专题03 全等三角形的六种模型全梳理（解析版）（人教版）

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中。课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.（2）如图2，AD长的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.【问题解决】【答案】（1）B（2）C（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可；（2）根据全等三角形的性质得到AC=BE=6，由三角形三边关系得到（3）延长AD到点M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，得到BM=AC，上CAD=上M，由AE=EF得到上CAD=上AFE，进而推出BF=BM，即可证【详解】解1）如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.∵AD为BC的中线，又∵AD=DE，上ADC=上BDE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故答案为：B；（3）证明：延长AD到点M，使AD=DM，连接BM，∵在△ADC和△MDB中，∵AE=EF，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.点F为BE中点.如图1，求证：BF=(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM丄AD于M点.①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线.【答案】(1)见解析(2)①AE=BD,AE丄BD，理由见解析②见解析【分析】（1）证明VACD≌VBCE，得到AD=BE，再根据点F为BE中点，即可得证；可得出结论；②延长CF至点P，使PF=CF，连接BP，证明△BFP≌△EFC(SAS)，进而推出△PBC≌△DCA(SAS)，得到上BCP=上CAD，延长FC交AD于点N，推出CN丄AD，进而得到点M,N重合，即可得证.∵F为BE中点，设AE,BD交于点H，BC,AE交于点G，②延长CF至点P，使PF=CF，连接BP，∴BF=FE，∴点M,N重合，即：F，C，M三点共线.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键.【变式训练1】如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE.【答案】见解析【分析】利用中线加倍证△DEF≌△CEA（SAS可得DF=AC=BD，上FDE=上C，由DC=AC，可得上ADC=上CAD进而可证上ADF=上ADB.，再证△ADB≌△ADF（SAS）即可.【详解】证明：延长AE到F，使EF=AE，连结DF，∵E是DC中点，∴△DEF≌△CEA（SAS在△ADB和△ADF中，∴△ADB≌△ADF（SAS【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键.【变式训练2】（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE.【答案】（1）见解析2）见解析3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论.【详解】证1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，∴DM=EM，∵BD=CE，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键.【变式训练3】（1）阅读理解：如图①,在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②,在△ABC中，D是BC边上的中点，DE丄DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：个50O的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）1.5<AE<6.52）见解析3）BE+DF＝EF，理由见解析【分析】（1）如图①：将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD可得△BDE三△CDA，得出BE=AC=5，然后根据三角形的三边关系求出AE的取值范围，进而求得AD的取值范围；由线段垂直平分线的性质得出EN=EF，在△BNE中，由三角形的三边关系得出BE+CF＞EF即可得出结论；（3）将△DCF绕着点C按逆时针方向旋转100O得到△BCH可得△HBC≌△FDC，得出得出EN=EF，进而证明结论.【详解】解1）如图①：将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD∵AD是BC边上的中线，故答案为1.5＜AD＜6.5；（2）证明：如图②:△FDC绕着点D旋转180。得到△NDB在△BNE中，由三角形的三边关系得：BE+BN＞EN，（3）BE+DF＝EF，理由如下：如图③,将△DCF绕着点C按逆时针方向旋转100。∴△DCF≌△BCH，∴CH＝CF，上DCB＝上FCH=100。∴点A、B、H三点共线在△HCE和△FCE中，∵BE+BH＝EH，DF=BH【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例1．如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分上BCD，上CAD=上BAE.(1)求证：CD=BC+DE；【答案】(1)见解析(2)105。【分析】（1）在CD上截取CF=CB，连接AF，证明△BCA≌△FCA(SAS)，根据全等三角形的性质得出AB=AF，上BAC=上FAC，进而证明△ADF≌△ADE(SAS)，根据全等三角形的性质得出DE=DF，进而即可求解；【详解】（1）解：在CD上截取CF=CB，连接AF.又∵AB=AE，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与怕那段是解题的关键.例2培优）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F.②如图2，若BF=AC，求上AEB的大小.【答案】（1）证明见解析2）2.53）100°.角形内角和定理可求出上BFC的度数，（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造△BFG三△BFD（可得BC=BD+CE，由此求出答案；【详解】解1）BE、CD分别是上ABC与上ACB的角平分线，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，:上BFC=120。，在△BFG与△BFD中，在△FEC与△FGC中，:△FEC三△FGC(ASA)，:CE=CG，（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，在△BFC与△CAP中，【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键.（用含α的式表示）.【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得△BEC三△ADC，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°,从而得到△DCE是等边三角形，进而得到∠BDC=60°,则有【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°,∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，故答案为：120oα【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键.【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,线BC、CD上，且上EAF=上BAD.