DF交AB于点G，连接EF交AC于点P，交AB于点Q，在△DEF中，∠E+∠EDF+∠F＝180°．∠EDF＝∠CDP+∠PDQ+∠QDG．解：如图，作点D关于AC的对称点E，作点D关于AB的对称点F，DF交AB于点G，连接EF交AC于点P，交AB于点Q，则此时△DPQ的周长最小．∵∠AGD＝∠ACD＝90°，∠A＝40°，∴∠EDF＝140°，∴∠E+∠F＝40°．∵PE＝PD，DQ＝FQ，∴∠CDP＝∠E，∠QDG＝∠F，∴∠CDP+∠QDG＝∠E+∠F＝40°，∴∠PDQ＝140°﹣40°＝100°．故答案为：100°．总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．3．（2023•江州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为245思路引领：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．CH=AC⋅BC∵EF+CE＝EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为245故答案为：24总结提升：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题4．（2023春•昆山市期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点G是边CD的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是43．思路引领：先做对称点再利用垂线段最短求值．解：连接EC，FC，如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8，∴△ACD是边长为8的等边三角形，∵G是CD的中点，∴AG⊥CD，∴AG是CD的垂直平分线，∴EC＝ED，∵EF+EC≥FC，CF⊥AD时，CF最小，∴EF+ED的最小值是等边△ACD的高32故答案为：43总结提升：本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．5．(2023•兴义市模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，BC＝4，点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN最小值为325思路引领：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，EN就是所求的线段．解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，交AC于M，则BM+MN的最小值＝EN，∵AB＝8，BC＝4，∴AC=82+∴AC边上的高为8×44所以BE=16∵∠NBE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠NBE＝∠ACB，∵∠ABC＝∠ENB，∴△ABC∽△ENB，∴ABEN=AC∴EN=32故答案为：325总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．6．（2023春•乐山期中）如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是（）A．4 B．5 C．522 思路引领：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，则PN′＝PM+MN的最小值，根据直线AB的解析式为y＝﹣x+4，得出A（4，0），B（0，4），即可得到OA＝OB，推出△PAN′是等腰直角三角形，于是得到结论．解：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，则PN′＝PM+MN的最小值，∵y＝﹣x+4，∴A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB，∴∠BAO＝45°，∴△PAN′是等腰直角三角形，∵AN′＝5，∴PN′=5∴PM+MN的最小值是52故选：C．总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型．模型三两定点一定线模型典例4（2023春•玉林期中）如图，已知正方形ABCD边长为6，点E在AB边上且BE＝2，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的最小周长是4+413．思路引领：根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．解：如图所示：作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD＝A′D＝6，BE＝BE′＝2，∴AA′＝12，AE′＝8．∴A′E′=122∴四边形AEPQ的周长最小值＝4+413．总结提升：本题考查了正方形的性质以及最短路线的问题，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．变式训练1．（2023•碑林区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边CD、DA上的动点，点G在对角线AC上，且CG＝3AG，则四边形BEFG的周长的最小值为10+74思路引