人教版高中数学全册教案-07-直线和圆的方程-08

点到直线的距离公式

一、教学目标

（一）知识教学点

点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用.

（二）能力训练点

培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由

特殊到一般的思想方法.

（三）知识渗透点

由特殊到般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律.

二、教材分析

1.重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程.

2.难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利

用平面儿何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发

性的图形启发学生逐层深入地思考问题.

3.疑点：点到直线的距离公式是在AWO、BWO的条件下推得的.事实上，

这个公式在A=0或B=0时，也是成立的.

三、活动设计

启发、思考，逐步推进，讲练结合.

四、教学过程

（一）提出问题

已知点P（xO,yo）和直线1：Ax+By+C=0,点的坐标和直线的方程确定后，它

们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线1的距离

呢？

（-）构造特殊的点到直线的距离学生解决

思考题1求点P（2,0）到直线L：x-y=0的距离（图1-33）.

学生可能寻求到下血三种解法:

AfetitPffPQ与垂直，PQW界为.M+y-2=0.第方眄

(*：=：清Q点的坐标是。，I)，由两点同的距离公式用，

IK"ry-Z=U

|PQ|=在

方法2设M(x,y)是1：x-y=O上任意一点，则

=收工才+2.

当x=l时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线1的距离.

方法3直线x-y=O的倾角为45°,在RtzXOPQ中，|PQ|=|OP

UL45*=42.

进一步放开思路，开阔眼界，还可有下血的解法：

方法4过P作y轴的平行线交1于S,在RtZ\PAS中，|PO|=|PS|

sm.45*=42.

方法5过P作x轴的垂线交L于S

10P|•|PS|=|OS|•|PQ|,

|OPf・画2・2

・g=

比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以

向般情况推广呢？

思考题2求点P(2.0)到直线2x-y=0的距离(图1-34).

如图，.。=2,竽'点Pjih的距离为1PQH81

思考题3求点P(2,0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35).

如图，IRPHOR出OP|=l+2=3,4口0=竽，|PQ=3・竽

=也

一_5~

思考题4求点P(2,1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36).

y2x-y+2=0

1

Q

X

过P作直线的垂线，垂足为Q,过P作x轴的平行线交直线于R,

西7+2=0中方=*=4，呐=243=焉，从郦Q=|PR|

.5.2/

■nnd=­•-----=V5R・

25

（三）推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到

设A70,BWO,直线1的倾斜角为a,过点P作PR〃Ox,PR与1交于

R（xl,xl）（图1-37）.

•••PR〃Ox,

•••yi=y.

代入直线1的方程可得：

_BM+C

「A

lAxalBya+C

・“明=lq-*ll=胃胃一.

当a<90°时（如图1-37甲），ai=a.

当a>90°时（如图1-37乙），a1=JT-a.

所叽在两种情况下都有5Gl

图1-37

「a<90°，

|PQ=PRlsinai

k+M+q一⑶

|A|病隹'

lAKpjl-By,4-q

一-5"

这样，我们就得到平面内一点P(xO,yo)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式:

j|Axp4-By,4-q

-B]

如果A=0或B=0,上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以

求出距离.

(四)例题

例1求点P0(T,2)到直线：(l)2x+y-10=0,(2)3x=2的距离.

解：(1)根据点到直线的距离公式，得

d=E立瞥2"°1=2・2垂.

隹*1由

⑵因为直线3x=2平行于y轴，所以

d噜-(-旧

例2求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.

解：在直线2x-7厂6=0上任取一点，例如取P(3,0),则两平行线间的距离就

是点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38).

pX3-7X0+8]

因此.d=

破'+(一力’

1414亚

例3正方形的中心在C(T,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求

其它三边所在的直线方程.

解：正方形的边心距

j(-t)+3xo-5]Wio

d=.一=1.

5

设与x+3y-5=o平行的一边所在的直线方程是x+3y+Cl=0,则中心到

这条直线的距离力争，于是有，

|(-1)4-3X0^CJS,/iO

-g+P5-

Cl=-5(舍去0)或Cl=7.

.,.与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0.

设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0,则中心到这

条直线的距离为率，由点到直线的距X金武有

.XGD-IXO+CJ

^775-,

解之有C2=-3或C2=9.

.•.与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0.

(五)课后小结

⑴点到直线的距离公式及其证明方法.

⑵两平行直线间的距离公式.

五、布置作业

1.(1.10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离：

(。加+如-26=0,(2)x=y.

解，(IJ2W,(2)0.

2.(1.10练习第2题)求下列点到直线的距离：

(IMG2,3),3«4-474-3=0.

(2)6(1,叽底”#=0.

(3XX1,-2),4«+>=0.

»■(1)||❷。'(3)y-

3.(1.10练习第3题)求下列两条平行线的距离：

(l)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0.

(2)3x+4y=10,3x+4y=0.

解，(l)2^j(2)2.

4.求平行于直绛7-2=0且与它的距离为入顾直线方程由习

金考题第12JS).

解：x-y-6=0或x-y+2=0.

5.正方形中心在C(-l,0),•条边所在直线方程是3x-y二0,求其它三边

所在的直线方程.

解：此题是例3交换条件与结论后的题：

x+3y-5=0,x+3y+7=0