人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (八)(含答案解析)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题(8)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.在ZL4BC中，已知sin(4+B)=sinB+sin(4—8).(1)求角A；

(2)若闷=7,AB-AC=20，求|4B+4c卜

2.已知向量值=(1,—1),|/)|=V2,.i.(22+b),b=4,

(I)求向量云与方的夹角；

(口)求同+同的值.

3.已知|菊=2,1.另=2，<a,b>=a

(1)求|苍一

(2)求〈五+瓦加＞.

4.设平面内三点4(1,0),8(0,1),C(2,5).

(1)求向量2而+配的模；

(2)若向量荏与正的夹角为仇求cos。；

(3)求向量荏在前方向上的投影向量长度.

5.如图，在AABC中，AB—2,AC=3./.BAC=60°,DB=2AD，CE=2EB-

(1)求CO的长；

(2)求ZB-DE的值•

6.设向量4,b满足|为|=|b|=I，且|3苍—2b|=

(1)求力与石的夹角；

(2)求|2日+3刈的大小.

7.已知京石的夹角为120。，且|方|=4,同=2，求:

(l)(a-2b)-(a+b);(2)|a+b|-

8.如图所示，。为正方形A8CD对角线的交点，四边形OAEZ),0CF8都是正方形.

(1)分别写出与亚，丽相等的向量;

(2)写出与南共线的向量；

(3)写出与而的模相等的向量.

9.已知向量五与向量方的夹角为或且|砧=1，|2行-B|=V7.

⑴求|方|；

(2)若方1.0—；1另)，求实数人

10.判断下列三角形的形状:

(1)0为△ABC所在平面内任意一点，且满足(而一玩)・(丽+配一2殖)=0;

(2)。为△ABC所在平面内任意一点，且满足|而一瓦|=|OB+OC-2OA|

11.已知4(1,1),B(3,-1),C(a,b).

(1)若A,B,C三点共线，求”，方的关系式；(2)若h=26，求点C的坐标.

12.(1)向量2=(—2,3)，b=(2,1)-求百•石；

(2)已知晶=(1,3)，AC=(2,t)'|BC|=1,求而•近

13.已知不共线向量a,b满足同=3,J7=2,(2a-3h).(2a+ft)=20.

(1)求五与b夹角。的余弦值；

(2)若(证+21)10-濡),求实数&的值.

14.已知向量m=(一1,一1),百=(。,1>

⑴若向量(出+历〃(仪+//)，求实数f的值;

(2)若向量m=(x,y)满足3=-ya+(1-x)^>求商的值.

15.在平面直角坐标系中，已知三点4(-1,0)、B(t,2)、C(2,t).t&R,。为坐标原点

(/)若AABC是ZB为直角的直角三角形，求「的值

(口)若四边形ABCD是平行四边形，求|而|的最小值

16.已知向量丘=(sin0,cos8-2sin。)，b=(1,2).

⑴若口”，求瞿篝的值；

(2)若|初=|人,0<6<TT,求。的值.

DC

如图，在矩形ABC。中，BC=3AB=6,E为A8的中点，F是BC边上靠近点

8的三等分点，AF与。E交于点G.设荏=为，AD=b.

⑴求NEGF的余弦值;

(2)用力和b表小4G.

18.已知|五|=2,|K|=3»

⑴若五与3的夹角9为60。,求(2。+方).@一方);

(2)若记不=2,E是与五方向相同的单位向量，求石在五上的投影向量;

(3)五〃1时,分别求五7；

(4)若方与方的夹角。为120。，求怔+年

19.已知非零向量五，加满足|阖=1，0—+且方/=也

(1)求向量五，石的夹角；

(2)求|日一例.

20.已知Z，石的夹角为120°,且|五|=4,巧|=2,求:

(l)(a-2h)•(a+b)：

⑵1五+小

21.设区b，满足|行|=|b|=1,及|3G-2bl=V7.

