人教A版（2019）必修第二册过关斩将第八章立体几何初步达标检测（含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册过关斩将第八章立体几何初步

达标检测

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是

A.三角形的直观图仍然是一个三角形B.90。的角的直观图会变为45。的角

c.与y轴平行的线段长度变为原来的一半D.原来平行的线段仍然平行

2.已知，"和〃是两条不同的直线，。和夕是两个不重合的平面，那么下面给出的条件

中，一定能推出机，£的是（）

A.«///?,且机uaB.mlln,且

C.mLn,且“u#D.mJ.n,且，

3.圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚

好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（注：1丈等于10尺）（）

A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺

4.设%月,7为三个不同的平面，私〃为两条不同的直线，则下列命题中假命题是

A.当时，若尸则a_Ly

B.当〃_!_P时，若。〃/?,贝!］相〃”

C.当机ua,〃u尸时，若&〃£,则孤"是异面直线

D.当miln,nV/3,若根ua,则

5.已知正三棱柱的侧棱长为4,底面边长为2G.若点M是线段AC的中

点，则直线8M与底面ABC所成角的正切值为（）

4

D.

6.表面积为26的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

AV2RLr2n2V2

3333

7.已知三棱锥尸—ABC中，尸4=后，AB=3,AC=4,AS_LAC,PA_L面"。，则

此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为

A.16B.28C.64D.96

8.如图，在棱长为1正方体A5co中，点、E,尸分别为边BC,AD的中点，^AABF

沿所在的直线进行翻折，将ACDE沿。E所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下

列说法簿送的是

A.无论旋转到什么位置，A、C两点都不可能重合

B.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°

C.存在某个位置，使得直线A尸与直线CE所成的角为90°

D.存在某个位置，使得直线4B与直线8所成的角为90°

9.等体积的球和正方体的表面积岳,S2的大小关系是（）

A.St>S2B.S,<S2

C.S,=S2D.无法确定

10.已知棱长为6的正方体ABCD-AiBiCiDi内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线ACi

为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）

9岳口9垃兀

D.-----C.2也兀D.3岳

84

二、多选题

11.下列命题为真命题的是（）

A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合

B.若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直

C.垂直于同一条直线的两条直线相互平行

D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直

12.如图所示，在四个正方体中，/是正方体的一条体对角线，点",N,P分别为其所在

试卷第2页，总6页

棱的中点，能得出平面MNP的图形为（）

三、双空题

13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为体积为

四、填空题

14.已知正四棱锥的侧棱长为26,侧棱与底面所成的角为60。，则该四棱锥的高为

15.如图所示，直线。〃平面点A在a另一侧，点氏C,Dea线段AB,AC,AO分别

交a于点耳尸,G.若5。=4,C尸=4,AF=5,则EG=

16.如图，在长方形ABCO中，AB=2,AD=\,E是CO的中点，沿AE将ADAE向

上折起，使。为。'，且平面AED」平面ABCE.则直线与平面ABC所成角的正弦值

为

D'

C

BB

17.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正

好相等，且液面高度”也相等，用。将表示出来.

a

五、解答题

18.已知正方体A8cr>-A4CiR,

(1)证明：〃①〃平面。^。；

(2)求异面直线0A与8。所成的角.

19.如图，三棱柱A8C-44C］中，CA=CB,AB=AAi,ZBAA,=60°.

(1)证明：,缠」重修；

(2)若/燔=，疹=普，境固=5,求三棱柱4BC-ABC的体积.

20.如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中，D,E分别是AB,BBi的中点.

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(I)证明：BCi〃平面AiCD;

(II)设AAi=AC=CB=2,AB=20,求三棱锥C一AQE的体积.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，右上"是正三角形，四边形ABCD是正方形.

(I)求证：PC=PD-,

(II)若2PD=®：D,求直线与平面PCD所成角的正弦值.

22.如图所示，在斜三棱柱44c「ABC中，底面是等腰三角形，AB^AC,D是BC的

中点，侧面底面ABC.

(1)求证：AD_LCCj；

(2)过侧面BB&C的对角线BCi的平面交侧棱AA于点M,若4M=儿用，求证：截

面侧面22℃；

(3)若截面平面84GC,4M=M4,成立吗？请说明理由.

试卷第6页，总6页

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参考答案

1.B

【详解】

根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形，故A正确；90。的角的直观图不一定

45。的角，例如也可以为135。，所以3不正确；由斜二测画法可知，与＞轴平行的线段长度

变为原来的一半，故C正确；根据斜二测画法的作法可得原来平行的线段仍然平行，故。正确,

故选B.

