初中数学概率难题汇编附答案

初中数学概率难题汇编附答案

一、选择题

1.某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出

m

的点数是偶数的频率为一，则下列说法正确的是（）

n

A.一m—定等于士1B.m一—定不等于上

n2n2

m1niI

c.一一定大于一D.投掷的次数很多时，一稳定在一附近

n2n2

【答案】D

【解析】

某人随意投掷一枚均匀的骰子,投掷了n次,其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是

偶数的频率为二，

n

则投掷的次数很多时‘稳定在12附近，

n

故选D.

点睛：本题考查了频率估计概率的知识点，根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事

件发生的频率逐渐稳定在概率附近判断即可.

2.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次

（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）

1

A.-B.—

23

..45

C.一D.-

99

【答案】c

【解析】

【分析】

根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.

【详解】

•.•总面积为3X3=9,其中阴影部分面积为4x,xlx2=4,

2

4

飞镖落在阴影部分的概率是一.

9

故答案选：C.

【点睛】

本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用

阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例

即事件（A）发生的概率.

3.如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中

阴影部分构成轴对称图形的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，

共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因

3

此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为3+5=M

故选C

4.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小

明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.

【详解】

解：画树状图得:

开始

红绿白白

/N/N/1\/1\

球白白红白白红绿白红球白

•••共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，

两次都摸到白球的概率是：

126

故答案为C.

【点睛】

本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结

果是本题的解题关键.

5.欧阳修在《卖油翁》中写道：〃（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油

之，自钱孔入，而钱不湿〃，可见卖油的技艺之高超,如图，若铜钱半径为2cm,中间有边长

为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中

的概率是（）

©

11

A.-B.-C.——D.——

nn2n47r

【答案】D

【解析】

【分析】

用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得.

【详解】

・・•铜钱的面积为4n,而中间正方形小孔的面积为L

.•.随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是」

47r

故选：D.

【点睛】

考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比,

面积比，体积比等.

6.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相

同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2

种结果数，根据概率公式计算可得.

【详解】

画“树形图"如图所示：

xTxxTxxTx

左直右左直右左百右

•.•这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2

种，

2

一辆向右转，一辆向左转的概率为

故选：B.

【点睛】

此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数

与总情况数之比求解

7.下列事件中，是必然事件的是（）

A.购买一张彩票，中奖B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.任意画一个三角形，其内角和是180。

【答案】D

【解析】

【分析】

先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可

能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.

【详解】

A.购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；

B,射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是180。，属于必然事件，符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件.

8.一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,随机

摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率

为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.

【详解】

画树状图得：

木木木木

234IJ4124f,,

•.•共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，

21

两次摸出的小球标号之和等于6的概率=二=

126

故选A.

【点睛】

考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.

9.太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程

根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这

四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个

不同的垃圾桶，投放正确的概率是（）

等⑨

11一11

A.-B.一c.—D.—

681216

【答案】c

【解析】

【分析】

根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率.

【详解】

解：由列表法，得：

D|DA|DB|DCI、

共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对

应投放的结果为1种，

投放正确的概率为：P=~;

12

故选择：C.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数.

10.国家医保局相关负责人3月25日表示，2019年底前我国将实现生育保险基金并入职

工基本医疗保险基金，统一征缴，就是通常所说的"五险变四险”.传统的五险包括：养老保

险、失业保险、医疗保险、工伤保险、生育保险.某单位从这五险中随机抽取两种，为员工

提高保险比例，则正好抽中养老保险和医疗保险的概率是（）

A.-

5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意先画出树状图得出所有等可能情况数和正好抽中养老保险和医疗保险的情况数，

然后根据概率公式即可得出答案.

【详解】

用字母A、B、C、D、E分别表示五险：养老保险、失业保险、医疗保险、工伤保险、生育

保险，画树状图如下：

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20种等可能的情形，其中正好抽中养老保险和医疗保险的有2种情形，

所以，正好抽中养老保险和医疗保险的概率p=2=’.

2010

故选B.

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此

题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

11.下列说法正确的是（）

A.对角线相等的四边形一定是矩形

B.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

C.如果有一组数据为5,3,6,4,2,那么它的中位数是6

D.“用长分别为5CT?7、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形"这一事件是不可能事件

【答案】D

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义

依次判断即可.

【详解】

A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；

B.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；

C.一组数据为5,3,6,4,2,它的中位数是4,故该项错误；

6"用长分别为5。7〃、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形"这一事件是不可能事件，

正确，

故选：D.