(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1请说明EF=BE+FD的理由.(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图21）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由.【答案】(1)见解析(2)不成立，EF=BE—FD，见解析F可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD.【详解】（1）EF＝BE+DF，理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，:上ADC＝上ABG，在△ABG和△ADF中，:△ABG纟△ADF（SAS:AG＝AF，上BAG＝上DAF，:上BAE+上DAF＝上BAE+上BAG＝上EAF，即上EAG＝上EAF，在△EAG和△EAF中，:△EAG纟△EAF（SAS:GE＝EF，:EF＝BE+DF；（21）中结论不成立，EF＝BE-FD，在BE上截取BM＝DF，连接AM，:上ABC＝上ADF，在△ABM和△ADF中，:△ABM纟△ADF（SAS∴AM＝AF，∠BAM=∠DAF，∵∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD，∴∠BAD=∠MAF，∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=∠MAF，∴∠EAF=∠EAM，在△AME和△AFE中，∴△AME≌△AFE（SAS∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键.【变式训练3】阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长.【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）.【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°,BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长.【答案】（1）5.82）4.3由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B=∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论.【详解】解1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE.在△ACD与△ECD中，∴△ACD≌△ECD（SAS∴∠B=∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴∠ABC=∠C＝80°,∵BD平分∠B，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，在△DEB和△DBC中，∴△DEB≌△DBC（SAS∴∠BED=∠C＝80°,在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，同理可得△BDE≌△FDE，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键.应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。(1)若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长.(2)在其它条件不变的前提下，将CE所在直线变换到△ABC的外部（如图2请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【答案】(1)0.8cm(2)DE=BE+AD，证明见解析(3)结论DE=BE+AD成立，证明见解析【分析】（123）方法相同，利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答.OlAC=BC在△ACD和△CBE中，lAC=BC（3）结论DE=BE+AD成立，即结论DE=BE+AD成立；【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.例2．在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点B，C重合连接DB，DE，过点E作EF丄DE，并截取EF=DE（点D，F在BC同侧连接BF.（1）如图1，点E在BC边上.①依题意补全图1；②用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD，BE，BF之间的数量关系.【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可.【详解】解（1）①图形如图所示.理由：过点F作FH丄CB，交CB的延长线于H，四边形ABCD是正方形，:上DEC+上FEH,:ΔDEC三ΔEFH(AAS)，:EC=FH，CD=BC=EH，:BH=EC=FH，理由：过点F作FH丄CB，交CB于H，四边形ABCD是正方形，:ΔDEC三ΔEFH(AAS)，:EC=FH，CD=BC=EH，:HB=EC=HF，:ΔDCB和ΔBHF都是等腰直角三角形，BE=ECBC，:2BE=2EC2BC， :2BE=·2FH—BD，:2BE=BF—BD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.【变式训练1】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：于点E．求证：BC=AE.计算图中实线所围成的图形的面积为.于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为.【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈现]证明△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得到BC=AE；CG=BG=3，根据梯形的面积公式计算，得到答案；[深入探究]过点D作DP丄AG于P，过点E作EQ丄AG交AG的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，证明△DPG≌△EQG，得到PG=GQ.，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可.[模型应用]解：由[模型呈现]可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH，故答案为：50；[深入探究]过点D作DP丄AG于P，过点E作EQ丄AG交AG的延长线于Q，由[模型呈现]可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA，在△DPG和△EQG中，∴△DPG≌△EQG(AAS)，故答案为：63.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键.【变式训练2】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如线l，垂足分别为点D，E．求证：DE=BD+CE.（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则S△AEI=.【答案】（1）见解析2）结论成立，理由见解析3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α,且∠DBA+∠BAD=180°-α,可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点.【详解】解1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS∴AE=BD，AD=CE，（2）解：成立.