(1)求方与方的夹角；

(2)求|3苍+石|的值.

22.已知平面向量五=(1,%),b=(2x4-3,—x)，xER.

(1)若7f«L17，求x的值；

(2)若W〃石，求|一一肛

23.已知向量五=(2sin%cosx),b=(cosx,2cosx).

(1)设/(%)=W-另，求」(x)在［0,冗］上的减区间;

(2)若E=(2,l),向量五一区与己共线，且x为第二象限角，求|日+小

24.如图所示，在a1BC0中，已知\3.3，AD2，ZB.4D120.

⑴求前的模；

⑵若荏=：四，BF=^BC,求而•屁的值.

25.已知点4(1,一2)和向量五=(2,3)

(1)若向量靠与向量不同向，且|丽|=2"^，求点8的坐标；

(2)若向量五与向量方=(-3#)的夹角是钝角，求实数％的取值范围.

26.已知向量2=(sin。,1)，b=(l,cos6)＞一/＜。＜看

co若求仇(2)求卜+q的最大值.

27.已知|五|=2,|1|=3,(2a-3h)-(2a+b)=-7.

(1)求|五+方|;

(2)求向量，与日+石的夹角的余弦值.

28.设a,6是不共线的两个非零向量.

(1)若力=2a-b，OB=3a+b，OC=a-3b，求证：A，B，C三点共线;

(2)若4B=a+6,BC=2a—3b，CD=2a—kb,且A,C,。三点共线，求人的值.

29.已知同=2,|石|=4，：与方的夹角为60。.

(1)计算方•0+石)的值；

(2)若@.0-卜石)=0，求实数％的值.

30.平面内给定三个向量7=(3,2)5=(-1,2),c=(4,1)-

⑴求卜a+b—2c

(2)求满足之=+n"的实数m和〃;

⑶若G+无)1(21-2)，求实数比

【答案与解析】

1.答案：解：(1)原式可化为：sinB=sin(4+8)-sin(4-8)

=sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,

vBE(0,7r),:.sinB>0,

.1

cosA=

2

TT

又46(0,兀)，;A=］；

(2)由余弦定理，得I盟|2=|荏|2+|而|2_2|屈I.|尼I-COS/4,

•••画|=7，AB-AC=\AB\■|^4C|-cosA=20，

•••4B|2+|AC|2=89.

"\AB+AC\2=\AB\2+\AC\2+2AB-AC=8<)+40=129,

|荏+殖=7129

解析：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，

熟练掌握公式及法则是解本题的关键.

(1)将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinB不为0,得出cosA的

值，由4为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出力的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式|打『=|同『+|刀『_2|荏||前|.cos4将已知条件利用平面

向量的数量积运算法则化简后代入求出I南|2+|近『的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展

开，将各自的值代入开方即可求出值.

2.答案:解：(1)由五=(1,-1)得|2|=鱼，

因|b|=V2>

且(23+E)%=2a-b+b2

=2|a||K|cos(a,b)+2

=4cos@,石〉+2=4，

・•・cos(a,b)=I，

故向量五与方的夹角为60。

(口)|五+3=J(a+K)2=J五2+2a-b+b2

=J|a|2+2|a||K|cos(a,b)+|K|2=V6

故忖+3的值为通.

解析：本题考查了向量的数量积运算性质、向量的夹角公式和模长的运算，属于基础题.

(1)通过对(2丘+研1=4的化简，可以得到cos值㈤的值，从而得到向量五与方的夹角;

(口)通过平方求得区+司2的值，然后开方即可得到佰+3的值.

3.答案：解：(1)因为五7=|五1131cosm=I石|=2,

即|南=2.

22

所以|方-石|Ja-2a-b+b=,4—4+4=2。

(2)|a+b|=J(a+b)2

a2+2a•b+b=另4+4+4=2V3)

gr-pi.,7*v*.(a+K)Sa-b+b22+4V3

所以cos<a+b，匕>=西丽=丽面=尔=三，

〈2+方，b>€(0,?r)>

；・-，7+、九

Va+5b>=o

解析：本题考查了向量数量积与夹角、向量的模长，属于较易题.