2.B

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定方式分析加〃叫且〃，尸一定能推出根，尸，其余选项错误.

【详解】

A中，alip,且mua,则加〃力，故A错误；

一条直线垂直于平面，则与这条平行的直线也垂直于这个平面，易知2正确；

C、。中，mu6或m//6或相与月相交均有可能，故C、D错误.

故选：B

【点睛】

此题考查线面位置关系的判断，关键在于熟练掌握线面垂直的判定方式.

3.C

【分析】

葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，底边长为底面圆周的二倍，高为圆柱的高，

形成的矩形的对角线即葛藤长度.

【详解】

由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，其中一条边（即圆木的高）长为24尺，其邻边长

为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，因止匕葛藤长）24」+（5x2）2=26（尺）.

故选：C.

【点睛】

此题考查几何体侧面路径的最值求法，根据题意对侧面进行展开，利用两点之间线段最短求

解.

4.C

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【分析】

根据空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理对选项分别分析选择.

【详解】

对于A,根据平面与平面平行、垂直的性质，可得正确；

对于B,根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得正确；

对于C,私〃可能异面，也可能平行，故错误；

对于D,由机〃"，可知m_L/,又mua,所以c_L£,可得正确.

故选C

【点睛】

本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运

用定理是关键.

5.B

【分析】

根据定义作出直线与平面所成角，计算出正切值即可.

【详解】

过点M作于点N,连接5N,

根据面面垂直的性质可得：MV-L平面ABC,

则ZMBN为直线BM与底面ABC所成的角.

4

由已知，可得肱V=4,BN=3,所以tan/MBN=].

故选：B.

【点睛】

此题考查求直线与平面所成角的正切值，关键在于准确找出线面角.

6.A

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【解析】

解：此正八面体是每个面的边长均为。的正三角形，所以由8x运=26知，«=1,则此

4

球的直径为故选A.

7.C

【解析】

【分析】

将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线

长.

【详解】

由以，平面ABC,AB±AC,将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外

接球的内接正方体的体对角线长.

PA=,AB=3,AC=4,

三棱锥外接球的直径为J23+9+16=4G,

...三棱锥外接球的直径为4石

A外接球的内接正方体的体对角线长4石.

/.正方体的棱长为4,即正方体的体积为64

故选：C.

【点睛】

空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化

为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点尸，A,B,C构成的三条线段E4,PB,PC两两互相垂直，且E4=a,PB

=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4我2=4+/+02求解.

8.D

【分析】

利用圆锥的几何特征逐一判断即可.

【详解】

解：过A点作AMLBF于M,过C作CNLDE于N点

答案第3页，总15页

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在翻折过程中，AF是以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的母线，同理，AB,EC,DC也

可以看成圆锥的母线；

在A中，A点轨迹为圆周，C点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A正确；

在8中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为60。，又AF,EC分别可看成是圆锥的母

线，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60。即可，故

B正确；

在C中，能否使得直线AP与直线CE所成的角为90。，只需看以F为顶点，AM为底面半

径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90。即可，故C正确；

在。中，能否使得直线AB与直线8所成的角为90。，只需看以B为顶点，AM为底面半

径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90。即可，故。不成立；

故选D

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查逻

辑推理能力，考查数形结合思想，是中档题.

9.B

【分析】

根据体积相等得出正方体棱长和球的半径的大小关系，求出表面积即可得解.

【详解】

40°

设正方体的棱长为d球的半径为R,由题意得V=］乃

所以°=玳^，R=J—•

V4万

所以邑=6/=6*'=#216卜2,

4==56兀V?,

答案第4页，总15页

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所以邑＞几

故选：B

【点睛】

此题考查正方体和球体的体积表面积计算，根据体积相等得出等量关系，关键在于对代数式

的准确化简.

10.A

【分析】

由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论.

【详解】

由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上

底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段ABi,AC,ADi上，设线段ABi上的切

点为E,ACiC面AIBD=O2,圆柱上底面的圆心为OI,半径即为OiE=r,贝。

22222

AO2=|1VV3+V3+A/3=1，O2F=7AF-AO2=7=与,由O正〃ChF

知第==则圆柱的高为3-2Aq=3—20r,

Or2ACq

f3忘

r+--------r=卓当且仅当『不取

4

2

7

等号.

【点睛】

本题考查求圆柱侧面积的最大值，考查正方体与圆柱的内切问题，考查学生空间想象与

分析解决问题的能力，属于中档题.

