福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测 数学试题

【新结构】福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足，则(

)A. B.1 C. D.i2.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，，为其终边上一点，则(

)A. B.4 C. D.13.函数的图象大致为(

)A. B.C. D.4.在菱形ABCD中，若，且在上的投影向量为，则(

)A. B. C. D.5.已知，，，则(

)A. B. C. D.6.棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为(

)A. B. C. D.7.若直线与曲线相切，则的取值范围为(

)A. B. C. D.8.函数在上单调递增，且对任意的实数a，在上不单调，则的取值范围为(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.双曲线的左、右焦点分别为，，且C的两条渐近线的夹角为，若为C的离心率，则(

)A. B.C. D.C的一条渐近线的斜率为10.定义在R上的函数的值域为，且，则(

)A. B.C. D.11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量记A表示事件“”，B表示事件“”，C表示事件“”，则(

)A.B和C互为对立事件 B.事件A和C不互斥 C.事件A和B相互独立 D.事件B和C相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的展开式中的常数项为__________.13.某圆锥的体积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为__________.14.设为数列的前n项积，若，其中常数，则__________结果用m表示若数列为等差数列，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求若面积为，求BC边上中线的长.16.本小题15分如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，设D为AC中点，证明：平面求平面与平面夹角的余弦值.17.本小题15分从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中;若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望;记事件“在操作次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为，记ⅰ在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率;ⅱ试探究与的递推关系，并说明理由.18.本小题17分在直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，求C的方程;设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点异于原点，线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.19.本小题17分若实数集A，B对，，均有，则称具有Bernoulli型关系.若集合，，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由;设集合，，若具有Bernoulli型关系，求非负实数t的取值范围;当时，证明：答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查复数乘法，属于基础题．设，由条件列方程组得，，从而求出【解答】解：设，为虚数单位，复数z满足，，，解得，，故选：C2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义列出方程，求解即可．【解答】解：角的终边经过点，，故选：3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数的图象的选择，涉及到函数的定义域和奇偶性，属于基础题.利用函数定义域和奇偶性，用排除法可得结果.【解答】解：函数的定义域为R，排除C，D，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除B，故选：A4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了投影向量，是基础题.先由该菱形中，再由D向AB作垂线，可得的值.【解答】解：由已知知该菱形中，由D向AB作垂线，垂足即为AB中点，，故选5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查利用指、对数函数的性质比较大小，属于基础题.直接根据指对数函数的性质比较大小即可.【解答】解：，，，，故选6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定及空间线段长，属于中档题.在正方体中，易知，，可得平面，易知当平面，且时，OP的长度最小，计算即可.【解答】解：在正方体中，易知，，且，BD、平面，平面，易知当平面，且时，OP的长度最小，在中，不难求得，故选7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题.设切点坐标，由直线是曲线的一条切线，把a与b用含有

的代数式表示，求得，令，再由导数求其最小值得答案.【解答】解：设切点为，由，得，

，，令，则当时，，单调递增;当时，，单调递减，又，所以有最大值e，取值范围是8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了利用三角函数的单调性求参的问题，属中档题．化简解析式，得到的形式，进一步结合题干条件求出的范围．【解答】解，在上单调递增，，，对任意的实数a，在区间上不单调，的周期，，，，故选9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质的应用，是基础题，结合双曲线和双曲线的简单几何性质分析各选项可得答案【解答】解：易知该双曲线实半轴为a，虚半轴为，半焦距为2a，离心率，焦距为，即，选项A正确，选项C错误;易知C的两条渐近线的斜率为，这两条渐近线的倾斜角分别为和，的两条渐近线的夹角为，选项B，D正确;综上所述，应选10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质，考查函数的值域，属于中档题.取特殊值代入计算，结合各选项判断即可.【解答】解：令，则，函数的值域为，，选项A正确;令，，则，令，，则，选项B错误;令，则，，即，选项C正确;，，，故选项D正确;综上所述，应选11.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念判断.属于中档题.根据选项要求的事件依次判断即可.【解答】选项A，事件B和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项A错误;选项B，事件A和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项B正确;选项C，易知，，事件AB为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则，，故选项C正确;选项D，由选项AC可知，，在事件C中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则，，故选项D错误;综上所述，应选12.【答案】160

