福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

漳州市2023-2024学年（下）期末高中教学质量检测高二数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束，考生必须将答题卡交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.曲线在原点处的切线斜率为（）A. B.0 C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数相关系数相关系数相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（）A.0.12 B.0.3 C.0.4 D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（）A.0.56 B.0.66 C.0.76 D.0.866.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（）A.0 B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。9.函数，则（）A. B.的增区间为C.最大值为1 D.有两个零点10.已知在某次试验中获得数据如下：23410251915124与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（）A.与具有负的线性相关关系 B.C.点落在回归直线下方 D.估计时的值为11.如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（）A.B.直线与直线所成角的余弦值为C.平面与平面所成角的余弦值为D.当时，动点到平面的距离的最小值为1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.点关于平面的对称点坐标为______.13.已知，且，则______.14.已知关于的不等式恒成立，则的最大值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）在一次对外星文明的探索中，科学家发现了一种外星生物，它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量，发现繁殖数量与天数之间存在线性关系.（1）根据记录的数据，得到以下表格：天数12345678繁殖数量1315181920202225请利用最小二乘法求出线性回归方程；（2）科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析，以研究其基因多样性，发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究，记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为，求的分布列与数学期望.（参考公式与数据：，，，，）16.（15分）已知函数在处取得极值6.（1）求实数，的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.17.（15分）2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴.现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据：年龄（岁）购买周边不购买周边总计小于304030及以上4580总计200（1）请完成上面列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？（2）已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为多少？（参考公式及表格：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828若，则，，.）18.（17分）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.（1）证明：平面；（2）若平面与平面的交线为，（i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）；（ii）求直线与平面所成角的正弦值.19.（17分）定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记.（1）当时，证明：；（2）若为的极大值点，求正实数的取值范围；（3）设，，，且满足，，证明：.

漳州市2023-2024学年（下）期末高中教学质量检测高二数学参考答案评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2.A3.B4.B5.C6.D7.B8.A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.AB10.AD11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.514.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）【解析】（1），，，，所以，线性回归方程为.（2）依题意，，的可能取值为：，，.，，，的分布列为012的数学期望为.16.（15分）【解析】（1）依题意有解得此时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；在处取得极大值，因此，，（2）由（1）知，，在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以在上的最大值为6，最小值为.17.（15分）【解析】（1）列联表如下：年龄（岁）购买周边不购买周边总计小于30804012030及以上453580总计12575200假设年龄与是否购买周边产品无关，因为，所以没有的把握认为年龄与是否购买周边产品有关.（2）依题意正态分布的均值，标准差，人，现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分在内的人数约为16372.18.（17分）【解析】法一：（1）证明：如图，在上取点，使连接，，因为，所以所以，且又在正方形中，，所以，又在三棱台中，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）（i）如图，延长和交于一点，连接，则直线即为平面与平面的交线.（ii）由平面平面，平面平面，，所以平面，又，所以，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，又因为，，所以在中，，所以，，取直线的方向向量为设平面的法向量为，由得，取，设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为法二：（1）由平面平面，平面平面，，所以平面，，所以，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的法向量为，由得，取，因为，所以，又平面，所以平面.（2）（i）同解法一.（ii），，，设平面的法向量为，由，令，则，，取，设直线的方向向量为，由（1）知，平面的法向量，由，令，则，，取，（下同解法一）19.（17分）【解析】（1）依题意，，即，当时，，，当时，；当时，，因此，在上单调递减，在上单调递增，故，得证.（2）当时，，设，，令，解得，因为在上单调递增，于是，当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增，即在单调递减，在单调递增，①当时，，注意到及在单调递减，则当时，；当时，，故在单调递增，在单调递减，为的极大值点，符合题意；②当时，，由（1）知，，在上单调递增，无极值点，不合题意，舍去；③当时，，注意到及在单调递增，当