理由：如图2中，∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE.（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N.∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS∴EI=GI，∴I是EG的中点.故答案为：3.5.【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.例1．【问题发现】（1）如图1，△ABC和VADE均为等上，连接CE，容易发现：①上BEC的度数为；②线段BD、CE之间的数量关系为；【类比探究】同一直线上，连接CE，试判断上BEC的度数以及线段BE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】2的值为.【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“AAS”可证△ACF≌△CBE，可得BE=CF，AF=CE，可求OF=x，根据AF=CE列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解.【详解】解1）∵△ABC和VADE均为等边三角形，在△BAD和VCAE中，在△ABD和△ACE中，（3）如图3，过点C作EFⅡOB，交AO的延长线于F，过点B作BE丄EF于E，∴四边形BOFE是矩形，故答案为：8.【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.例2培优）如图1，在Rt△ABC中，上A=90上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.(1)观察猜想：图中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把VADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值.【答案】(1)PM=PN，PM丄PN(2)△PMN是等腰直角三角形【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PMⅡCE得出上DPM=上DCA，最后用互余即可得出结论；即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论.【详解】（1）点P，N是BC，CD的中点，:PNⅡBD，PN=点P，M是CD，DE的中点，:BD=CE，:PM=PN，:上DPN=上ADC，:PM丄PN，故答案为：PM=PN，PM丄PN；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：:△ABD三△ACE(SAS)，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，:PM=PN，:△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PMⅡCE，:上DPM=上DCE，同（1）的方法得，PNⅡBD，:上PNC=上DBC，:△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，:PM最大时，△PMN面积最大，:点D在BA的延长线上，:PM=7，【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，BD，解的关键是判断出△ABD三△ACE(SAS)，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大.将上MON绕点O旋转，上MON的两边分别与射线AC、CB交于点D、E.(1)当上MON转动至如图一所示的位置时，连接CO，求证：△COD三△BOE；(2)当上MON转动至如图二所示的位置时，线段CD、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由.【答案】(1)见解析(2)CE﹣CD＝AC．理由见解析在△COD和△BOE中，理由：连接OC.在△COD和△BOE中，【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.【变式训练2】已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得上BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】①当射线BM在上ABC内，求上BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问上BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出上BDC的度数；【答案】(1)见解析【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到VADE、△ABC是等边三角形，进而得到上BAE=上CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到（2）①在BD上取一点E，AE=AD，证明△BAE≌△CAD，得到上ADC=150O，可求出答案；进而求出上BDC.【详解】（1）证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，∴VADE是等边三角形，∴△ABC是等边三角形，∴△BAE≌△CAD(SAS)，（2）证明：①在BD上取一点E，AE=AD，如图所示：∴△BAE≌△CAD(SAS)，②上BDC的度数会变化，理由如下：在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，如图所示：同理①的方法可证：△BAE≌△CAD，【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键.例1．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°,连接EF．求证：EF＝BE+DF.思路分析：∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝度，ⅆⅆ根据定理，可证：△AEF≌△AE'F.∴EF＝BE+DF.类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：=6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积.【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，证明见解析(3)2【分析】（1）把ΔABE绕点A逆时针旋转90O至ΔADE,，则F、D、E,在一条直线上，ΔADE,≌ΔABE，再证ΔAEF≌△AE,F，得EF=E,F，进而得出结论；（2）将ΔABE绕点A逆时针旋转90O得到ΔADE,，由旋转的性质得ΔADE,≌ΔABE，再证ΔAEF≌△AE,F，得E,F=EF，进而得出结论；（3）将ΔABD绕点A逆时针旋转得到ΔACD,，连接ED,，则ΔACD,≌ΔABD，得CD,=BD，DE、EC围成的三角形面积=S△ED,C，即可求解.【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD=∠B=∠ADC＝9∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至ΔADE,，则F、D、E,在一条直线上，ΔADE,≌△ABE，∴DE,＝BE，∠DAE,=∠BAE，AE,＝AE，∴∠E,AE=∠EAD+∠DAE,=∠EAD+∠BAE=∠BAD＝90°,则∠E,AF=∠E,AE﹣∠EAF＝45°,∴∠EAF=∠E,AF，∴△AEF≌△AE,F（SAS∴EF＝BE+DF.