(1)根据向量数量积定义求得|b|,根据模的运算即可求得|五-弓

(2)根据向量数量积定义及公式求得|方+引，结合向量夹角公式即可求得〈记+方，b>.

4.答案：解：(1)因为4(1,0),B(0,l),C(2,5),

所以而=(0,1)-(1,0)=(-1,1).

正=(2,5)-(1,0)=(1,5)，

所以2荏+而=2(-1,1)+(1,5)=(一1,7)，

所以|2南+前|=7(-1)2+72=5V2.

(2)由(1)矢口通=(一1,1),AC=(1,5).

_______-1+5_______2-713

所以cos0

7(-1)2+12XV12+5213

(3)由(2)知向量与的夹角的余弦为cos。=誓，且|说|=V2.

所以向量而在配上在上的投影为|AB|cos。&x誓=管.

解析：本题考查向量的坐标运算，向量的夹角、向量的投影、向量的模的求法，考查转化思想以及

计算能力.

(1)通过向量的坐标运算求出向量2通+而，然后求解向量的模；

(2)求出向量荏与前的坐标，然后利用向量的数量积求解cos。；

(3)求出向量荏在前，利用向量的坐标运算求解即可.

5.答案：解：(1)，.•丽=2而，二而=：荏，

■■■CD=AD-AC=-AB-AC,

3

AB=2,AC=3,^BAC=60°,

：.AB-AC=\AB\■\AC|cos600=2x3X1=3.

•••CD2=(-AB-AC)2=-AB2--AB-AC+AC2=-x22--x3+32=—,

v3793939

•••I西邛普，

所以co的长为亘；

3

(2)-：CE=2EB，•••BE=^BC,

,>>2-----♦i>2■“>1»1>i""">i1>

・・・DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333、733

：.AB-DE^AB■(^AB+-AC}=-AB2+-AB-AC^-x22+-x3=-.

v33733333

解析：本题考查平面向量模与数量积的计算，平面向量的基本定理及其应用，解题的关键就是选择

合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中档题.

（1）将而用而和正表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出由2的值，即可得出cn的长；

（2）将诟利用荏和前表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出布.屁的值.

6.答案：解：(1)设立与石夹角为。，

向量五，b满足|方|=|b|=1及|33-2b|=V7，

9a2+4K2-12a-b=7'

A9x14-4x1-12xlxlxcos0=7,

・•・cosO=

2

又。£[0,呼・・.五与B夹角为。=全

(2)\2a+3b\=14£+9片+12五不

=J4xl+9xl+12xlxlxcos；=V19.

解析：本题考查了向量的模、向量运算和向量的数量积，熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的

关键.

⑴由|3五一23|=夕，得9五2+47一12云.石=7，所以9xl+4xl-12xlxlxcos0=7,

所以cosO=1,即可得出行与片的夹角；

（2）由|2五+39|=〔4片+9片+12弓.小即可得出.

7.答案：解：（1）（五一2方）•（五+方）=五2一五不—2/=16+4—8=12・

(2)|a+K|=J(a+b)2=Ja2+2a-b+b2=116+2x4x2x(-0+4=2V3-

解析：本题考查了向量的数量积、向量的模的求法，属于基础题.

(1)求出日不，即可求出0-2习).0+E)的结果；

(2)利用।元+.=J值+丁,即可求出结果；

8.答案：解：(1)与方相等的向量为能，OC，ED-,与前相等的向量为荏，OD.FC;

(2)与正共线的向量有五，~BF，DE，AC，CA，OA，OC，而，ED;

(3)与方的模相等的向量为荏，~DE，DO,CO,CF,~BF,BO,OA,~EA,ED,OD,OC，FC，丽,

OB.

