函数的应用学案 人教课标版()

函数的应用学案

方程的根与函数的零点

学习目标

.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与

方程根的联系；

.掌握零点存在的判定定理.

2学习过程

✓w»zwwvwwwwwwwwww\^^*ww'

一、课前准备

(预习教材，找出疑惑之处)

复习：一元二次方程以2(W)的解法.

判别式A.

当A,方程有两根，为42=；

当△,方程有一根，为々=;

当A,方程无实根.

复习：方程(#)的根与二次函数2(片)的图象之间有什么关系？

判别式一元二次方程二次函数图象

A>0

△=0

A<0

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

①方程r-2x-3=0的解为，函数丫=/一2》一3的图象与轴有个交点，坐标为.

②方程/-2x+l=0的解为，函数y=f-2x+l的图象与轴有个交点，坐标为.

③方程f-2x+3=0的解为，函数y=f-2x+3的图象与轴有个交点，坐标为.

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程以2+云+。=0(”H0)的根就是相应二次函数y=a?+bx+c=O(awO)的图

象与轴交点的.

你能将结论进一步推广到y=/(x)吗?

新知：对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数叫做函数y=/(x)的零点().

反思:

函数y=/(x)的零点、方程/(x)=0的实数根、函数y=/(x)的图象与轴交点的横坐标，三

者有什么关系？

试试：

()函数y=V-4x+4的零点为；()函数y=f-4x+3的零点为.

小结：方程/(x)=0有实数根。函数y=f(x)的图象与轴有交点O函数y=/(x)有零点.

探究任务二：零点存在性定理

问题：

①作出y=V—4x+3的图象，求〃2)J⑴,/(0)的值，观察人2)和/(0)的符号

②观察下面函数y=/(x)的图象,

在区间侬,切上零点；/(«)f(b)；

在区间g,c］上零点：/(6)/(c)；

在区间lc,d\上零点；/(c)f(d).

新知：如果函数y=/(x)在区间团,加上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)/S)<,

那么，函数y=/(x)在区间(“⑼内有零点，即存在ce(“,6),使得/(c)=0,这个也就是方程

/(x)=0的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※典型例题

例求函数/(x)=Inx+2x-6的零点的个数.

变式：求函数/(x)=lnx+x-2的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.

①代数法：求方程/(x)=0的实数根；

②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并利用

函数的性质找出零点.

※动手试试

练.求下列函数的零点：

()y=x2-5%-4；

()=(x-l)(x2-3x+1).

练.求函数y=2,-3的零点所在的大致区间.

三、总结提升

※学习小结

①零点概念；②零点、与轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

()函数的图象是连续的，当它通过零点时(非偶次零点)，函数值变号.

推论：函数在区间［。,句上的图象是连续的，且/(a)/S)<0,那么函数/(x)在区间3,句上

至少有一个零点

()相邻两个零点之间的函数值保持同号.

2学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为().

.很好.较好.一般.较差

※当堂检测(时量：分钟满分：分)计分：

.函数/*)=，—2)(/-31+2)的零点个数为().

.若函数/*)在句上连续，且有/(a)/3)>0.则函数/⑶在［a,0上().

.一定没有零点.至少有一个零点

.只有一个零点.零点情况不确定

.函数"r)=ei+4x-4的零点所在区间为().

.(-1,0).(0,1).(1,2).(2,3)

.函数>=-丁+x+20的零点为.

.若函数〃x)为定义域是的奇函数，且/(x)在(0,内)上有一个零点.则/(x)的零点个数为.

，一,课后作业

.求函数y=Y-2x2-x+2的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

已知函数f(x)=2(m+\)x2+4mx+2m-\.

()，”为何值时，函数的图象与x轴有两个零点;

()若函数至少有一个零点在原点右侧，求〃?值.

§3.1.2用二分法求方程的近似解

'5学习目标

.根罐具体函数囱象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函

数观点处理问题的意识.

