初中数学中考压轴题及答案详解(广东篇)

专题训练1

13

22.如图，抛物线丁=万，一—9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,连接BC、AC。

(1)求AB和0C的长；

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)。过点E作直线/平行BC,交AC于点

D»设AE的长为勿，^ADE的面积为s,求s关于0的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，连接CE,求4CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面

积(结果保留7)。

参考答案：

1,3

解：(1)令y=0,即一一一-9=0,

22%

整理得犬2一3x—18=0,

解得：X]=—3,x2-6,

：.A(—3,0),B(6,0)

令x=0,得y=-9,

.•.点C(0,—9)

/.AB=|6-(-3)|=9，0。=卜9|=9,

11Q|题22图

(2)S.=—=—x9x9=—，

AABC222

J〃BC,

AADE^AACB,

•S_AE2S_m2

S®c研8192

2

S^-m2,其中0＜加＜9。

2

2=

(3)SSCDE=S^CE-5MO£=^xmx9-^/n~+年，

981

当m=3时，S取得最大值，且最大值是

28

3

这时点E(--0),

2

BE=OB-OE=6-）=2,BC-yiOB1+OC2=A/62+92=35/13,

22

作EFJ_BC,垂足为F,

NEBF=/CBO,ZEFB=ZCOB,

.,.△EFB^ACOB,

9

.EFBEEF_2

OCCB93-713

EF=—V13.

26

/.0E的面积为：5=万・£尸2=万乂（|^旧）=零万

答：以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为二729万。

52

专题训练2

25.有一副直角三角板,在三角板ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中，

ZFDE=90°,DF=4,1见=46.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA

与ED在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停

止运动.

(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,

则NEMC=度；

⑵如题25图(3),在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=X,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对

应的x取值范围.

参考答案：

解：⑴15；

ACA/3r-

(2)在RtZ\CFA中，AC=6,/ACF=/E=30°,.\FC=-------=6+—=443

cos3(T2

(3)如图(4),设过点M作MN1AB于点N,则MN〃DE,ZNMB=ZB=45°,.,.NB=NM,NF=NB-FB=MN-x

VMN>7DE

.MNFNMNMN-x

.,.△FMN^FED,——，即一尸=-------

~DEFD4V34

：.MN=^^x

2

题25图⑷

①当0WXW2时，如图(4),设DE与BC相交于点G，则DG=DB=4+x

^y=S,BCD-SBMF=^DBDG-^BF.MN=^+xy-^x-^^x

即y=—ll^lx2+4x+8；

4

②当2<x<6—2有时，如图⑸,

2

kSABCA-S3302一*M=?36一%

3+V3

即y=x2+18：

4

③当6-2有<》<4时，如图(6)设AC与EF交于点H,

；AF=6-x,NAHF=NE=30°

AH=6AF=6(6-x)

1c

y=SAFHA=5(6-x).6(6-x)=3(6-x)2

综上所述，当0WxW2时，y=-l±^ix2+4x+8

4

当2<X46—26，y=-3+^x2+1S

4

当6—26<x44时，y=y-(6-x)2

专题训练3

25、如题25T图，在aABC中，AB=AC,ADLAB点D,BC=lOczo,AD=8cm,点P从点B出发，在线段BC上以

每秒3c勿的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2金的速度沿DA

方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时，点P与直线勿同时停止运动，设运动

时间为t秒(t>0)。

(1)当t=2时，连接DE、DF,求证：四边形AEDF为菱形;

(2)在整个运动过程中，所形成的4PEF的面积存在最大值，当4PEF的面积最大时，求线段BP的长;

(3)是否存在某一时刻t,使4PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻I的值，若不存在，请说明理