解析：本题考查向量向量相等，向量共线，以及向量的模，解题的关键是熟练掌握相关的概念.

(1)由向量相等的概念得结论；

(2)由向量共线的概念得结论；

(3)根据向量的模的概念得结果.

9.答案：解：⑴由|21一方|=夕，得4片一4本(+片=7,

则同2_2|石|_3=0，

解得|了|=3或面=-1(舍去),

・•.|b|=3.

(2)由方—得小@-焉)=0,

Aa2—Aa-b=0，1—|A=0,A=|.

解析：本题考查平面向量的模，向量的数量积与向量的垂直关系，考查推理能力和计算能力，属于

基础题.

⑴由|2五一3|=夕，两边平方解出|1|=3;

(2)由五10—4取，得行•0—3)=0，解得2=,.

10.答案：解：(1)设BC的中点为M,

WJ(ChB-OCy(OB+OC-2OA^)

=CB-(0B-0A+0C-0A")=CB-(AB+AC)=CB-(2AM)=2CB-AM=0,

ACS1AM,

•••4时是aABC的边BC上的中线且也是高，

••.△ABC是以BC为底边的等腰三角形；

(2)-：CB='OB-OCIAB=OB-OAIAC=OC-OA>\OB-OC\=\OB+OC-2OA

：.\CB\=\AB+AC\,

又•.,方=布一宿

\AB-AC\=\AB+AC\,

[AB-ACf=\AB+AC\2^化简得荏.前=0，

•••AB1AC,

.♦.△ABC是直角三角形.

解析：此题考查向量加法、减法，数乘运算，以及向量模的概念，属于基础题.

(1)直接依据向量加法，减法的运算化简计算即可；

(2)依据向量加法，减法，数乘的运算，结合向量模的相关概念，运算即可求解.

11.答案:解：(1)v4(1,1),5(3,-1),C(a,b)

.•.荏=(2,-2)，

AC=(a-l,b-l)

•.•71(1,1),8(3,-1),C(a,b)三点共线

■■.AB//AC

—2((1—1)—2(b—1)

即a=2—b.

(2)若4c=24B，即(a—1,b—1)=2(2,-2)所以a—1=4,£>—1=—4

得a=5,b=—3

点C的坐标(5,-3).

解析：本题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件.

(1)利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出

a)。的关系式；

(2)利用坐标运算列方程，直接求出C点坐标.

12.答案：解：(l)va=(-2,3),b=(2,1).

二五■b=-2x2+3x1=-1；

(2)vAB=(1,3).AC=(2,t),

.-.BC=AC-AB=(l,t-3),

■.■\BC\=712+(t-3)2=1，解得t=3,

•■AC=(2,3)，

:.AB-AC=1x2+3x3=11-

解析：本题考查的是平面向量的数量积、模、坐标运算.

(1)根据平面向量数量积的坐标运算即可得出答案；

(2)=^4C-AB=(1,t-3))|BC|=1.可得出，，再由平面向量数量积的坐标运算即可得出答

案.

13.答案：解:(1)v|a|=3,|h|=2,(2a-3b)■(2a+b)=20,

・•・4\a\2-4a-b-3同=4x32-4a-K-3x22=20»

解得方•另=1，

・••COS0=

|a|-3|b|=-3^x―2=6

••・行与石夹角。的余弦值为

O

(2)若(kk+2K)1(a-k

则(k苍+2b)•(a—fcb)=0,

・•・k\a\2+(2—fc2)a-b-2fc|b|2=0，

9fc+(2-fc2)xl-2/cx4=0,

整理得/一上―2=0,

解得k=-1或k=2.

解析：本题主要考查了向量的夹角、向量的模、向量的数量积以及向量垂直的计算，属于中档题.

(1)由题意计算可得益小=1，代入向量的夹角公式即可求得五与石夹角。的余弦值；

⑵由(k益+21)10-k可得(ka+2b)-(a-kb)=0,展开化简计算即可得到实数k的值.

