八年级数学下册：第十六章 二次根式教案

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念和性质

1.二次根式的概念和应用.

2.二次根式的非负性.

重点

二次根式的概念.

难点

二京根式的非负性.

一、情景导入

师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔.

电视节目信号的传播半径r/痴与电视塔高h/筋之间有近似关系r=d菊(R为地球半

径).如果两个电视塔的高分别为瓜km,h2km,那么它们的传播半径之比为多少？同学们

能化简这个式子吗？

由学生计算、讨论后得出结果，并提问.

师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运

算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容.

二、新课教授

活动1：知识迁移，归纳概念

(多媒体演示)用含根号的式子填空.

(1)17的算术平方根是.；

(2)如图，要做一个两条直角边长分别为7腐和4金的三角形,斜边长应为________cm；

(3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130方，则它的宽为俄

(4)面积为3的正方形的边长为,面积为a的正方形的边长为；

(5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度

h(单位：加满足关系h=5/,如果用含有h的式子表示t,则弋=.

【答案】⑴而⑵相(3)^65⑷小乖

活动2：二次根式的非负性

(多媒体展示)

(1)式子、「表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子小才有意义?

⑵当a>0时，_0；当a=0时，_0;二次根式是一个—

【答案】(Da的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)>=非负数

老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性.

当a>0时，^表示a的算术平方根，因此3>0；

当a=0时，J表示0的算术平方根，因此4=0.

也就是说，当a己0时，y/a^0.

三、例题讲解

【例】当X是怎样的实数时，，三在实数范围内有意义？

解：由x—220,得x22.

所以当x22时，正三在实数范围内有意义.

四、巩固练习

1.已知寿-2+[b+,=0,求一a2b的值.

【答案】在三与0,小十),又I•它们的和为0,；.a—2=0且b+/=0,解得a

—2,b=一;.

/.—a'b=—22X(―^)=2.

2.若x,y使5―1+^1—x—y=3有意义,求2x+y的值.

【答案】-1

五、课堂小结

1.本节课主要学习了二次根式的概念.形如函(a20)的式子叫做二次根式，“厂”

称为二次根号.

2.二次根式的被开方数必须是什么数才有意义?/(a20)又是什么数？

致与反思

1.本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与

启发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位.

2.注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合旨在巩固学生对新

知的理解.

第2课时二次根式的化简

教学目标＜：«<

1.理解(、辰)2=a(a20),并能利用它进行计算和化简.

2.通过具体数据的解答探,究G=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

重Q难Q＜：«<

重点

理解并掌握(京)2=a(a20),,=a(a20)以及它们的运用.

难点

探究结论.

教与设计＜：«<

一、复习导入

教师复习口述上节课的重要内容，并板书：

1.形如熊(a20)的式子叫做二次根式.

2.4(aN0)是一个非负数.

那么，当a20时，(/)2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题.

二、新课教授

活动1：

(多媒体演示)根据算术平方根的意义填空:

g)2=；(®三；

（Vo?ol）2=；（Vo）2=.

由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评.

老师点评：

#是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，市是一个平方等于4的非负数，因此

（皿）2=4.

同理：（蛆）2=2；（y$2=；；（y|）2='|；（"01）2=0.01；（，5尸=0.

所以归纳出：（、人）2=a（a20）.

【例1】教材第3页例2

活动2：

根据算术平方根的意义，1们可以得到:

钳=2；、o.•=（）.1；q

/FM；7吗）t；价

所以归纳出：q/=a（ae0）.

【例2]教材第4页例3

教师点评：_

当a20时，y[^=a；

当aWO时，­a.

三、课堂小结

本节课应理解并掌握（4尸=@匕、0）和,=a（a2O）及其运用，同时应理解[£=一

a（a^O）.

教学反思＜

1.注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容.按照由特

殊到一般的规律，降低学生理解的难度.

2.在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动

中体会成功.

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

教学目标＜

理解并掌握熊•4=d^（a20,b20）,y/a•b=y[a•^/b（a^O,bNO）,会利用它们

进行计算和化简.,

重Q难后＜

重点

y[a•y[b=yfab(a^O,b20),y]a•b=/•/(a》0,b20)及它们的运用.

难点，

利用逆向思维，导出必•m(a20,b20).

教学设计〈

一、创设情境，导入新课

活动1:发现探究

(多媒体展示)填空：

(1)X

^4X9

(2)^25X

425X16=

(3)X=

(4)yflOOX雨

#100X0

生：(1)皿义m=6,.4X9=6；(2)正乂m=20,^25X16=20；⑶yj9标二

2,-\JfX36=2;(4)VT00XA/0=0,^100X0=0.

试一试，参考上面的结果，比较四组等式的大小关系.

生：上面各组中两个算式的结果相等.

二、新课教授

活动2：总结规律

结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以

点评，归纳出二次根式的乘法法则.

教师点评：

1.被开方数都是非负数.

2.两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根.

