2024年高中数学专题1-3重难点题型培优精讲集合间的基本关系学生版新人教A版必修第一册

集合间的基本关系1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念假如集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是推断A⊆B的常用方法．②不能简洁地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的全部元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2024•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【变式1-1】（2024•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．7个【变式1-2】（2024春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（）A．A62 B．C62 C．6【变式1-3】（2024秋•尚志市校级月考）已知集合A={xA．5个 B．6个 C．7个 D．8个【题型2集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2024秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2024，1}相等的是（）A．（1，2024） B．{（x，y）|x＝2024，y＝1} C．{x|x2﹣2024x+2024＝0} D．{（2024，1）}【变式2-1】（2024秋•大姚县校级期中）下列四个集合中，是空集的是（）A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}【变式2-2】（2024秋•西宁期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【变式2-3】（2024秋•海安市期中）设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【题型3集合间关系的推断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来推断两集合之间的关系．②元素特征法：依据集合中元素满足的性质特征之间的关系推断．③图示法：利用数轴或Venn图推断两集合间的关系．【例3】（2024春•麒麟区校级期中）已知集合M={y|y=2A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ【变式3-1】（2024•河南模拟）已知集合M={xA．N⊆M B．M⊆N C．M＝N D．M∩N＝∅【变式3-2】（2024•广西模拟）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅【变式3-3】（2024•兴庆区校级三模）下面五个式子中：①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}．正确的有（）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【题型4有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，依据子集所含元素的个数依次写出．③留意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】（2024秋•兰山区校级期中）满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．15个【变式4-1】（2024秋•渝中区校级月考）已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式4-2】（2024秋•开福区校级期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（）A．1个 B．2个 C．3个 D．多数个【变式4-3】（2024•青岛开学）已知集合A＝{a1，a2，a3}的全部非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【题型5利用集合间的关系求参数】【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应留意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常依据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应留意分类探讨思想的运用．【例5】（2024•葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A．{1} B．{3} C．{1，﹣1} D．{3，【变式5-1】（2024秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或-12 B．-13或12【变式5-2】（2024•佛山模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【变式5-3】（2024秋•眉山期末）设集合A＝{x|0＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2024} C．{a|a≥2024} D．{a|0＜a＜2024}【题型6集合间关系中的新定义问题】【方法点拨】依据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.【例6】（2024•衡水模拟）定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．16【变式6-1】（2024秋•和平区校级月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【变式6-2】（2024秋•西乡塘区校级月考）定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（）A．7 B．8 C．15 D．16【变式6-3】（2024秋•同安区校级月考