第三章 勾股定理（知识归纳+题型突破）-苏科版八年级《数学》上学期单元精讲速记巧练（解析版）

第第页第三章勾股定理（知识归纳+题型突破）了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。会用勾股定理进行简单的计算，能应用勾股定理解决实际问题。树立数形结合、分类讨论的思想。1．勾股定理直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法一：，，化简之后就可以得到结论方法二：四个直角三角形＋小正方形面积和大正方形面积为所以方法三：，，化简得证3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定理常见图形常见图形：勾股定理逆定理如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边题型一勾股数（树）问题【例1】下列四组数中，属于勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，【答案】B【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；B、∵，∴9、40、41是勾股数；C、，∴6，7，8不是勾股数；D、，均不是整数，∴1，，不是勾股数；故选：B．【例2】下列各组数中，是勾股数的是（）A．8，24，25 B．8，15，17 C．10，20，26 D．14，36，39【答案】B【详解】解：A、∵，∴，，不是勾股数，故A不符合题意；B、∵，∴，，是勾股数，故B符合题意；C．∵，∴，，不是勾股数，故C不符合题意；D．∵，∴1，，不是勾股数，故D不符合题意．故选：B．【例3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【详解】解：如图所示，由勾股定理，得，故选：B．

巩固训练1．下列四组数中，是勾股数的是（

）A．1，， B．4，5，6 C．1，2， D．8，15，17【答案】D【详解】解：A、1，，这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意；C、1，2，这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意；故选D．2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：选项，，故选项是勾股数，符合题意；选项，，但是无理数，故选项不是勾股数，不符合题意；选项，，故选项不是勾股数，不符合题意；选项，，故选项不是勾股数，不符合题意；故选：．3．下列各数是勾股数的是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】C【详解】解：A、、、不都是正整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；B、，则、、不是勾股数，故此选项不符合题意；C、，则、、是勾股数，故此选项符合题意；D、，则、、不是勾股数，故此选项不符合题意．故选：C．4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为．【答案】25【详解】解：如图，由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积，因此正方形的面积之和，故答案为：25．5．下列各组数据是勾股数的有（

）①5，12，13

②0.3，0.4，0.5

③4，7，5

④1，2，A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】A【详解】解：①，5、12、13是勾股数；②因为勾股数是正整数，因此0.3，0.4，0.5不是勾股数；③，4，7，5不是勾股数；④因为勾股数是正整数，因此1，2，不是勾股数，是勾股数的有1组，故选A．题型二折叠问题【例4】如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（

）

A．4 B．3 C．5 D．2【答案】B【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，∵长方形沿着折叠，∴，，∴，，设，，∴，即，解得，所以，故选：B．【例5】如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的E点，那么的面积为（

）cm2．

A．9 B．6 C．4 D．3【答案】B【详解】解：∵在中，，，，∴，∵将沿折叠，使点C落在边的E点，∴，，，∴，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，，，∴的面积为：，故选：B．【例6】如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求：

(1)线段的长；(2)线段的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，∵折叠矩形的一边，使点落在边的点处，，，∴，在中，∴；（2）解：设，由折叠的性质可得，，在中，，∴，解得．即的长为．巩固训练6．如图，中，，，，将沿折叠，使落在斜边上且与重合，则．

【答案】3【详解】解：中，，，，．由翻折而成，，，．设，则，，在中，，即，解得．故答案为：3．7．如图，正方形的边长为3，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接、、，则四边形的面积为【答案】5【详解】解：由折叠的性质可知，，，正方形的边长为3，，，，，设，则，在和中，，，，，解得：，即，，设，则，，在中，,，解得：，即，，四边形的面积，故答案为：．8．如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为．

【答案】10【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，在中，，即，解得，，则的面积，故答案为：10．9．如图，在长方形中，，，在边上取一点E，将折叠，使点A落在上，记为点F，求的长．

【答案】【详解】解：∵长方形，，，∴，，，设，由对折可得：，，∴，∴，∴，解得：，∴．题型三弦图为背景的计算【例7】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边（），表示斜边，则下列说法中错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵大正方形面积为，∴，故A选项正确，不合题意；∴∵小正方形面积为，∴，故B选项正确，不合题意；∴∴，故C选项错误，符合题意；∴∴（负值舍去），故D选项正确，不合题意；故选：C．【例8】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴，∴，∵，∴，∵小正方形的边长为：，∴．故选C【例9】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，∴，∴四个全等的三角形的面积为，∴，解得，，∵，∴的值是，故选：．巩固训练10．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为．

【答案】25【详解】解：根据题意得：，四个直角三角形的面积为：，化简得：，所以，，所以，故答案为：25．11．如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为a、b，若，小正方形的面积是1，则大正方形的面积是．