学习过程

一、课前准备

(预习教材，找出疑惑之处)

复习：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？

对于函数y=/(x),我们把使的实数叫做函数y=/(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根o函数y=f(x)的图象与轴=函数y=f(x).

如果函数y=/(x)在区间立切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数

y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

复习：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？

二、新课导学

※学习探究

探究任务：二分法的思想及步骤

问题：有个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的,

要求次数越少越好.

解法：

第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；

第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；

第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求y=lnx+2x-6的

零点所在区间？如何找出这个零点？

新知：对于在区间侬力］上连续不断且/(a)〃加〈的函数y=/(x),通过不断的把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分

法().

反思：

给定精度e,用二分法求函数/(x)的零点近似值的步骤如何呢？

①确定区间团向>验证/(a)f(b)<0,给定精度£;

②求区间(a,加的中点不；

③计算/(苞)：若/(办)=0,则为就是函数的零点；若/(a)/(王)<0,贝！I令8"(此时零

点与6(4,为))；若则令a=X1(此时零点七€(%,6))；

④判断是否达到精度e；即若|〃-川<£,则得到零点零点值(或)；否则重复步骤②④.

※典型例题

例借助计算器或计算机，利用二分法求方程2"+3x=7的近似解.

变式：求方程2'+3x=7的根大致所在区间.

※动手试试

练.求方程log,x+x=3的解的个数及其大致所在区间.

练.求函数，(x)=V+x2-2x_2的一个正数零点(精确到0.1)

零点所在区间中点函数值符号区间长度

练.用二分法求出的近似值.

三、总结提升

※学习小结

①二分法的概念；②二分法步骤：③二分法思想.

※知识拓展

高次多项式方程公式解的探索史料

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于次的函数，类似的努力

却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔()和伽罗瓦()的研究，人们认识到高于次

的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，

即使对于次和次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算.因

此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计

算数学中十分重要的课题.

■2学习评价

温自莪评价你完血本节导学案的情况为().

・很好.较好.一般.较差

※当堂检测(时量：分钟满分：分)计分：

.若函数/(X)在区间可上为减函数，则/(X)在,例上().

.至少有一个零点.只有一个零点

.没有零点.至多有一个零点

.下列函数窗象与X轴均有交点，其中不露用二分法求函数零点近似值的是().

.函数/(x)=2xln(x-2)-3的零点所在区间为().

.(2,3).(3,4).(4,5).(5,6)

.用二分法求方程V-Zx-SnO在区间［,］内的实根，由计算器可算得/(2)=-1,/⑶=16,

/(2.5)=5.625,那么下一个有根区间为.

,函数f(x)=lgx+2x-7的零点个数为，大致所在区间为.

aJ课后作业

.求方程0.9,-0.民=0的实数解个数及其大致所在区间.

.借助于计算机或计算器，用二分法求函数/(x)=V—2的零点(精确到0.01).

§函数与方程(练习)

“5”学习月标

•底会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件；

.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

.初步形成用图象处理函数问题的意识.

—学习过程

一、课前准备

(预习教材，找出疑惑之处)

复习：函数零点存在性定理.

如果函数y=/(x)在区间口,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数

y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

复习：二分法基本步骤.

①确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度£；

②求区间(a,6)的中点,；

③计算f(Xi)：若了(不)=0,则占就是函数的零点；若/⑷/(与)<0,则令6=斗(此时零

点%€(4,%))；若/(玉)/3)<0,则令a=占(此时零点%W&,%))；

④判断是否达到精度J即若|a-切<£,则得到零点零点值(或)；否则重复步骤②④.

二、新课导学

※典型例题

例己知/(%)=2+log,x(l<x<9),判断函数g(x)=r(x)+/(x2)有无零点？并说明理由.

例若关于x的方程产―6x+8|=a恰有两个不等实根，求实数的取值范围.

小结：利用函数图象解决问题，注意"(x)|的图象.

例试求f(x)=x3-8x+l在区间口内的零点的近似值，精确到.