题25-1图题25备用图

参考答案：

解：(1)当t=2时，DH=AH=4,由AD_LAB,AD_LEF可知EF〃BC

EH^-BD,FH^-CD

22

又,:AB=AC,AD±BC

,BD=CD

EH=FH

EF与AD互相垂直平分

图25-1

二四边形AEDF为菱形

(2)依题意得DH=2t,AH=8-2t,BC=10cz»,AD=8c/»,由EF〃BC知△AEFs/\ABC

,殁=变即.上"空

解得EF=10—

ADBC8102

•••^--(110-j^5)-2^-j5/2+10/--|5(Z-2)2+10

即APEF的面积存在最大值10c一,此时BP=3X2=6cm。

(3)过E、F分别作EN_LBC于N,EMJ_BC于M,易知EF,=MN=10—工f

2

10-(10-；/)

EN=FM,由AB=AC可知BN=CM=----------=21

24

在放MCD和中，由tanC=—2=£"，.即网=号

CDCM5{5

4

解得FM=EN=2t,又由BP=3f知CP=10-3f,

57Pm=10—3f—3，=10-17

PN=3t—j=-t,一t

4444

则EP2^(2t)2+(-i

353

FP2=(2/)2+(10-—Z)2=上产—857+100

416

E尸=(10—沙=—/2-50r+100

16

分三种情况讨论:

，则口353—z2-50/+100,解得A=变，%=°(舍

①若/EPF=90。+—t2—85r+100=

161616'183

去）

,,,100285/+100=—r2,解得.=竺，々=4(舍

②若NEFP=90°,则一I2-50Z+100+—r2-

1616161172

去）

,则④1002L,、，〜、353

③若NFEP=90°+——t-50/+100=—f2-85/+100.解得q=4,G=°(均舍

16161612

去）

上280T40

综上所述,当/=——.或——时,△PEF为直角三角形。

18317

A

第25题备用图

专题训练4

25.如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板与以△4加拼在一起，使斜边〃1完

全重合，且顶点8,〃分别在力C的两旁，NAB俏/ADO90°,ZCAD=30°,AB=B(=4cm.

(1)填空：AA(CR),DO(c/72)；

(2)点M,4分别从4点，C点同时以每秒1c勿的速度等速出发，且分别在CB上沿A-D,C-6的

方向运动，当A，点运动到尻点时，MA'两点同时停止运动，连结助V；求当弘N点、运动了“秒时，点N

到的距离(用含x的式子表示)；

(3)在(2)的条件下，取用中点只连结肺，阳设△8网的面积为y(痴)，在整个运动过程中，丛PMN

的面积y存在最大值，请求出这个最大值.

(参考数据：s〃75°,s"15°二瓜一五)

44

B

4M—D

题25图

参考答案：

解：⑴2瓜;20；

(2)如图，过点N作于反作ML%延长线于凡则NE=DF.

VZACD-600,N力叱45°,

:./NC273。,ZFNC=15°,

PC

sinl5°----,又NUx,

NC

.“V6-V2

..FC=---------x，

4

NE=DP-x+2y/2.

4

A

点N到AD的距离为L+2近的MED

4.9

监，

(3)Vsin75°=—,AFN=—

NC4

■:PAC用血,

...小逆苔x+=,

4

y='("+夜x+2瓜—x)(4x+24-2(2"一小应力(A".

244

（书与）

即J_&2aX+2后,

-84

7-73-272_

7-6-2及

当x=—4时’〃有最大值为

2x也芹网3

8

加2376+8^/3+972-16

即----------------------

16

专题训练5

25、如图12,BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记

为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QOLBD,垂足为0,连接0A、0P.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

(2)请判断0A、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设尸SA。%，BP=X(0WXW2),求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.

图12(1)图12(2)“

参考答案：

解：(1)四边形如铝〃为平行四边形；

(2)OA=OP,OALOP,理由如下：

・・,四边形/以力是正方形，

：.AB=BC=PQ,ZABO=ZOBQ=45°,

OQLBD,

••・N户0345°,

・・・N/陷/仍CN/UM5。,

・・・OB=OQ,

:.△AOB^XOPQ,

：・0A=OP,N/吠N/W,

：.ZAO/^ZBO^O°,

：.OA±OP；

(3)如图，过。作胆火于£

①如图1,当点夕在点8右侧时，

Y+2

则卧x+2,^―.