11.BD

【分析】

答案第5页，总15页

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A选项两个平面相交也满足,C选项这两条直线位置不确定,B选项是面面垂直的判定定理，

利用反证法可以证明D选项.

【详解】

A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；

B选项就是面面垂直的判定定理，正确；

C错，比如a_La,bua,cua,显然有：_)_，，a±c,但6与c也可能相交；

D利用反证法证明，假设这条直线与另一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任何一条

直线，当然就垂直于这条交线，与已知条件矛盾，所以原说法正确.

故选：BD.

【点睛】

此题考查空间中线面位置关系的辨析，关键在于熟练掌握相关公理定理，准确推导.

12.AD

【分析】

利用线面垂直的判定定理证明AD满足，结合空间向量在BC中证明直线/与平面内的某条

直线不垂直，即可得线面不可能垂直.

【详解】

如图所示，正方体ABCD-AB'C'D.连接••加,尸分别为其所在棱的中点，

:.MP//AC.

四边形ABCD为正方形，

AC±BD,

••,88'_L平面ABC£>,ACu平面ABC。，

BB±AC,

•.•ACABD,3£>门班'=8，=4。，平面。88'，;.£>8'匚平面。88'，，4。，。3'.

答案第6页，总15页

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•：MP//AC,DB1MP，同理，可证OB'_LACV,DB±NP,

♦;MPcNP=P,MPu平面脑VP,NPu平面脑VP,

,DB'_L平面肱VP,即/垂直平面脑VP,故A正确.

在。中，由A中证明同理可证/_LMP,ILMN,又・；MPcMN=M,

平面MNP.故D正确.

假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.

对于B选项建立直角坐标系如图：设棱长为2,

：\i

‘：工N

TC

M（l,0,0）,N（2,2,l）,直线I所在体对角线两个顶点坐标（0,0,2）,（2,2,0）,

所以其方向向量7=（2,2,-2）,丽=（1,2,1）,

n-MN=4^Q,所以直线不可能垂直于平面脑VP.

同理可在C中建立相同直角坐标系，M（2,0,1）,（1,2,0）,W=（-1,2,-1）,

n-MN=4^0,所以直线不可能垂直于平面MNP.

故选：AD.

【点睛】

此题考查空间线面垂直的辨析，在四个图形中分别判定是否满足线面垂直，根据线面垂直的

判定定理证明.

13.3万B兀

3

【分析】

①根据侧面展开图求出底面圆的半径，即可求得底面圆的面积，得出表面积；

答案第7页，总15页

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②根据底面圆的半径结合母线长，求出锥体的高，即可求得体积.

【详解】

圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，该扇形弧长为2万，即底面圆周长，

设圆锥的底面半径为广，根据题意，得2疗=2万，解得r=l,

根据勾股定理，得圆锥的高为次二系=也,

所以圆锥的表面积S=』x%x22+;rxl2=3兀,

2

体积V=—x^-xl2x^=^^万.

33

故答案为：①3万，②旦兀

3

【点睛】

此题考查求圆锥体积和表面积，根据侧面展开图求底面圆半径和锥体的高，根据公式计算求

解.

14.3

【分析】

根据立体图形，作出直线与平面所成的角，结合线面角即可求得锥体的高.

【详解】

如图，过点S作SO,平面ABCD,连接OC,/SCO就是侧棱与底面所成的角，

则ZSCO=60°,SO=sin60°-SC=—x2>/3=3.

2

故答案为：3.

【点睛】

此题考查根据线面角求线段长度，关键在于弄清正四棱锥的几何特征.

20

15.

9

答案第8页，总15页

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【分析】

根据线面平行的性质可得：BD//EG,利用平行线分线段成比例即可求解.

【详解】

因为所以点A与直线a确定个平面，

即平面ABZ).因为a//a,且aPl平面ABD=EG,平面ABD,

所以a//EG,即BD//EG,

,AFEG

所CC以I1——=——.

ACBD

〒日》AFBD5x420

AC5+49

,20

故答案为：—.

【点睛】

此题考查线面平行的性质，根据线面平行得面面平行，进行长度关系的计算.

16.红

2

【分析】

由面面垂直，易得斜线在平面的射影，进而得角.

【详解】

解：由题意，AAD'E为等腰直角三角形，

••,平面AED±平面ABCE,

•*.A力在底面的射影为AE,

二ZD'AE为直线A£>'与平面A3c所成角，

。

且ZDAE=45

V2I

其正弦值为

V2I

故答案为：

【点睛】

此题考查了斜线与平面所成角，难度不大.