【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：在的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为：13.【答案】2

【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征、体积公式应用问题，是基础题．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线为l，根据侧面展开图得到，再利用圆锥的体积公式求得圆锥的母线长．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线为l，则由得，则圆锥高，又圆锥的体积为，，解得，故答案为14.【答案】

；

1或2

【解析】【分析】本题主要考查递推关系，等差数列定义，属于中档题.由，求得解法一，由为常数d，讨论，，可得m的值；解法二，由等差数列定义得，恒成立，讨论可得m的值.【解答】解：易知，，解得，故应填方法一若数列为等差数列，则为常数d，①若，则恒成立，即an恒成立，②若，则，解得综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或方法二为等差数列，，易知，且，当时，，，，由，可得，对于任意n恒成立，或解得或综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或15.【答案】解：，由正弦定理，得，，，，又，，，，且，依题意，，，，解得，设边BC的中点为D，，，在中，由余弦定理知，边上中线的长为

【解析】本题主要考查了正余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题.由正弦定理可得，再结合三角形的内角和，可解；由三角形的面积可得a的值，在中，由余弦定理可求结果.16.【答案】解：为AC中点，且，在中，有，且，平面平面ABC，且平面平面，平面，平面，，，，，，，，由勾股定理，有，，，、平面，平面如图所示，以D为原点，DA，DB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可得，，，，，设平面的法向量为，则由得令，则，，，由可知，平面，平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，，平面与平面夹角的余弦值为

【解析】本题考查了线面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.由勾股定理可得，由得，由线面垂直的判定即可；建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可.17.【答案】解：由题意X的取值可能为0，1，2，当时，即第一次取出K，第二次也取出，当时，即第一次取出Q，第二次取出K，或第一次取出K，第二次取出Q，，当时，即第一次取出Q，第二次也取出，的概率分布列为X012P的数学期组ⅰ记事件“第1次取到Q“为B，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C，则，依题意，若第1次取出Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，①若第2次亦取出Q，则第3次和第4次均须取出其概率为，①若第2次取出K，则第3次须取出Q，第4次须取出K，其概率为，，即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为ⅱ方法一由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的K全部置换为Q，①当第1次取出Q，则剩余的次操作，须将袋中K全部置换为Q，概率为②当第1次取出K，则从第2次起，直到第次均须取出Q，且第次取出K，概率为，n，方法二由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的K全部置换为Q，则一定有第次最后一次取出K，①当第次倒数第二次取出Q，则须在之前的n次操作中的某一次取出K，概率为n②当第次倒数第二次取出K，则从第1次起，直到第n次均须取出Q，概率为，n

【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查概率的计算，属于难题.由题意X的取值可能为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列与期望；ⅰ利用条件概率计算得出结论；利用递推方法得出结论.18.【答案】解：不妨设l的方程为，，，联立l与C的方程，得，，，则，由题可知当时，，，的方程为由知，将R的纵坐标2m代入，得，易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P，，则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得，，，R的纵坐标相等，直线轴，，，点异于原点，，，，，即

【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线和抛物线的位置关系，考查了抛物线中三角形的面积问题，属于较难题.不妨设l的方程为，，，联立l与C的方程，得，则，由题可知当时，求得p，从而可得C的方程；由知，结合条件计算可得，则，结合可得面积的取值范围.19.【答案】解：依题意，是否具有Bernoulli型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：①，②，，，具有Bernoulli型关系.方法一令，，，则，①当时，显然有，成立;②当时，若，则，即，在区间上单调递减，若，则，即，若，则，即，在区间上单调递增，的最小值为，，，成立;③当时，若，则，即，在区间上单调递增，若，则，即，若，则，即，在区间上单调递减，的最大值为，，，即，当，且时，不能