故答案为：45；（2）解：DF＝BE+EF理由如下：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADEφ,:△ADEφ纟△ABE，:AE＝AE,，BE＝DE,，上DAE,＝上BAE，:上E,AE＝上BAE+上E,AB＝上E,AD+上E,AB＝上BAD＝90°,则上E,AF＝上E,AE-上EAF＝45°,:上E,AF＝上EAF＝45°,在△AEF和△AE,F中，:△AEF纟△AE,F（SAS:E,F=EF，“DF=DE,+E,F，:DF＝BE+EF；（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD,，连接ED,，则△ACD,纟△ABD，:CD'＝BD，:SΔABC=S四边形AD,CD=14，同（2）得：△ADE纟△AD,E（SAS:DE=D,E，SΔADE=S△AD,E=6，【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型.（2）以E为圆心，以AE长为半径作弧；以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G，试探索△EFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由.（2）如图，连接DE，先证明△ECF纟△ECD（SAS可得DE＝EF，再证明△CAD纟△CBF（SAS可得AD＝BF，上CAD＝上B，即可得出上DAE＝90即可得出答案.【详解】解1）“CA丄CB，:上ACB＝90°,:上ACE＋上ECF＋上BCF＝90°,“上ECF＝45°,:上ACE＋上BCF＝90°−上ECF＝45°;（2）△EFG是直角三角形，理由如下：如图，连接DE，由（1）知，上ACE＋上BCF＝45°,∵∠ACD=∠BCF，∴∠ACE+∠ACD＝45°,即∠DCE＝45°,∴∠ECF=∠ECD，在△ECF和△ECD中，∴△ECF≌△ECD（SAS在△CAD和△CBF中，∴△CAD≌△CBF（SAS∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠B＝45°,∴∠DAE=∠CAB+∠B＝90°,在△EFG和△EDA中，{FGlEF,∴△EFG≌△EDA（SSS∴△EFG是直角三角形.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题.【变式训练1】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F.（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中不需证明）（2）当上MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由.（3）当上MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.【答案】（1）AE；CF；EF2）成立，见解析3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF.【分析】（1）根据题意易得△ABE纟△CBF，然后根据全等三角形的性质可得上ABE=上CBF=30°,进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；（2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH纟△BAE，则有BH=BE，上CBH=上ABE，进而可证△HBF纟△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解；（3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF纟△BAQ，推出BF=BQ，上CBF=上ABQ，进而可证△FBE纟△QBE，推出EF=QE即可.【详解】解1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：“AB丄AD，BC丄CD，:上A=上C=90°,“AB=BC，AE=CF，:△ABE纟△CBF（SAS:上ABE=上CBF，BE=BF，:上ABE=上CBF=30°,“上MBN=60°,BE=BF，:△BEF是等边三角形，故答案为：AE+CF=EF；（2）如图21）中结论成立；理由如下：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，“AB丄AD，BC丄CD，:上A=上BCH=90°,:△BCH纟△BAE（SAS:BH=BE，上CBH=上ABE，:上ABE+上CBF=120°-60°=60°,:上HBC+上CBF=60°,:上HBF=上MBN=60°,:上HBF=上EBF，:△HBF纟△EBF（SAS:HF=EF，“HF=HC+CF=AE+CF，:EF=AE+CF；（3）如图31）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，“AB丄AD，BC丄CD，:上A=上BCF=90°,“AB=BC，:△BCF纟△BAQ（SAS:BF=BQ，上CBF=上ABQ，“上MBN=60°=上CBF+上CBE，:上CBE+上ABQ=60°,“上ABC=120°,:上QBE=120°-60°=60°=上MBN，:上FBE=上QBE，:△FBE纟△QBE（SAS:EF=QE，“AE=QE+AQ=EF+CF，:AE=EF+CF.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键.接写出BE、DF、EF之间的数量关系；点F，使得上EAF=上BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明.【答案】（1）EF=BE+DF，理由见详解2）见详解3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解.【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的.延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°,∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF=90°-45°=45°,∴∠EAF=∠MAF=45°,又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°,∠ADF+∠ADG＝180°,∴△ABE≌△ADG（SAS∴∠BAE=∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠ABE=∠BAD，∴∠EAF=∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG.“上B＋上ADC＝180°,上ADF＋上ADC＝180°,:上B＝上ADF.“在△ABG与△ADF中，:△ABG纟△ADF（SAS）.:上BAG＝上DAF，AG＝AF.:上BAG＋上EAD＝上DAF＋上EAD＝上EAF＝上BAD=LGAF.:上GAE＝上BAD=上EAF.“AE＝AE，AG＝AF.:△AEG纟△AEF.:EG＝EF，“EG＝BE−BG:EF＝BE−FD.【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题.(1)LADB的度数为；(2)小华说△ABE是等腰三角形，小明说△ABE是等边三角形，的说法更准确，并说明理由；(3)连接DE，若DE丄BD,DE=10，求AD的长.【答案】(1)150O(2)小明，理由见解析(3)5【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°,可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可；（2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可；（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题.∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°.