17.2

2

【分析】

分别根据圆锥和圆柱的体积公式表示出其中液体的体积，列出等量关系即可求解.

答案第9页，总15页

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【详解】

由题意，得Vai徘，=h，丫囱槎液=万｛3'h>

由已知得当h,

所以心旦.

2

【点睛】

此题考查锥体与柱体体积公式的应用，根据体积相等列出等式，得出等量关系.

7T

18.(1)证明见解析；(2)y.

【分析】

(1)证明RA//GB,再根据线面平行的判定定理即可证明结论；

(2)NC/。即为异面直线RA与3。所成的角，求出即可.

【详解】

(1)证：在正方体ABC。-A4G。中，

ABgD\,且A8=CQ,

四边形A3CQ为平行四边形，

/.D、AHC\B,

又：QA<Z平面GB。，G3u平面G8D；

24〃平面。足。；

⑵解：；RA//C3,

NGBD即为异面直线与8。所成的角，

设正方体A3。-44GR的边长为。，

则易得QB=BD=CQ=®a,

为等边三角形，

答案第10页，总15页

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71

：.ZCiBD=-

故异面直线AA与所成的角为

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题.

19.（1）见解析；（2）3

【详解】

(1)取AB的中点O,连接OCfl、0A]0、48,因为CA=CB，所以OC,AB,由于AB=AAi,

NBAAi=60。,所以所以平面。AC,因为ACu平面O4C，所以AB^AiC；

（2）有（1）可知A3,4。，因为AABC为等边三角形，所以CO=招，由勾股定理可得

COLAtO,所以A。_L平面ABC,

底面积S=gx括X2=75,所以体积丫=&、百=3

20.⑴见解析（II）底品应=1

【详解】

试题分析：（I）连接ACi交AC于点F,则DF为三角形ABCi的中位线，故DF〃:BCi.再

根据直线和平面平行的判定定理证得BCi〃平面AiCD.（II）由题意可得此直三棱柱的底

面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD,平面ABBiAi.求得CD的值，利

用勾股定理求得AiD、DE和A正的值，可得AiDLDE.进而求得SAAQE的值，再根据

三棱锥C-AiDE的体积为『SAAIDE・CD,运算求得结果

试题解析：（1）证明：连结ACi交AC于点E则F为AG中点又D是AB中点，

连结DF,贝|BCi〃DF.3分

答案第11页，总15页

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因为DFu平面AiCD,BCi不包含于平面AiCD,4分

所以BCi〃平面AiCD.5分

(2)解：因为ABC-AiBC是直三棱柱，所以AAJCD.由已知AC=CB,D为AB的中

点，所以CDJ_AB.又AAiPlAB=A,于是CDJ_平面ABB1A1.8分

由AAi=AC=CB=2,AB=2”‘工得NACB=90。，CDj®人业=、后，DE=\B，AIE=3,故

AID2+DE2=AIE2,即DE_LAQ10分

所以三菱锥C-AiDE的体积为：Vc-DE=1XXXX.^=1.12分

o4

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积

21.(I)见解析(II)叵

【解析】

【分析】

(I)取42的中点”及的中点N,连结PM,PN,MN.要证PC=PD,即证CCPN；

(II)过8作出/_1_平面PCD,垂足为"，连接尸BH,ZBPH为直线PB与平面PCD

所成角.

【详解】

(I)取A3的中点Af及CD的中点N,连结尸M,PN,MN.

由△上钻是正三角形，四边形A3CD是正方形得ABLMN,

BC

答案第12页，总15页

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又尸M,肱Vu平面PAW,PMcMN=M,

所以平面PMN.

因为AB〃CD,所以CDJ_平面PMN,

又PNu平面PMN,所以C£)_LPN,

又C。的中点是N,所以PC=PD.

(II)过B作平面PCD,垂足为H,连接P”，BH,

ZBPH为直线PB与平面PCD所成角，sin/BPH=器.

过Af作MVLRV于歹，

由CD_L平面PMN及叱u平面PMN,得CDLMF,

又MF1.PN,PN,C£>u平面尸CD,PNcCD=N,

所以MF_L平面PCD.

由A5//CD,A5Z平面尸CD,CDu平面尸CD,得AB//平面PCD.

于是点B到平面PCD的距离BH等于点M到平面PCD的距离等于MF

设8=2,贝1」尸。=百，PA=PB=AB=AD=BC=MN=2,

计算得PM=乖：,PN=2,

在