14.答案:(1)a=(-1,—1),0=(0,1)>

二ta+/?—(—t,1—t)>+tB=(-1,t—1)>

v(ta+^)//(a+t^).

-t(t-1)-(-1)(1-t)=0，解得t=1或t=-1;

(2)vc=-ya4-(1—

・•・(")=(%y+

即｛济+一,解得［二:，

•••|c|=yjx2+y2=V2.

解析：本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，考查向量平行的判断与证明,

向量的模，考查分析与计算能力，属于基础题.

⑴由题得tM+瓦=(-t,l一t),a+tp=1).再根据向量平行计算得f的值；

(2)由题3=-yE+(1-尤)瓦即(x,y)=(y,y+1-x),计算得x=l,y=1,即可求解.

15.答案：解：(/)而=(t+l,2),方=(2-

1•■NB=90°,则近1BC；

.•.荏•近=O即(t+1)(2-t)+2(t-2)=0；

解得t=l或2；

若t=2,则瓦:=6，这时△ABC不存在；

At=1;

(〃)若四边形ABC。是平行四边形，则而=就，设点。的坐标为(%,y)；

则而=(%+l,y);

*'•(%+1,y)=(2—t,t—2)；

(%+1=2-t

“="2；

(x=1—t

'ly=t-2;

即D(1—t,t—2)；

•**OD=(1—t,t—2);

：.\0D\=7(1-t)2+(t-2)2=V2t2-6t+5=J2(t-|)2+1;

・•・当t=|时，|而|取得最小值日.

解析：本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，根据点的坐标能求向量坐标，相等

向量的概念，根据向量坐标可求向量长度，配方法求二次函数的最值.

(1)可求出血=«+1,2),元=(2-£5一2)，根据4B为直角，即可得出

宿•耳？=0，从而求出t=l,或2,可验证£=2不合题意，从而求出t=l；

(口)根据四边形ABC。是平行四边形，即可得出而=方，可设D(%,y),从而得出(久+1,丫)=(2-

t,t—2),

从而可得出［二；二;，从而得到前—2)，|彷|=V2t2-6t+5,这样配方即可求出

I诟I的最小值.

16.答案:解：(1)因为五〃E，a=(sin0,cos0-2sin0),b=(1,2)，

所以2sinJ=cosd-2sin0,

所以4sinJ=cos。,

当cos。=0时，sin0=0,与sin?。+cos?。=1矛盾，所以cos。W0,

故tan。=

4

r-rpisin^cos0_sinOcosJ_tan。_4

1+3COS20siMe+4cos2。taMJ+465*

(2)由|方|=|另|知,sin20+(cos0-2sin0)2=5,

即1—4sin0cos04-4sin20=5,

从而一2sin26+2(1—cos20)=4,

即sin2。+cos20=-1,

于是sin(20+$=-y.

又由0<8<又吟<26»+^<

所以20+9=?或2。+2=7,

4444

所以8=5或。=?.

N4

解析：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用、向

量的模、向量平行的判断与证明，属于中档题.

(1)由五〃方得出4sin8=cosd,讨论cos。是否为0,求出tan。=:,则利用=

Ky114l+3cos20siM6+4cos20

篇T即可求出结果；

(2)由|口=|3|得出siM。+(cos6(-2sin0)2=5,整理得sin(20+》=一争由此即可求出结果.

17.答案：解：(1)由题意，可得wwNEGF：＜XN＜N,市＞

B+抖版一同

1-25Txlr2

2a-6a-b-3b

Ja2+|a-K+1b2--a-b+b2

ix4-|x36_

74'

J4+ix36.JiX4+36

所以ZEG尸的余弦值为一包.

