2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 3.7 二次函数的实际应用 (课件)

3.7二次函数的实际应用类型一已知一次函数关系/解析式满分技法1．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式；2．根据题干信息找自变量x的取值范围；3．通过配方将函数关系式转化为顶点式，再根据函数增减性求得在自变量取值范围内的最值．1.某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售期间发现：遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系．当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．(1)求遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，根据题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋540.(2)设遮阳伞每天的销售利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(2)根据题意得：w＝(－10x＋540)(x－20)＝－10(x－37)2＋2890，∵－10＜0，∴当x＝37时，w有最大值，最大值为2890元，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．2.小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

销售单价x(元)121416每周的销售量y(本)500400300(1)求y与x之间的函数关系式；

解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，当x＝12时，y＝500；当x＝14时，y＝400，∴解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－50x＋1100；(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？(2)w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1100)＝－50x2＋1600x－11000＝－50(x－16)2＋1800，∵－50<0，∴w有最大值，当x<16时，w随x的增大而增大．∵12≤x≤15，x为整数，∴x＝15时，w有最大值，此时w＝－50×(15－16)2＋1800＝1750.答：当销售单价定为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元.3.近几年随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租出的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元)满足关系式y＝－x＋36(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)，公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元．(1)求w与x的函数关系式(利润＝租金－支出)；解：(1)根据题意得w＝(x－200)·(－x＋36)＝－x2＋40x－7200(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)；(2)公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的利润最多为多少元？(2)将(1)中所求关系式化为顶点式，得w＝－(x－1000)2＋12800，∵－<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1000，∴当x＝1000时，利润最大，最大利润为12800元，即前3天每天利润为12800元，∵后4天执行了物价局的新规定，每辆车每天的租金不超过800元，∴500≤x≤800，且x为50的正整数倍，∵当x<1000时，w随x的增大而增大，∴当每日租金为800元时，利润最大，w最大＝－×(800－1000)2＋12800＝12000(元)．∴后4天的最大利润为每天12000元．∴这7天总的利润最大值为12800×3＋12000×4＝86400(元)．答：该公司在“十一黄金周”这7天获得的利润最多为86400元．4.我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．第4题图(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；第4题图解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图象知过点(30，140)，(50，100)，代入，得解得∴y＝－2x＋200，∵销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，∴30≤x≤30×2，即30≤x≤60，∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋200(30≤x≤60)；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？(2)设该公司日获利为w元，由题意得w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2000，∵－2<0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝65，30≤x≤60，∴当x＝60时，w有最大值，w最大＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利是1950元．5.有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图①所示的二次函数y1＝ax2；种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图②所示的正比例函数y2＝kx.第5题图(1)分别求出利润y1(万元)和利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式；解：(1)∵抛物线y1＝ax2经过点(4，1)，∴将点(4，1)代入y1＝ax2，得42·a＝1，解得a＝.∴y1关于x的函数关系式为y1＝x2(x>0)．∵直线y2＝kx经过点(2，1)，∴将点(2，1)代入y2＝kx，得2k＝1，解得k＝.∴y2关于x的函数关系式为y2＝x(x>0)；第5题图(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？(2)设种植桃树的资金投入为x(2≤x≤8)万元，则种植柏树的资金投入为(10－x)万元，两项投入所获得的总利润为y万元，根据题意得y＝x2＋(10－x)＝(x－4)2＋4，∵>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝4，∴当x＝4时，y有最小值，y最小＝4(万元)．∵抛物线的对称轴为直线x＝4，2≤x≤8，∴当2≤x<4时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y最大＝(2－4)2＋4＝4.25(万元)；∵当4<x≤8时，y随x的增大而增大，∴当x＝8时，y最大＝×(8－4)2＋4＝5(万元)．∵5>4.25，∴当种植桃树的投资成本为8万元时，苗圃获得利润最大，最大利润为5万元．答：苗圃至少获得4万元利润，最多能获得5万元利润．类型二“每每”问题满分技法1.注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量；2.根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式；3.通过配方将函数关系式转化为顶点式，再根据函数增减性求得最值；4.若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最值，最后在确定销售单价时注意找准基础量．6.某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大．117.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；解：(1)根据题意，得y＝100－2(x－60)＝－2x＋220.(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？(2)根据题意，得(－2x＋220)(x－40)＝2400，整理，得x2－150x＋5600＝0，解得：x1＝70，x2＝80，答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)设每星期获得的销售利润为w元，根据题意得w＝(－2x＋220)(x－40)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450，∵－2＜0，∴抛物线开口向下，w有最大值，当x＝75时，w最大＝2450，答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．类型三分段函数满分技法1．根据题干中所给的自变量范围，分别求出每段的函数关系式；2．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式；3．确定函数最值时，注意结合自变量的取值范围及函数增减性，分别确定取得最值时的x值，进而求得函数最值；4．通过比较每段函数最值的大小，求出最大利润．8.某食品连锁店研制出一种新式月饼，每块成本为6元．试销一段时间后发现，若每块月饼的售价不超过10元，每天可销售300块；若每块月饼售价超过10元，每提高1元，每天的销量就会减少30块，这家食品连锁店每天需要支付因生产这种月饼而产生的其他费用(不含月饼成本)200元．设每块月饼的售价为x(元)，食品连锁店每天销售这种月饼的纯收入为y(元)．(注：纯收入＝销售额－成本－其他费用)(1)当每块月饼售价不超过10元时，请直接写出y与x的函数关系式：__________________；当每块月饼售价超过10元时，请直接写出y与x的函数关系式：_______________________；【解法提示】当x≤10时，y＝300(x－6)－200，即y＝300x－2000；y＝300x－2000y＝－30x2＋780x－3800当x>10时，y＝(x－6)[300－30·(x－10)]－200，即y＝－30x2＋780x－3800.(2)如果这种月饼每块的售价不超过12元，那么如何定价才能使该食品连锁店每天销售这种月饼的纯收入最高？最高纯收入为多少元？(2)当x≤10时，y＝300x－2000，∵k＝300>0，∴y随x的增大而增大．∴当x＝10时，y最大＝300×10－2000＝1000；当10<x≤12时，y＝－30x2＋780x－3800，∵－30<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－＝13，∴当10<x≤12时，y随x的增大而增大，∴当x＝12时，y有最大值，y最大＝－30×122＋780×12－3800＝1240.∵1000<1240，∴当每块月饼的售价定为12元时，每天纯收入最高．答：当每块月饼的售价定为12元时，每天纯收入最高，最高纯收入为1240元．9.某服装厂生产A品牌服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．(1)当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为___________________；y＝－x＋110【解法提示】设该函数的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意得解得∴y＝－x＋110(100≤x≤300)．第9题图(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？(2)服装的批发单价为y＝－×200＋110＝90，∴200套服装的总价为90×200＝18000(元)．答：需要支付18000元；第9题图(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？

最大值是多少？(3)

整理得第9题图当服装数量在100～300之间时，w是x的二次函数，对称轴为直线x＝195，∵x为10的整数倍，∴服装数取190或200，可以获得最大利润3800元，当服装数量在300～400之间时，服装数取400可获得最大利润9×400＝3600元．∵3800>3600，∴当x＝190或200时，w最大，最大值是3800元．第9题图10.铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元．由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系：第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．每天的销售量为y盒，

y与x之间的关系如下表所示：

第x天1≤x≤66<x≤15每天的销售量y(盒)10x＋6(1)求p与x的函数关系式；

解：(1)设p与x的函数关系式为p＝kx＋b(k≠0)，∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴解得