2

y=—xA+xx>BP^=—(x+lV--,

22-4V;4

又：0WxW2,

，当x=2时，y有最大值为2；

②如图2,当点〃在6点左侧时，

则的2-x,0件”三,

2

.12—X1f1\21

・・y=^x2xx,En|nJy="—(x-1)+—»

又・・・0W%W2,

.•.当x=l时，y有最大值为:；

综上所述，...当x=2时，y有最大值为2；

专题训练6

23.已知顶点为A抛物线y=-2经过点1,2),点C(|,2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线与x轴相交于点轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一

点P,若N0PM=NM4F,求AP。石的面积；

⑶如图2,点。是折线A-8-C上一点，过点。作QN//y轴，过点E作硒//无轴，直线QN与直线EN

相交于点N,连接QE,将AQEN沿QE翻折得到△QEN『若点乂落在x轴上，请直接写出。点的坐标.

图2

参考答案：

解：(D把点代入y=-2,解得：a=l,

•••抛物线的解析式为：y=—2或y=x2_x—(；

(2)设立线A5解析式为：丁=履+〃，代入点A,B的坐标得:

-2^-k+b

2解得：卜一2

直线A3的解析式为：y=—2x—1,

b=-\

2=--k+b

2

易求E（0,l）,F（0,-1，M=，。,

若/OPM=/MAF,

CPCFj__4

则当OP//AF时，\OPE^\EAE,—T=3'

FAFE

4

22

44V5

OP=—FA=——6|+1—2H—

33243

22

解得4=---，，2=---,

1523

2

由对称性知；当力=一亮时，也满足NQPM=NM4尸,

15

2-2*都满足条件

•・"--，’2

153

•••\POE的面积=gOE•卜|.\POE的面积为5或g.

专题训练7

25.如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=^x2+之叵x-递与x轴交于点A、B（点A在点B右侧）,

848

点D为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F,ACAD绕点C顺时针旋转得到aCFE,点

A恰好旋转到点F,连接BE.

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（3）如题25-2图，过顶点D作DD-x轴于点D“点P是抛物线上一动点，过点P作PM,x轴，点M

为垂足，使得APAM与aDDiA相似（不含全等）.

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回答这样的点P共有几个？

题25-1图题25-2图

参考答案:

⑴解:由尸/X2+典X-逋

+3）-2百得点D坐标为（-3,273）

848

令y=0得xi=-7,x2=l

・■•点A坐标为（-7,0）,点B坐标为（1,0）

（2）证明：

题25-1图

过点D作DG，y轴交于点G,设点C坐标为（0,m）

AZDGC=ZF0C=90°,ZDCG=ZFCO

/.△DGC^AFOC

.DGCG

,FO-CO

由题意得CA=CF,CD=CE,ZDCA=ZECF,OA=1,DG=3,CG=m+2V3

VC01FA

FO=OA=1

3

十

m百

=

H-m(或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b,用D、F两点坐标求出y=V3x+

百，再求出点C的坐标)

二点C坐标为(0,V3)

；.CD=CE=也2+(Q+2鬲=6

VtanZCEO---73

FO

ZCF0=60°

...△FCA是等边三角形

.,.ZCFO=ZECF

AEC/7BA

,/BF=B0-F0=6

.*.CE=BF

四边形BFCE是平行四边形

(3)解：①设点P坐标为(m,走m2+±叵m-2叵)，且点P不与点A、B、D重合.若^PAM与aDBA

848

相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等.由(1)得A»=4,DD,=2V3

(A)当P在点A右侧时，m>l

(a)当△PAMsaDAD”则NPAM=/DAD”此时P、A、D三点共线，这种情况不存在

PMAD

(b)当△PAMS^ADM则/PAM=/ADD”此时——=——L

AMDD1

百，3g7V3

——nr+-----m--------.