74

(2)设前=A(^+箝=AH+UT,

3«J

Dd=fiDe=—1))=—fil),

则而=加+诧=—i)T,

根据平面向量基本定理,

,解得

所以蔗=，方+;我

解析：本题主要考查了平面向量的基本定理及其应用，向量的数量积及向量的夹角，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

(1)由题意，可得cu«NEGF=cu«<；lA瓦>=<»«</+：书］/一方>，从而利用向量的夹

角公式求解即可；

(2)设前=AN=Aa*+京丁，W=/iD^=，则前=/+虎=)方-(fi-1)了,

从而根据平面向量基本定理，可得关于;的方程，求出尢生则可得出.

18.答案：解：(1)若五与方的夹角。为60。，

则(2为+7).@—1)

=2a2—a-b—62

=2x22-2x3x1-32=-4；

(2)布钮上的投影向量为普・卷=|•若=若；

(3)当五与方同向时，a-K=2x3xcos0°=6»

当五与b反向时，a-b=2x3xcosl80°=—6;

(4)|a+K|=Ja2+62+2a-h=)22+324-2X2X3X(-|)=V7-

解析：本题考查了向量的模、向量的数量积和投影向量(平面向量)，是基础题.

(1)直接由(21+方)・位一为=2五2一方不一,，计算即可;

(2)亩钮上的投影向量为普•焉，计算即可；

(3)分当五与方同向和当行与方反向时两种情况求解即可；

⑶由I五+同=9+石2+2。小计算可得・

19.答案：解：(1):|初=1且0-9)•0+3)

@2一同2=1,

IEI=¥,

va-6=",

2

设向量落下的夹角为。，

・•・向量优B的夹角的余弦为8S。=油备苗=孝，

X2

0€[o.7r],

：.0:,即向量a,石的夹角为45。；

(2)•••|a-6|2=a2-2a-h+ft2=1+1-2X|=

•••|a-K|=y-

解析：本题考查向量的数量积公式，考查向量夹角的计算，向量求模，属于基础题.

(1)先求出|3|=¥，再利用向量的数量积公式，即可求向量落3的夹角；

(2)先求|五一1|2,再求|五一石|的值.

20.答案：解：(1)•••|初=4,|初=2，且五与E的夹角为1201

Aa-K=2x4xcosl20°=-4，

・・・(五-2另).0+3)

=a2+a-b-2b-a-2b2

=164-4—8=12；

(2)|a+b|=J(a+K)2

=Ja24-2a-6+h2

=116+2x(-4)+4

=2A/3.

解析：本题考查了向量的数量积、向量的模的求法，属于基础题.

(1)求出方)，即可求出(五一2石)•a+石)的结果；

(2)利用।方+.=J0+.2,即可求出结果.

21.答案:解：(1)设五与方夹角为仇;向量方，方满足|方|=|3|=1及|3日一29|=夕，

21

9324-4b-12a-h=7»-9X1+4X1-12xlxlxcos0=7,Acosd=

又。6[0,汨，.•.五与石夹角为2

(2)|3a+K|-J9五之+另2+6五•J=^9xl+l+6xlxlxcos^—V13-

解析：利用向量的数量积运算性质即可得出.

熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键.

(1)设a与石夹角为氏将|3五一2万|=夕两边平方即可；

(2)|3五+3|直接平方即可.

22.答案：解：(1)若左

则五-b=l-(2x+3)+%(—%)=0,

整理得--2%-3=0,解得％=-1或x=3；

(2)若五〃3，

则有1・(-%)—%(2%+3)=0,

即X(2无4-4)=0,解得％=0或%=-2,

当％=0时，a=(1,0),b=(3,0)，

=(-2,0),|a—Z?|=2，

当％=-2时，a=(1,-2),b=(—1,2)，

a—K=(2,-4)，\a-h\=02+(-4)2=2A/5.

综上所述，|五-E|=2或2遍.

解析：本题考查向量垂直、平行的判断，向量的数量积，向量的模的坐标计算，考查计算能力，属

于基础题.