小结：利用二分法求方程的近似解.注意理解二分法的基本思想，掌握二分法的求解步骤.

※动手试试

练.己知函数〃x)=ar-4,g(x)=4|M，两函数图象是否有公共点?若有，有多少个?并求出

其公共点的横坐标.若没有，请说明理由.

练.选择正确的答案.

()用二分法求方程在精确度£下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间(。力)且

f(a)/(/?)<0,此时不满足心-4<£,通过再次取中点c=W2,有/(a)/(c)<0,此时

|a-d<£,而a,仇c在精确度£下的近似值分别为办,七,工(互不相等).则/(x)在精确度e下

的近似值为().

X).x2.x3

O已知X1,X2是二次方程/(x)的两个不同实根，0X4是二次方程g(x)=O的两个不同实根，

若g(j0^(^)<0,则().

.阳，X?介于X,和x4之间

.X3,X4介于X］和x2之间

.X1与马相邻，与相邻

.X,,为与占，血相间相列

三、总结提升

※学习小结

.零点存在性定理；

,二分法思想及步骤；

※知识拓展

若函数/(X)的图象在X=X。处与X轴相切，则零点X。通常称为不变号零点；若函数/(X)的

图象在X=X0处与X轴相交，则零点X。通常称为变号零点.

二分法的条件/(a)/S)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.

,2学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为().

・很好.较好.一般.较差

※当堂检测(时量：分钟满分：分)计分：

.若)，=f(x)的最小值为，则y=/(x)-l的零点个数为().

...或.不确定

.若函数/(X)在［a,以上连续，且同时满足/(a)/S)<0,f(a)/(^)>0.则().

./(x)在他，空马上有零点

2

.f(x)在［学,切上有零点

./*)在M，”3上无零点

2

.f(x)在［史丈刈上无零点

.方程-2|=Igx的实数根的个数是().

....无数个

.方程2'+x=4的一个近似解大致所在区间为.

.下列函数：①Igx；②y=2、③；④一.其中有个零点的函数的序号是.

WWWWWWWW课WW后WW作WWW业WW*

已知/(x)=2+2x-x*2,

()如果g(x)=/(2-/),求g(x)的解析式;

()求函数g(x)的零点大致所在区间.

.探究函数y=0.3"与函数y=log（＞.3X的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与

交点距离不超过0」的点.

§3.2.1几类不同增长的函数模型（）

学习标

.结合实椀体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增

长差异；

.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及累函数的增长差

异；

.i合当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.

学习过程

一、课前灌至

（预习教材，找出疑惑之处）

阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”

有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.年，有人从欧洲带

进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到

年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到亿只.可爱的兔子变得可恶起来，亿只兔子吃掉

了相当于亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使

澳大利亚头痛不己，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用

载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.

二、新课导学

※典型例题

例假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:

方案一：每天回报元；

方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；

方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

反思：

①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算

器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.

例某公司为了实现万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达

到万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增

加而增加但奖金不超过万元，同时奖金不超过利润的.现有三个奖励模型：

y=0.25x；y=log7x+1；y=1.002”.

问：其中哪个模型能符合公司的要求？

XM)400600KOO1000•

反思：

①此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

※动手试试

练.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量与净化时间(月)

的近似函数关系：>="(2，>且彳).有以下叙述

①第个月时，剩留量就会低于

5

②每月减少的有害物质量都相等；

③若剩留量为g,(1所经过的时间分别是田2/，则4+，2=小

其中所有正确的叙述是.

练.经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前〃个月，对某种商品需求总量/(〃)(万件)

近似地满足关系

/(»)=高〃("+1)(35-2n)(n=1,2,3,,12).

写出明年第〃个月这种商品需求量g(〃)(万件)与月份〃的函数关系式.

三、总结提升

※学习小结

.两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；

.几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数;

.应用建模(函数模型)；

※知识拓展

解决应用题的一般程序：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③解模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义.

2学习评价

设自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

.很好.较好.一般.较差

※当堂检测（时量：分钟满分：分）计分：

.某种细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个，个分裂成个……，现有个这样的细胞，分

裂次后得到的细胞个数为（）.