卫----------------L=丁，解得3=-2(舍去)，叱=1(舍去)，这种不存在

m-12V33

(B)当P在线段AB之间时，

(a)当△PAMSADA。，则/PAM=NDA»,此时P与D重合，这种情况不存在

PMAD

(b)当△PAMS/\ADD”则NPAM=NADDI,止匕时——=——1

AMDD.

V33737V3

——m2+-----m-------.

--------------------=—产，解得niL—,m产1(舍去)

m-1--------------2-V33

(C)当P在点B左侧时，m<-7

PMDD

(a)当△PAMS/XDADI,贝IJ/PAM=/DAD”此时——=——L

AMAR

V3373773

——nV2+-----m-------R

----------------,解得ni,=-11,m=l(舍去)

m-142

PMAD

(b)当△PAMs/\ADD“则NPAM=NADDI,此时——=——L

AMDD,

V33V37V3

—m2H------m-------.

----------4---------L=,解得m=-卫，|2=1(舍去)

m-12V33

537

综上所述，点P的横坐标为-11,,三个任选一个进行求解即可.

33

②一共存在三个点P,使得aPAM与△I)»A相似.

专题训练8

25.如图，抛物线丫=北走£+。8+，与8轴交于A,8两点，点A,B分别位于原点的左、右两侧,

6

60=340=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=RD.

(1)求b,c的值；

(2)求直线的函数解析式；

(3)点尸在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点。在射线84上，当八钻。与ABP。相似时，请喜谈与

审所有满足条件的点。的坐标.

参考答案：

解：⑴•••80=349=3

/.A(-l,0),5(3,0)

3+6.n,.V3

-------A+c=0b=-l----

bl解得r-3

27+96-0nV33

-------------F3/7+C=0C=--------------

b22

……(3+扬2,63G

(2)•.•二次函数是N二'i——X*-1+—X-----

■6\3722

,:BC=/CD,B(3,0)

。的横坐标为一百

=+1

D(-V3,V3+1)

g+l=-6k+b

设BD：y=kx+b则<解得J3

Q=3k+b

b=V3

一旦+6

直线8。的解析式为y

3

(3)(1-273,0)

(5-2^,0)

I3J

(4月-3n

3

7

专题训练9

25.如图，在菱形组?(力中，ZW=60°,48=2,点K为边居上一个动点，延长力到点月使"':熊,

且CF、龙相交于点G.

备用图

(1)当点£运动到48中点时，证明：四边形如5r是平行四边形；

(2)当3=2时，求力后的长；

(3)当点C从点力开始向右运动到点6时，求点G运动路径的长度.

参考答案：

解：(1)连接冰,,CE,如图所示：

：.AE^AF=kAB,

2

:.EF=AB,

•.•四边形4及力是菱形,

J.EF//AB,

四边形力沈是平行四边形.

(2)忤CHLBH,'设AE=FA=I小如图所示,

・・•四边形40是菱形，

・・・CD//EF,

・・・△切Gs△做;，

•・•CD―EF»

CGFG

:.FG=2m,

在RtZ\C如中，ZG®/=60°,BC=2,

sin60°="CH=M，

BC

cos60°=里BC=\,

BC

在RtZXO以中，CF=2+2m,CH=M，FH=3+m,

CP^C/f+F/f,

即（2+2加2=（73）2+（3+加2,

整理得：3//7+2///-8=0,

解得：Z77i=—,nk=-2（舍去），

3

4

•e*AE法，

（3）因"点沿线段"直线运动，尸点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD//AB,线段皮与线段CF

的交点G点运动轨迹为线段/G,运动刚开始时，4、F、H、G四点重合，当〃点与6点重合时，G点运动

到极限位置，所以G点轨迹为