2024年四川省眉山市中考数学试卷

2024年四川省眉山市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．1．（4分）下列四个数中，无理数是（）A．﹣3.14 B．﹣2 C．12 D．2．（4分）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列运算中正确的是（）A．a2﹣a＝a B．a•a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．（2ab2）3＝6a3b64．（4分）为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（）A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，25．（4分）如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（4分）不等式组2xA．x＞1 B．x≤4 C．x＞1或x≤4 D．1＜x≤47．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△A．7 B．8 C．10 D．128．（4分）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（）A．670×（1+2x）＝780 B．670×（1+x）2＝780 C．670×（1+x2）＝780 D．670×（1+x）＝7809．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（）A．74 B．73 C．34 10．（4分）定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的最小值为（）A．﹣21 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣511．（4分）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．4412．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则-83＜a+b+A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．13．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝．14．（4分）已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x215．（4分）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为米．16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为．17．（4分）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2=11-a1，a3=11-a2，…，an=118．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB＝10，BD＝25，则BC的长为．三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．19．（8分）计算：（3-π）0+（-12）﹣2+2sin45°﹣|120．（8分）解不等式：x+13-121．（10分）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为A型，B型，C型，D型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：改造农田面积统计表型号ABCD亩数1620m12利用图中的信息，解决下列问题：（1）①m＝；②扇形统计图中α的度数为．（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中B型挖掘机改造建设了多少亩？（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率．22．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．（1）求证：CA是⊙O的切线；（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．23．（10分）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业篷勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=12AB时，求25．（10分）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为．类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2OC拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM＝BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6-24，cos15°=6+26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年四川省眉山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．1．（4分）下列四个数中，无理数是（）A．﹣3.14 B．﹣2 C．12 D．【答案】D【解答】解：﹣3.14，﹣2，12是有理数，2故选：D．2．（4分）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：选项A的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项B、C、D的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：A．3．（4分）下列运算中正确的是（）A．a2﹣a＝a B．a•a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．（2ab2）3＝6a3b6【答案】B【解答】解：a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a•a2＝a3，则B符合题意；（a2）3＝a6，则C不符合题意；（2ab2）3＝8a3b6，则D不符合题意；故选：B．4．（4分）为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（）A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，2【答案】A【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，则中位数是1.5，众数是1.5．故选：A．5．（4分）如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正确，∴S△ABD＝S△CDB=12S平行四边形ABCD，∠ODE＝∠∵点O是BD的中点，∴OD＝OB，又∵∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正确，∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，∴S△ABD﹣S△ODE＝S△CDB﹣S△OBF，即S四边形ABOE＝S四边形CDOF，故④正确，综上所述，正确结论的个数为3个，故选：C．6．（4分）不等式组2xA．x＞1 B．x≤4 C．x＞1或x≤4 D．1＜x≤4【答案】D【解答】解：2x解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤4，故不等式组的解集为1＜x≤4．故选：D．7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：由作图知，EF垂直平分AB，∴AD＝BD，∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴△BCD的周长＝6+4＝10，故选：C．8．（4分）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（）A．670×（1+2x）＝780 B．670×（1+x）2＝780 C．670×（1+x2）＝780 D．670×（1+x）＝780【答案】B【解答】解：根据题意得：670×（1+x）2＝780．故选：B．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（）A．74 B．73 C．