空间向量在立体几何中的应用答题模板

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［教你一个万能模版］“大题规范解答———得全分”系列之（七）

空间向量在立体几何中的应用答题模版【典例】（2012安徽高考满分12分）·平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．返回［教你快速规范审题］

平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．观察条件:四边形BB1C1C是矩形，面BCA⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1C取BC，B1C1的中点D，D1

连DD1

DD1，B1D1，A1D1两两垂直

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平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．观察结论:(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．需建立空间直角坐标系正确找出相关点的坐标转化为向量运算问题［教你快速规范审题］

平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．［教你快速规范审题流程汇总］观察条件:四边形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1C取BC，B1C1的中点D，D1

连DD1

DD1，B1D1，A1D1两两垂直

观察结论:(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．需建立空间直角坐标系正确找出相关点的坐标转化为向量运算问题…………3分………………6分返回［教你准确规范解题］解：(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，于是AD∥A1D1.

所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)，

又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.

坐标系建立不当，导致推证错误。由BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1.因为平面BB1C1C⊥平面，所以DD1⊥平面A1B1C1.

返回………8分………11分…………12分［教你准确规范解题］又因为所以(3)设平面A1BC的法向量为x1＝0，y1＝2z1

x1＋2y1－4z1＝0，x1－2y1＋4z1＝0得令z1＝1，则

又因为平面ABC⊥z轴，所以取平面ABC的法向量为

(0,0,1)，……10分求出cos〈n1，n2〉＝后

不判断二面角的大小直接得出结论从而失误。

返回［教你一个万能模版］利用向量解决空间几何问题，一般分为以下几个步骤：第一步：利用条件分析问题，建立恰当的空间坐标系。第二步:结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标。第三步：利用点的坐标求出相