【点睛】

此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定

义，综合掌握各知识点是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中有三个点的坐标：A（0,-2）,B（2,0）,C（-L-3）,仄A、B、C

三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线y=，-x-2上的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.一

3623

【答案】A

【解析】

【分析】

先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线y=--*一2上的结

果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：在A（0,—2）,8（2,0）,C（—l,-3）三点中,其中A8两点在y=一.2上,

根据题意画图如下：

开始

ABC

z\z\/\

BCACAB

共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线y=x2-x-2上的结果数为2,

21

所以两点都落在抛物线y=X?-x-2上的概率是

63

故选：A-

【点睛】

本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征.通过列表法或树状图法展示所有等

可能的结果求出〃，再从中选出符合事件A或8的结果数目〃？，然后根据概率公式求出事

件A或3的概率.也考查了二次函数图象上点的坐标特征.

13.已知一个口袋中装有六个完全相同的小球，小球上分别标有1,2,5,7,8,13六个

数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数记为m,则使得一次函数丫=(-

m+1)x+11-m经过一、二、四象限且关于x的分式方程与=3x+3匚的解为整数的概

x—8x—8

率是()

【答案】B

【解析】

【分析】

求出使得一次函数y=(-m+1)x+11-m经过一、二、四象限且关于x的分式方程——二

X—8

Qx

3x+——的解为整数的数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.

x-8

【详解】

解：•.,一次函数y=(-m+1)x+11-m经过一、二、四象限，-m+l〈O,11-m>0,

，符合条件的有：2,5,7,8,

把分式方程口上=3x+-^上•去分母，整理得：3x2-16x-mx=O.

x—8x—8

-16+万

解得：x=O,或*=------,

3

58,

3

/.mw8,

•；分式方程—=3x+—的解为整数，

x—8x-8

.,.m=2,5,

mx

・•・使得一次函数y=(-m+1)x+11-m经过一、二、四象限且关于x的分式方程——=

x-8

Q

3x+Str—的解为整数的整数有2,5,

x—8

YYIX

・・・使得一次函数y=(-m+1)x+11-m经过一、二、四象限且关于x的分式方程——=

x-8

QY,I

3x+——的解为整数的概率为:=

x-863

故选：B.

【点睛】

本题考查了概率公式的应用、一次函数的图象与系数的关系以及分式方程的解，熟练掌握是

解题的关键.

14.下列说法正确的是()

A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式

B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4

C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1

D.若甲组数据的方差4=0,128,乙组数据的方差立=0.036,则甲组数据更稳定

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出

答案.

【详解】

A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误；

B、一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4.5,故此选项错误；

C、必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1,正确；

D、若甲组数据的方差5中2=0.128,乙组数据的方差S/=OQ36,则乙组数据更稳定，故原

说法错误；

故选：C.

【点睛】

此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关

定义是解题关键.

15.如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方

形内部及边界（阴影）区域的概率为（）

【答案】c

【解析】

【分析】

算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率.

【详解】

解：设小正方形的边长为1,则其面积为L

圆的直径正好是大正方形边长，

・•・根据勾股定理，其小正方形对角线为血，即圆的直径为0,

•••大正方形的边长为夜，

则大正方形的面积为及x&=2,则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为;.

故选：C.

【点睛】

概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长

比.设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.

16.下列问题中是必然事件的有（）个

（1）太阳从西边落山；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（3）a2+b2=-\

（其中。、方都是实数）；（4）水往低处流.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先分析（1）（2）（3）（4）中有那个必然事件，再数出必要事件的个数，即可得到答案.

【详解】

⑴太阳从西边落山，东边升起，故为必然事件；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯绿

灯都有可能，故为随机事件；⑶（其中。、〃都是实数），故"+从=_i为不

可能事件；（4）水往低处流是必然事件：

因此，（1）（4）为必然事件，

故答案为A.

【点睛】

本题的主要关键是理解必然事件的概念，再根据必然事件的概念进行判断；需要掌握：

必然事件：事先肯定它一定会发生的事件；

不确定事件：无法确定它会不会发生的事件；

不可能事件：一定不会发生的事件.

17.下列事件中，是必然事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和是180。

B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C.掷一次骰子，向上一面的点数是6

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】A

【解析】

【分析】

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可.

【详解】

人任意画一个三角形，其内角和是180。是必然事件；

B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；

C.掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件；

D.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；

故选:A.

【点睛】

考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

18.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.三角形的外心到三边的距离相等

B.某射击运动员射击一次，命中靶心

C.任意画一个三角形，其内角和是180。

D.抛一枚硬币，落地后正面朝上

【答案】C

【解