.y=2川」.*.

.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长

越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（）.

.一次函数.二次函数

.指数型函数.对数型函数

.一等腰三角形的周长是，底边长是关于腰长的函数，它的解析式为（）.

.（W）.（＜）.（WW）.（«）

.某新品电视投放市场后第个月销售台，第个月销售台，第个月销售台，第个月销售台，则

销量与投放市场的月数之间的关系可写成.

.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮

病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的台计算机.现在台计算机在第轮病毒发作时

被感染，问在第轮病毒发作时可能有台计算机被感染.（用式子表示）

,6课后作亚

某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在

价目卡上，并注明按该价销售.这样，仍可获得的纯利.求此个体户给这批服装定的新标价

与原标价之间的函数关系.

§3.2.1几类不同增长的函数模型（）

’5学习月标

.结合实椀底会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增

长差异；

.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及基函数的增长差

异；

.i合当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列表)并借助信息技术解决一些实际问题.

学习过程

一、谏前南普

(预习教材，找出疑惑之处)

复习：用石板围一个面积为平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为米时,

才能使所有石料的最省.

复习：三个变量%为随自变量*的变化情况如下表:

X

其中X呈对数型函数变化的变量是，呈指数型函数变化的变量是，呈黑函数型变化的变量是.

二、新课导学

※学习探究

探究任务：幕、指、对函数的增长差异

问题：基函数y=x"(”>0)、指数函数y=a*(a>l)、对数函数y=log〃x(4>l)在区间(0,+°°)上

的单调性如何？增长有差异吗？

2

实验：函数y=2",y2=x,y=log,x,试计算:

X

由表中的数据，你能得到什么结论？

思考：log?x,2",V大小关系是如何的？增长差异？

x

结论：在区间(0,M)上，尽管y=a(a>1)，y=log((x(a>1)和

y=x"(w>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个

“档次”上，随着的增大，y="(a>1)的增长速度越来越快，会超

过并远远大于y=x"5>0）的增长速度.而y=log“x（a>l）的增长速度则越来越慢.因此，总

会存在一个X。，当X>Xo时，就有log«x<x"<，.

※典型例题

例某工厂今年月、月、月生产某种产品的数量分别为万件，万件，万件，为了估计以后每个

月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量f与月份的X关系，

模拟函数可以选用二次函数或函数y=皿'+C（其中66,的常数）.已知月份该产品的产量为

万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

小结：待定系数法求解函数模型；优选模型.

※动手试试

练.为了预防流感，某学校「蜜编对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物

释放过程中，室内每立方米1空气中的含药量（毫克）与时间（小时）

成正比；药物释放完毕后,与的函数关系式为y=（为常数）,

如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（）从药物释放开始，每立方方米空气中的含药量（毫克）与时间（小

时）之间的函数关系式为.

（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释

放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

练.某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高

销售价格.经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按元的价格销售时，每

月能卖件，假定每月销售件数(件)是价格(元件)的一次函数.

()试求与之间的关系式；

()在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得

最大利润？每月的最大利润是多少？

三、总结提升

※学习小结

直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.

※知识拓展

在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订

最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法.它

被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，儿乎可以用于凡是有数值加工的每个领域.中

国数学家华罗庚在推广优选方法的理论研究和开发研究工作中付出巨大贡献.

,2学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为().

.很好.较好.一般.较差

※当堂检测(时量：分钟满分：分)计分：

.某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订

一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量与时间

的函数图象大致是().

HbC"2

下列函数中随X增大而增大速度最快的是().

.y=2007InX.y=x2007

•y=y=2007-2,

2007

.根据三个函数/(x)=2x,g(x)=2*,/z(x)=log2x给出以下命题:

O/(x),g(x),〃(x)在其定义域上都是增函数；

()/(X)的增长速度始终不变；()/(X)的增长速度越来越快;

Og(x)的增长速度越来越快；()/z(x)的增长速度越来越慢。

其中正确的命题个数为().

