河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试 数学试题【含答案】

河南省2024年普通高考模拟测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数满足，则（

）A． B． C． D．2．若非空集合，，，满足：，，则（

）A． B． C． D．3．已知命题“”，则为（

）A．B．C．D．4．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．抛物线上的点到焦点的距离为（

）A． B．2 C． D．16．若，则（

）A．1 B． C．2 D．7．已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（

）A．2 B． C． D．8．若，则（

）A．180 B． C． D．90二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率B．C．面积的最大值为12D．的最小值为10．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（

）A． B．C． D．11．下列命题正确的是（

）A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6B．已知随机变量，若，则C．对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为.13．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为.14．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，是的中点，，求边．16．某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：月份12345不满意的人数1201051009580(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款App不满意人数；(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款App与性别有关？使用App不使用App女性4812男性2218附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.

(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.18．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.19．已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.(1)若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；(2)若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；(3)若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.1．D【分析】首先求复数，再求模.【详解】，所以.故选：D2．B【分析】根据交集和子集概念进行推导即可.【详解】因为，所以依据交集概念可知，故A错，又因为，所以且，所以，即，故B正确，所以，故C、D错.故选：B.3．C【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】存在量词命题：的否定是：.故选：C4．D【分析】首先根据向量数量积公式，求，再代入投影向量公式，即可求解.【详解】，由，得，所以向量在上的投影向量为.故选：D5．A【分析】根据抛物线上的点求抛物线方程，再根据焦半径公式，即可求解.【详解】由条件可知，，则，所以，所以点到焦点的距离.故选：A6．B【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B7．B【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果【详解】设原来4个数据依次为a、b、c、d，则，由方差为3，所以，即，所以，则，现加入数据8和10，则则其平均数为，则这6个数据的方差为故选：B8．A【分析】由写出其通项公式，依题意对赋值即可求得.【详解】因，其二项展开式的通项为：，而是的系数，故只需取，得，即.故选：A.9．AC【分析】对于A，由椭圆方程及离心率概念可得；对于B，由椭圆定义可判断；对于C、D，由椭圆图形的结构特征和性质可得.【详解】对于A，由椭圆方程得，所以，所以离心率为，故A对；对于B，由椭圆定义可知，故B错；对于C，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时，面积取得最大，最大值为，故C对；对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为2，故D错.故选：AC.10．AC【解析】先根据，，成等差数列求出公比，结合求出首项，结合选项可得.【详解】由，，成等差数列，得.设的公比为，则，解得或（舍去），所以，解得.所以数列的通项公式为，，故选：AC.11．BC【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D.【详解】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误；对于B，由于，则，故B正确；对于C，若，根据条件概率公式则有，变形可得，则与相互独立，故C正确；对于D，分层抽样的平均数，按分层抽样样本方差的计算公式，，故D错误.故选：BC12．3【分析】根据正态分布的对称性可得方程，求出.【详解】近似服从正态分布，，故，解得.故答案为：313．3【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，设母线长为，高为.则，解得.如图所示圆台的轴截面，在中，，由勾股定理得：圆台的高.故答案为：3.14．【分析】首先确定，分别求出各自的概率，然后期望公式可求【详解】记检测次数为，则当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则，当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则，所以，故答案为：15．（1）；（2）.【解析】（1）先利用正弦定理将边转化到角的正弦，结合进行化简，即求得角；（2）中利用余弦定理求得，判断是等边三角形，即得到边.【详解】解：（1）因为，由正弦定理得：，因为，代入上式得，，即，即因为中，，所以，即，又因为中，，所以；（2）依题意，中，，，利用余弦定理可得，，即，解得，中，，，故是等边三角形，故.【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，通常利用正弦定理或余弦定理对边角关系进行转化，要有意识地已知条件判断用哪个定理更合适.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.16．(1)；37(2)即认为是否使用这款APP与性别有关，此推断的错误概率不大于【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论；（2）根据题给数据分析列联表求解得出结论【详解】（1）由表中的数据可知，，，，，不满意人数与月份之间的回归直线方程为，当时，预测该小区10月份对这款App不满意人数为37；（2）提出假设：是否使用这款App与性别无关，由表中的数据可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否使用这款APP与性别有关，此推断的错误概率不大于17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）由（1）的信息以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.【详解】（1）在三棱柱中，，则，由，得，在中，，由余弦定理，得，，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，则，于是，设为平面的一个法向量，则，取，得，显然为平面的一个法向量，因此，显然二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为.

18．（Ⅰ）（Ⅱ）或.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19．(1)原点不存在“上位点”，理由见解析(2)点的坐标为，点的坐标为(3)存在，【分析】（1）先求得函数经过点的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可；（2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标；（3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可.【详解】（1）已知，则，得，故函数经过点的切线方程为，其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.（2）设点的横坐标为，为正整数，则函数图像在点处的切线方程为，代入其“上位点”，得，化简得，即