(1)由向量垂直的充要条件数量积等于零列方程可得；

(2)由向量平行的的坐标表示列方程解得羽再由模的坐标计算公式可得.

23.答案：解：(1),・,向量五=(2sinx,cos%),b=(cosx,2cosx)

•••/(%)=2sinxcosx+2cos2x=V2sin(2x+-)4-1

令1+2/CTT<2x+£工拳+2k/r,kEZ,

可得n€(卜开+：.AK+')二，kEZ,

88

工函数的增区间是［ATT+,kn+(/c6Z),

取k=0,得/(%)在［0,扪上的减区间为已争；

OO

(2)*-a—b=(2sinx—cos%,—cosx)，(a—K)//c>

・•・2sinx—cosx=­2cosxf

・•・tanx=-

2

•・・％为第二象限角，

.V52V5

Asinx=—，cosx=------，

55

a4-b=(2sinx+cosx,3cosx)=(0,—华)，

A|a4-K|=g・

解析：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，函数y=代比(3%+0)的图

象与性质，平面向量共线的充要条件，属于中档题.

(1)利用向量的数量积公式，二倍角、辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，可得/(%)的单调

递减区间；

(2)利用向量共线的条件，x为第二象限角，求出sinx=/，cosx=—W，即可求得结论.

24.答案：解：(1)在口ABCD中，已知AB=3,AD=2,/.BAD=120°.

|^4C|=\AB+AD\=J(AB+AD)2=J|AS|2+2||||coszF/lD+||2-

=j9+2x3x2x(-i)+4,

=y/7.

(2)由图形得展^南+:同，~DE=^AB-AD,

.>-"，一”>1''',1”>一…>

所以：AF-DE=(AB+|>1D)•(^AB-AD),

=-\AB\2--\AB\\AD\cos^BAD--\AD\2,

362

=ix9--x3x2x（--）--x4,

36'2，2

_7

-2'

解析：本题考查的知识要点：向量的线性运算、数量积，向量的模的运算的应用，主要考查学生的

运算能力和转化能力，属于基础题.

(1)直接利用向量的线性运算、数量积与向量的模求出结果.

(2)利用向量的线性运算和数量积运算求出结果.

25.答案：解：(1)设B(x,y),则屈=(x-l,y+2)，

若向量屈与向量五同向，则有3(x—1)=2(y+2),

若|屈|=2g,则(x-+(y+2)2=52,

解可得仁;或《二,

当二亮时，融=(一4,一6),与向量五反向‘不合题意,舍去；

当时，屈=(4,6)，与向量刁同向，符合题意.

则B的坐标为(5,4)；

(2)若向量了与向量3=(-3,k)的夹角是钝角，

则有a-b=—6+3k<0且2k+9于0,

解得k<2且k¥-p

故k的取值范围是(―co,—|)U2).

解析：本题考查向量的模、夹角和数量积的应用，考查运算求解能力，是基础题.

(1)设B(x,y),易得向量崩的坐标，分析可得3(x-1)=2(y+2)且(x-1)2+(y+2尸=52,解

可得x、>的值，验证向量而与向量五是否同向，即可得答案；

(2)根据题意，由向量数量积的计算公式可得行不=-6+3/0<0且2卜+970,求解即得女的取值

范围.

26.答案：（1）由a=（sin。,1），b=（l,cos。），

若;1bf则1.b=0，即sin。x14-1xcos0=0,

解得tan。=-1,又一］<6V］，

则”d

4

(2)a+b=(sin。+1,14-cos。)

则卜+b=J(sin6+1)2+(1+cos。，=V34-2sin04-2cos0

=J3+2V2sin(9+：),

因为一V》

则<。+3<7，

444

所以_/<sin(e+9wi，

所以后+1=J3+2V2sin(6»+^)<,3+2迎=V2+1.

即忖+3的最大值为V2+1

解析：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，

正弦函数的单调性和对称性.

化简函数的解析式，是解题的关键.

(1)利用两个向量垂直