.当2cx<40寸,log2X,2',x2的大小关系是.

.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是元；如果自己

生产，则每月的固定成本将增加元，并且生产每个配件的材料和劳力需元，则决定此配件外

购或自产的转折点是件(即生产多少件以上自产合算)

课卮作业

某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价元，茶杯每个定价为元，该店推出两种优惠办法：

()买一个茶壶赠送一个茶杯；

()按总价的付款.

某顾客需购茶壶个，茶杯若干(不少于个)，若需茶杯x个，付款数为(元)，试分别建立两

种优惠办法中与X的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.

§3.2.2函数模型的应用实例()

学习目标

.通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幕函数的广泛应用,

体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；

.了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.

2学习过程

一、课前而善

(预习教材，找出疑惑之处)

复习：某列火车众北京西站开往石家庄，全程，火车出发开出后，以匀速行驶.试写出火车

行驶的总路程与匀速行驶的时间之间的关系式，并求火车离开北京内行驶的路程.

复习：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，则

该汽车在前小时内行驶的路程为，假设这辆汽车的里程表在汽车行

驶这段路程前的读数为2006km,那么在时,汽车里程表

读数与时间的函数解析式为.

二、新课导学

※典型例题

例一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如右图：

()求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；

()假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试建立汽

车行驶这段路程时汽车里程表读数和时间的函数解析式.

变式：某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100公”，票价是0.5元加，如果超过

100^,则超过100^7的部分按0.4元km定价.则客运票价y元与行程公里xkm之间的函数

关系是.

小结：分段函数是生产生活中常用的函数模型，与生活息息相关，解答的关键是分段处理、

分类讨论.

例人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人

口增长提供依据.早在年，英国经济学家马尔萨斯（一）就提出了自然状态下的人口增长模

型：y=%e",其中表示经过的时间，为表示f=0时的人口数，表示人口的年平均增长率.下

表是年我国的人口数据资料：（单位：万人）

年份

人数

年份

人数

）若以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到），用马尔萨斯人口

增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相

符；

）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到亿？

小结：人口增长率平均值的计算；指数型函数模型.

※动手试试

练.某书店对学生实行促销优惠购书活动，规定一次所购书的定价总额：①如不超过元，则

不予优惠；②如超过元但不超过元，则按实价给予折优惠；③如超过元，其中少于元包括元

的部分按②给予优惠，超过元的部分给予折优惠.

()试求一次购书的实际付款元与所购书的定价总额元的函数关系；

()现在一学生两次去购书，分别付款元和元，若他一次购买同样的书，则应付款多少？比

原来分两次购书优惠多少？

练.在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时.，价格呈上升趋势.设某服装开

始时定价为元，并且每周(天)涨价元，周后开始保持元的平稳销售；周后当季节即将过去

时，平均每周降价元，直到周末，该服装已不再销售.

()试建立价格与周次之间的函数关系；

()若此服装每件进价与周次之间的关系式为。=-0.125，-8丫+12收［0,q/€代，试问该

服装第几周每件销售利润最大？

三、总结提升

※学习小结

.分段函数模型；

.人口增长指数型函数模型;

※知识拓展

英国物理学家和数学家牛顿(，年)曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型：

e=%+(a-q)e-”,其中表示经过的时间，4表示物体的初始温度，。。表示环境稳定，为正

的常数.

学习评价

装自我评价你完成本节导学案的情况为().

.很好.较好.一般.较差

※当堂检测(时量：分钟满分：分)计分：

.按复利计算，若存入银行万元，年利率，年后支取，则可得利息(单位:万元)为().

.()3.()2

.克盐水中，加入克的盐水，浓度变为，则与的函数关系式为().

b-cc-a

、两家电器公司在今年一月份的销售量如下图所示,

则相对于其市场份额比例比较大的月份是().

.月.月.月.月

.拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由()(X[])元给出，其中》，口是大于或等于的最

小整数(职□,□),则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为元.