【答案】13【详解】解：不妨设直角三角形中较大直角边为b，较小直角边为a，则小正方形的边长为，由题意得：，即，∴，由勾股定理可得：即大正方形的面积为1312．如图，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两直角边为a，b．斜边为c，若，则小正方形的边长为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，∵每一个直角三角形的面积为：，∴大正方形的面积为：，∴，∴，故选：A．题型四判断三边能否构成直角三角形【例10】下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．1，， B．5，12，13 C．2，，3 D．6，8，10【答案】C【详解】解：A、，故能构成直角三角形，本选项不符合题意；B、，故能直角三角形，本选项不符合题意；C、，故不能直角三角形，本选项符合题意；D、，故能直角三角形，本选项不符合题意；故选：C．【例11】下列条件中，不能判定为直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．【答案】D【详解】解：、因为，设，，，且，∴，∴是直角三角形，故本项不符合题意；、∵，∴是直角三角形，故本项不符合题意；、，且，∴，故是直角三角形，故本项不符合题意；、，且，∴最大的角，故不是直角三角形，故本项符合题意．故选：．巩固训练13．下列各组数中，能构成直角三角形的是（

）A．5，5，6 B．1，1， C．6，9，13 D．5，12，23【答案】B【详解】解：A、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；B、，能构成直角三角形，则此项符合题意；C、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；D、，不能构成三角形，则此项不符合题意；故选：B．14．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．6，8，10 B．5，12，13 C．2，3，4 D．9，12，15【答案】C【详解】解：A、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意；B、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意；C、，，，故此选项不能作为直角三角形的三边长，符合题意；D、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意；故选：C．15．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．6，8，10【答案】C【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、，不能构成三角形，故本选项符合题意；D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C题型五勾股定理解三角形（求面积）【例12】如图，已知在中，于点D，，，，

(1)求的长；(2)求证：是直角三角形．【答案】(1)，(2)见解析【详解】（1）解：∵∴在中，在中，∴（2）证明：∵，，，∴，即∴是直角三角形，【例13】如图，在中，，，D为上一点，，，

(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）∵，，，∴，∴是直角三角形，且为斜边，∴；（2）∵，∴，∴在中，，∴，∵，，，∴，∴．【例14】如图，，，求四边形的面积．

【答案】四边形的面积为114【详解】解：∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴四边形的面积．答：四边形的面积为114．【例15】如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积．

【答案】【详解】解：如图所示，连接，，

∴在中，根据勾股定理，，即，∴，∵，∴，即是直角三角形，∴．巩固训练16．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.

【答案】24平方米【详解】解：如图，连接，如图所示：

，米，米，米，米，米，，，这块地的面积为：（平方米）．17．如图四边形中，，，，则四边形的面积是．

【答案】/【详解】解：连接，

∵，∴是等腰直角三角形，在中，∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形的面积．故答案为：．18．计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)求线段与的长；(2)求四边形的面积；(3)求证：．【答案】(1)，(2)(3)见解析【详解】（1）∵每个小正方形的边长都为1，∴，（2）（3）连接，

∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且为斜边，∴．题型六梯子滑落问题【例16】如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？

【答案】米．【详解】解：如图，

由题意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端将向右滑动米．【例17】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为．

【答案】10米/10m【详解】解：由题意知，，，，，由勾股定理得，，，∴，即，解得，，（舍去），故答案为：10米．巩固训练19．如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上的上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为1米，则梯子顶端A下落了米？（精确到）

【答案】【详解】解：由题意可得，，，，∴，∵，∴，∴，故答案为：；20．如图所示，一架长为米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙角处米，如果梯子顶端沿墙下滑米，梯子的底端沿水平方向滑动米．

【答案】【详解】解：在中，米，米，米，米．在中，米，米，米，所以米．即梯子底端滑动了米．故答案为：．21．如图，一架梯子长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？【答案】(1)8米(2)米【详解】（1）梯子距离地面的高度为：（米）；（2）∵梯子下滑了2米∴米，∴此时梯子距离地面的高度为（米），∴（米），∴米．22．如图，一架2.5m长的梯子斜靠在竖直墙上，此时为2.4m．

(1)求的长度：(2)如果梯子顶端A沿墙面向下移动0.4m到达点C，那么梯子底端B向外移动多少米？【答案】(1)(2)梯子底端B向外移动0.8米【详解】（1）解：在中，，，∴；（2）依题意可知，，

∵为直角三角形，∴；

∴，

∴梯子底端B向外移动0.8米．题型七最短路径问题【例18】如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处沿盒子表面爬到处去吃，求小虫爬行的最短路程．

【答案】从E处爬到C处的最短路程是．【详解】解：分两种情况：①如图展开，连接EC，

在中，，，由勾股定理得：；②如图展开，连接EC，

根据勾股定理同法可求；故从E处爬到C处的最短路程是．【例19】如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．

(1)求线段的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】(1)(2)蚂蚁爬行的最短距离是【详解】（1）解：，，，线段的长为．（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图

∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∴蚂蚁爬行的最短距离是．【例20】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，和是这个台阶的两个相对的端