一般地，二次根式的乘法法则为：

,y/b=y[ab(a^0,b20)

由等式的对称性，反过来：

■\[ab—y[a,\[b(a^0,b20)

活动3：讲练结合

教材第6〜7页例题

三、巩固练习

完成课本$7页的练习.

【答案】_

课本练习第1题：⑴班;(2)6；(3)24；(4)2.

第2题：(1)77；(2)15；⑶2电;(4)4bc^.

第3题：4群.

四、课堂小结

本节课应掌握：而（a，0,b20）,，而=4・4（a20,b，0）及其应用.

教竽反思<

1.创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规

律，降低学生理解的难度.

2.在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过

程，让学生在交流中体会成功.第2课时二次根

式的除法

制与目标<：«<

Va

|(a^0,b>0)和（a>0,b>0）,会利用它们进行计算和化简.

sats：，，।，人H，।，।：«<

重点

理解并掌握东=

己(a》0,b>0),Va

一乖（a20,b>0）,利用它们进行计算和化

简.

难点

归向二次根式的除法法则.

教与设计：«<

一、复习导入

活动1:

1.由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式.

2.填空（多媒体展示）.

⑴

⑵一

二、新课教授

活动2：

先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律.

教师点评：

一个不负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根.

一般地，二次根式的除法法则是：

~(a^0,b>0)

由等式的对称性，反过来:

y]a

(a20,b>0)

【例】教材第8〜9页例题

三、巩固练习

课本第10页练习第1题.

【答案】（1）3（2）273（3）乎（4）2a

四、课堂小结

本节课应掌握

(a20,b>0)及其应用.

教学反思＜

1.创设情境，复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探

究的兴趣.

2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分

析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功.

第3课时最简二次根式

教学目标＜：«<

最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算.

重Q难Q＜：«<

重点

最简二次根式的运用.

难点

会,断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学设计：«<

一、复习导入

（学习活动）请同学们完成下列各题.（请四位同学上台板书）

计算：（1(4)

教师点评:

2m2#m23

⑴；(3)

小一3；⑵标―3a

二、新课教授

教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点：

1.被开方数不含分母.

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（教师板书）

教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

【例1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？

(l)3x(2)253^3？；(3);⑷出石

解：（1）被开方数中有因数因此它不是最简二次根式；（2）被开方数中有开得尽方的

因式a?,因此它不是最简二次根式；（3）被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；（4）

被开方数中有因数0.2,它不是整数，所以它不是最简二次根式.

【例2】化简:

(1)A/-^；⑵N12x：'y"(x》0)；(3)yja2b1+a'b2(ab>0).

27X2

解：⑴

（3）A/a2b'+a'b2="\/a2b2（b2+a2）=abyja'+b'.

【例3】教材第9页例7

三、课堂小结

1.本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用.

2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

敢与反思＜

1.注重知识的前后联系，温故而知新.让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使

学生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣.

2.前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解，第三个例题让学生灵活运用二次根式

解决实际问题.

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减

教学目标＜

理解并掌握二次根式加减的方法，并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运

算.

重白难QV

重点

理露并掌握二次根式加减计算的方法.

难点

二/根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式.

教学设计

一、复习导入

(学生活动)

1.计算：

(1)x+2x；(2)3a-2a+4a；(3)2x2—3x2+5x2；(4)2a2-4a2+3a.

2.教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母

连同指数不变，系数相加减.

二、新课教授

(学生活动)

1.类比计算，说明理由.

⑴/+2隹⑵3m-2m+44；

(3)3^2+^8；(4)273-3^3+712.

2.教师点评：

⑴啦+2*=(1+2)*=3位；

(2)3乖一2m+4m=(3—2+4)，§=5m=1咪；

(3)虽然表面上市与乖的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但乖可化为2班，

3m+m=3小+2/=(3+2)小=/;

(4)同样也可化为2镉，

2^3—3^3+"\/72=2^3-+2^3=(2—3+2),\y3—,\^3.

所以在用二次根式进行加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次

根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同.

因此可得：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同

的二次根式进行合并.

【例1］教材第13页例1

【例2】教材第13页例2

三、巩固练习

教材第13页练习第1,2题.

【答案】第1题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确.

第2题：(1)—4姨；(2)3^5;(3)Kh/2-373；(4)3乖+矩

四、课堂小结

本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式，

再把相同被开方数的最简二次根式进行合并.

致与反思

1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以

启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.

2.两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则.尤其是例2,要按

照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神.

第2课时二次根式的加减乘除混合运算

敦字目标＜：«<

含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

事(5难占

♦，・।人H।，：«<

重点

二次根式的加减乘除混合运算.

难点

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学设计＜：«<

一、复习导入

(学生活动)：请同学们完成下列各题.

计算：

⑴(3x'+2x+2),4x；

(2)(4x2—2xy)4-(—2xy)；

(3)(3a+2b)(3a-2b)；

(4)(2X+1)2+(2X-1)2.

二、新课教授

由于整式运算中的x,y,a,b是字母，它的意义十分广