.已知镭经过年，质量便比原来减少％,设质量为的镭经过x年后的剩留量为y,则y=/(x)

的函数解析式为.

课后作业

经市场调查，某商品在过去天内的销售量和价格均为时间r(d)的函数，且销售量近似

地满足gQ)=-$+野(l<r<100,teN\前天价格为/Q)=]+22(1</<40,t&N),

后天的价格为人力=-；+52(41<r<100,Ze/V),试写出该种商品的日销售额与时间f的函

数关系.

§3.2.2函数模型的应用实例()

、笑习月标.

.逋过一些实例，亲感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幕函数的广泛应用,

体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；

.初步了解对统计数据表的分析与处理.

“2学习过程

一、课前准备

(预习教材，找出疑惑之处)

阅读：年月11,西安交通大学医学院紧急启动''建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”

研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于月日初步完成了第一批成果，并制成了要

供决策部门参考的应用软件.

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，

结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人

延迟隔离天，就医人数将增加人左右，推迟两天约增加工能力人左右；若外界输入人中包含

一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数人左右；若月日以后，政府示采取隔离措施，则

高峰期病人人数将达万人.

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力

学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.

二、新课导学

※典型例题

例某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为元,每桶水的进价是元.销售单价与日

均销售量的关系如下表所示：

销售单价

元

日均销售

量桶

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

变式：某农家旅游公司有客房间，每间日房租为元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高

租金，如果每间客房日增加元，客房出租数就会减少间.若不考虑其他因素，旅社将房间租

金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

小结：找出实际问题中涉及的函数变量f根据变量间的关系建立函数模型f利用模型解决实

际问题一小结：二次函数模型。

例某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表（身高：；体重：）

身高

体重

身高

体重

()根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男

性体重与身高与身高的函数模型的解析式.

()若体重超过相同身高男性平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为，

体重的在校男生的体重是否正常？

小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据

f画散点图一选择函数模型f求函数模型一检验f符合实际，用函数模型解释实际问题；不

符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.

※动手试试

练.某司学寿成1项华务邦花百个小时，！也记卷的串成工作量的百分数如下：

时间|

小时__________________________________________

完成

百分

数IIIIIIIII

。如果用TS)来表示小时后完成的工作量的百分数，请问7(5)是多少？求出7(例的解析式,

并画出图象；

O如果该同学在早晨：时开始工作，什么时候他未工作？

练.有一批影碟()原销售价为每台元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方

法促销：买一台单价为元，买两台单价都为元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再

减少元，但每台售价不能低于元；乙商场一律都按原价的销售.某单位需购买一批此类影碟

机，问去哪家商场购买花费较低？

三、总结提升

※学习小结

.有关统计图表的数据分析处理；

.实际问题中建立函数模型的过程;

※知识拓展

根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

①一次函数模型：f(x)=kx+h(k^oy,

②二次函数模型：g(x)=ax2+bx+c(a0);

JI

③事函数模型：h(x)=ax2+b(aw0);

④指数函数模型：IM=abx+cbwl)

「冬姨、常习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为().

・很好.较好.一般.较差

※当堂检测(时量；分钟满分：分)计分：

,向高为的圆锥形漏斗内注入化学溶液$刁(漏斗下口暂且关闭)，注入溶液量与溶液

深度的大概图象是().\\/

vivivAv|

o]hoThofh61h

ABC.D.

某种生物增长的数量y与时间t的关系如下表：

X...

y...

F面函数关系式中，能表达这种关系的是().

.y=x2-1.y=2'-1

.y=2x-\.y=1.5x?-2.5x+2

某企业近几年的年产值如下图：

则年增长率（增长率增长值原产值）最高的是（）.

.年..年.

.某杂志能以每本的价格发行万本，设定价每提高元，发行量就减少万本.则杂志的总销售

收入万元与其定价的函数关系是.

.某新型电子产品年投产，计划年使其成本降低％.则平均每年应降低成本.

2课后作业

某地新建一个服装厂，从今年月份开始投产，并且前个月的产量分别为万件、万件、万

件、万件.由于产品质量好，服装款式新颖，因此前儿个月的产品销售情况良好.为了在推

销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？

第三章函数的应用（复习）

aj学习目标

.体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近

似解，初步形成用函数观点处理问题的意识；

.结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中

的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.

学习过程.

一、藻而准落

（复习教材，找出疑惑之处）

复习：函数零点存在性定理.

如果函数y=/（x）在区间出力］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数

y=/（x）在区间①力）内有零点.

复习：二分法基本步骤.

①确定区间侬向，验证定。）〃力<0,给定精度J

②求区间（a,b）的中点X1；

③计算一（%）：若，（为）=0,则占就是函数的零点；若f（a）/（为）<0,则令6=不（此时零

点为€（4,%））；若/1（%）f（b）<0,则令a=X］（此时零点不七（占,6））；

④判断是否达到精度£;即若|a-匕|<£,则得到零点零点值（或）；否则重复步骤②④.

复习：函数建模的步骤.

根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据一画

散点图一选择函数模型一求函数模型~检验一符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合

实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.

二、新课导学

※典型例题

例已知二次方程(加-2)f+3尔+1=0的两个根分别属于()和()，求相的取值范围.

例某工厂生产某产品吨所需费用元，而卖出吨的价格为每吨元，已知,，

10b

()试写出利润关于的函数；

()若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为吨时利润最大，此时每吨价格为元，求实数、

的值.

例将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表:

时间()

温度

(℃)

时间()

温度

(℃)

()描点画出水温随时间变化的图象；

()建立一个能基本反映该变化过程的水温y(℃)关于时间x(s)的函数模型，并作出其图象,

观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.

()水杯所在的室内温度为℃,根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？

再经过几分钟会降到。C?对此结果，你如何评价？

※动手试试

练.某种商品现在定价每年元，每月卖出件，因而现在每月售货总金额元，设定价上涨成,

卖出数量减少成，售货总金额变成现在的倍.

()用和表示；()若白，求使售货总金额保持不变的值.

3

练.如图，在底边，高的△中作内接矩形，设矩形面积为，.

()写出面积以为自变量的函数式，并求其定义域；

()求矩形面积的最大值及相应的值.

三、总结提升

※学习小结

零点存在定理及二分法；函数建模.

※知识拓展

数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适

当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）

模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能

解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策

或控制。

数学建模：（）把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证

模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用

过程称为数学建模.

京破学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

・很好.较好.一般.较差

※当堂检测（时量：分钟满分：分）计分：

・函数f（x）=x5+x—3的实数解落在的区间是（）.

.[,].[,]

.[,].[,]

.下列函数关系中，可以看着是指数型函数丫=妨'（女€凡。＞0且4W1）模型的是（）.

.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

.我国人口年自然增长率为％,这样我国人口总数随年份的变化关系

.如果某人内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系

.信件的邮资与其重量间的函数关系

.用长度为的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长

度为（）.

.若函数/（x）=V+2x+a没有零点，则实数的取值范围是.

.已知某工厂生产某种产品的月产量与月份满足关系•（），现已知该厂今年月、月生产该产

品分别为万件、万件.则此厂月份该产品的产量为.

2,课后作业

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长

的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点

要爬一次电线杆，长，大约有多根电线杆子呢.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合

理？要把故障可能发生的范围缩小到左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？

必修一模块总复习

学习目标

.理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究

问题，如数轴分析、图；

.深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性;

.掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指

数函数、对数函数的性质；了解五个幕函数的图象及性质；

.体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近

似解；

.了解函数模型(如指数函数、对数函数、嘉函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函

数模型)的广泛应用.

“6学习过程

一、藻而海舂

(复习教材，找出疑惑之处)

复习：集合部分知识结构.

_______।一、.合।________

।集t与元素概念।।集合与元素%合关系।

包

相运

等

列图含

关算

举示关

系