∴△ADB≌△ADC（SSS∴∠ADB=∠ADC，（2）解：小明的说法更准确，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠EBC，∴△ABD≌△EBC（ASA∴AB=BE.∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE，如图所示，:上DCE=90°,:上EDC=30°,:EC=DE=5.“△ABD纟△EBC，:AD=EC=5.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.例2培优）已知点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，LACD=LBCE，直线AE与BD交于点F.(2)如图2，若LACD=a，则LAFB=用含a的式表示）(3)设LACD=a，将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD，AE中的一条线段上如图3．试探究LAFB与a的数量关系，并予以说明.【答案】(1)△DCB,120O【分析】（1）根据SAS证明△ACE纟△DCB，得出LCAE=LCDB，根据三角形的内角和定理即可得到LAFD=LACD=α=60O，进而可得（2）根据SAS证明△ACE纟△DCB，得出LCAE=LCDB，根据三角形的内角和定理即可得到LAFD=LACD=α,进而可得答案；（3）分三种情况：当交点F在线段AE上，在线段AE,BD上，在线段BD上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可.:LACE=LBCD，在△ACE和△DCB中，在△ACE和△DCB中，（3）当交点F在线段AE上时，如图3，在△ACE和△DCB中，当交点F在线段AE,BD上时，如图4，当交点F在线段BD上时，如图5，在△ACE和△DCB中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.【变式训练1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE，连接EB.（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积.【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析3）72或2【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED=•AD•EB即可求解.【详解】解1）如图1中，“上ACB＝上DCE＝90°,:上ACD＝上BCE，“CA＝CB，CD＝CE，:△ACD纟△BCE（SAS:AD＝BE，上CBE＝上A，“CA＝CB，上ACB＝90°,:上A＝上CBA＝45°,:上CBE＝上A＝45°,:ABE＝90°,:AB丄BE，“AB＝AD+BD，AD＝BE，:AB＝BD+BE，故答案为AB丄BE，AB＝BD+BE.（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD.:上ACD＝上BCE，“CA＝CB，CD＝CE，:△ACD纟△BCE（SAS:AD＝BE，“AD＝AB+BD，AD＝BE，:BE＝AB+BD.②如图3中，结论：BD＝AB+BE.理由：∵∠ACB=∠DCE＝90°,∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∵BE⊥AD，∵BE⊥AD，【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键.【变式训练2】如图，等边△ABC中，DE//BA分别交BC、AC于点D、E.（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0。<θ<360。设直线AE与直线BD相交于点F.①如图，当0。<θ<180。时，判断上AFB的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；②若AB=7，CD=3，当B，D，E三点共线时，求BD的长.证；（2）根据题意，可证得△BCD三△ACE，从而得到上CBD=（3）分两种情况讨论：当B，D，E三点共线，且DE在BC上方时，当B，D，E三点共线，且DE在BC下方时，即可求解.【详解】证明1）:△ABC是等边三角形，∵DE//BA，∴△CDE是等边三角形；（2）解：①上AFB的度数是定值，理由如下：:△ABC,△CDE是等边三角形，在△BCD和△ACE中，即上AFB的度数是定值，为60°;②当B，D，E三点共线，且DE在BC上方时，过点C作CF丄DE，当B，D，E三点共线，且DE在BC下方时.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键.1．已知：如图，在△ABC中，上B=60。，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线.(1)求上AFC的度数；【答案】(1)120。(2)10即可解决问题；（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF三△AGF(SAS)，推出(ASA)，推出CG=CE=4，由此即可解决问题.【详解】（1）解：:AE、CD分别为ΔABC的角平分线，:上B=60。（2）解：在AC上截取AG=AD=6，连接FG.:AE、CD分别为△ABC的角平分线在△ADF和△AGF中，:△ADF三△AGF(SAS)，在△CGF和△CEF中，【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题.(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接AD，CE，则AD与CE的关系为.(2)如果将图1中的△BDE绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断AD与CE的关系，并说明理由NP，MN，将△BDE绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中△MPN的面积最大值和最小值.(3)最小值为2，最大值为8.（2）延长CE交AB于点O，交AD于点F，通过证明VABD≌VCBE(SAS)，得出AD=CE，得出结论；（3）连接AD,CE，由（12）同理可得，AD=CE，AD丄CE，根据三角形的中位线定理可得AD,PN=CE，PMⅡAD,PNⅡCE，进而得出PN=PM，PN丄PM，则.PN，当点E在BC上时，CE取最小值，此时PM=PN也取最小值，则S△MPN最小；当点E在CB延长线上时，CE取最大值，此时PM=PN也取最大值，则S△MPN最大.【详解】（1）解：延长CE交AD于F，在△ABD和△CBE中，理由：延长CE交AB于点O，交AD于点F，又∵AB=BC，DB=BE，（3）解：连接AD,CE，∵点M，P，N为DE，AE，AC的中点，∴PM=AD,PN=CE，PMⅡAD,PNⅡCE，∵△BDE绕点B在平面内顺时针旋转，∴点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动，当点E在BC上时，CE取最小值，此时PM=PN也取最小值，则S△MPN最小，当点E在CB延长线上时，CE取最大值，此时PM=PN也取最大值，则S△MPN最大，综上：△MPN最小值为2，最大值为8.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.3．问题背景：CD上的点，且∠EAF＝60°,探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是.实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B+∠D＝180°,在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得上EAF=上BAD，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF.【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF