备考2025届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破3数列中的创新型问题

突破3数列中的创新型问题命题点1数学文化情境下的数列应用例1[2024新高考卷Ⅰ]某校学生在探讨民间剪纸艺术时，发觉剪纸时常常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；假如对折n次，那么∑nk=1Sk＝240（3－n+32解析依题意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；当n＝3时，共可以得到5dm×6dm，52dm×12dm，10dm×3dm，20dm×32dm四种规格的图形，且面积均为30dm2，所以S3＝30×4＝120（dm当n＝4时，共可以得到5dm×3dm，52dm×6dm，54dm×12dm，10dm×320dm×34dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2……所以可归纳Sk＝2402k×（k＋1）＝所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等.训练1[2024安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的依次排成一列，构成数列{an}，记{an}的前n项和为Sn，则S10＝（C）A.495 B.522 C.630 D.730解析由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满意条件的数列{an}是以9为首项，12为公差的等差数列，则an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）命题点2现代生活情境下的数列应用例2某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，将来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此须要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程须要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车须要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车须要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还须要抽调这种型号翻斗车（C）A.25辆 B.24辆 C.23辆 D.22辆解析由题意可知，一辆翻斗车须要20×24＝480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少须要n辆这种型号的翻斗车才能在24h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，…，an，则数列{an}是公差为－13的等差数列，所以a1＝24，记{an}的前n项和为Sn，则Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），当n＝23时，Sn≈467.7＜480，当n＝24时，Sn＝484＞480，故n的值为24训练2[多选]如图所示，这是小挚友们宠爱玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学爱好小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡运用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必需放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所须要的最少移动次数，设bn＝an＋1－n，则下面结论正确的是（ABD）A.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1D.∑i=1nb解析由题意易得，a1＝1，a2＝3.易知将n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所须要的最少次数为an＋1，若要将2号杆中的n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中，所须要移动的最少次数为an；其次步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少须要移动1次；第三步，将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中，须要移动的最少次数为an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以选项A，B均正确；因为bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以选项C错误；因为bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2命题点3数列中的新定义问题例3我们把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的数叫做“费马数”，设an＝log2（Fn－1），n∈N*，Sn表示数列{an}的前n项和，则使不等式22S1S2＋23S2S3＋A.5 B.6 C.7 D.8解析因为Fn＝22n＋1（n∈N），所以当n∈N*时，an＝log2（Fn－1）＝log2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S训练3函数y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知数列{an}满意a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lgan]，则数列{bn}的前2025项和为4968.解析由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.记{bn}的前n项和为Tn，当1≤n≤9时，0≤lgan＜1，bn＝[lgan]＝0；当10≤n≤99时，1≤lg