34 【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD＝8，EF＝DE，∴BF=A∴CF＝BC﹣BF＝8-2在Rt△EFC中，CE＝DC﹣DE＝6﹣EF，由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，∴EF2＝（6﹣EF）2+（8-27）∴EF=32-8∴CE＝6-32-8∴cos∠CEF=CE故选：A．10．（4分）定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的最小值为（）A．﹣21 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣5【答案】B【解答】解：由题意得，y＝（x+1）⊗2＝（x+1+2×2）（x+1﹣2）＝（x+5）（x﹣1），即y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，∴函数y＝（x+1）⊗2的最小值为﹣9．故选：B．11．（4分）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．44【答案】D【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，∵图1中大正方形的面积是24，∴a2+b2＝c2＝24，∵小正方形的面积是4，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，∴ab＝10，∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×12ab＝24+2×10＝故选：D．12．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则-83＜a+b+A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＜0，∴抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴bc＞0，故①正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，∴-b∵b＝﹣2a，∴x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，∴3a+2c＜0，故②正确；③∵对称轴为直线x＝1，a＞0，∴y＝a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，故③正确；④∵﹣2＜c＜﹣1，∵x1x2＝（﹣1）×3＝﹣3＝﹣3a，∴c＝﹣3a，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴13∵b＝﹣2a，∴a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴-8故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．13．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝3a（a+2）（a﹣2）．【答案】3a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：3a2﹣12a＝3a（a2﹣4）＝3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．14．（4分）已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2【答案】12【解答】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，∴1x故答案为：1215．（4分）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为（415-25）【答案】大树AB的高度为（415-25【解答】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则∠BEH＝∠DCF，在Rt△BEH中，sin∠BEH＝cos∠BCF=BH设BH＝x米，EH＝2x米，∴BE=EH2+∴x＝25，∴BH＝25米，EH＝45米，∵∠EAH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴AH=3EH=∴AB＝AH﹣BH＝（415-25答：大树AB的高度为（415-25故答案为：（415-2516．（4分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为475【答案】47【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°﹣∠DCE＝30°，∴CE=12CD＝∴DE=3CE＝33∴BE＝BC+CE＝9，∵AD∥BE，∴∠ADE＝180°﹣∠DEC＝90°，在Rt△ADE中，AE=DE2∵AD∥BE，∴△AFD∽△EFB，∴AFFE∴AF=25AE=2∵AD∥CE，∴△AGD∽△EGC，∴AGEG=∴AG=23AE=23×∴FG＝AG﹣AF＝27-故答案为：4717．（4分）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2=11-a1，a3=11-a2，…，an=1【答案】1x【解答】解：∵a1＝x+1，∴a2=1a3=1∴a4=11-a∴a5=-a6=x…，由上可得，每三个为一个循环，∵2024÷3＝674×3+2，∴a2024=1故答案为：1x18．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB＝10，BD＝25，则BC的长为8．【答案】8．【解答】解：延长AC，BD交于E，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE，∴AD＝AD，∴△BAD≌△EAD（ASA），∴BD＝DE＝25，∴BE＝45，∵AB＝10，BD＝25，∴AD=102∵∠DAC＝∠CBD，∵∠ADB＝∠BCE＝90°，∴△ABD∽△BCE，∴BEAB∴45∴BC＝8．故答案为：8．三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．19．（8分）计算：（3-π）0+（-12）﹣2+2sin45°﹣|1【答案】6．【解答】解：（3-π）0+（-12）﹣2+2sin45°﹣＝1+4+2×22-＝1+4+＝6．20．（8分）解不等式：x+13-1【答案】x≤2，数轴见解答．【解答】解：x+13-2（x+1）﹣6≤3（2﹣x），2x+2﹣6≤6﹣3x，2x+3x≤6+6﹣2，5x≤10，x≤2，其解集在数轴上表示如下：．21．（10分）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为A型，B型，C型，D型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：改造农田面积统计表型号ABCD亩数1620m12利用图中的信息，解决下列问题：（1）①m＝32；②扇形统计图中α的度数为72°．（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中B型挖掘机改造建设了多少亩？（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率．【答案】（1）32，72°；（2）240；（3）16【解答】解：（1）①12÷54360m＝80﹣16﹣20﹣12＝32；②扇形统计图中α的度数为360°×1680故答案为：32，72°；（2）根据题意得：960×2080答：估计其中B型挖掘机改造建设了240亩；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，同时抽到A，B两种型号挖掘机的有2中情况，∴同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率为：21222．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．（1）求证：CA是⊙O的切线；（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）62．【解答】（1）证明：连接OA，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠EAC＝∠ABC，∴∠CAE＝∠BAO，∴∠CAE+∠OAE＝90°，∴∠OAC＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴CA是⊙O的切线；（2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△EAC，∴ACBC∴8BC∴BC＝16，∴BE＝BC﹣CE＝12，连接BD，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∴BD=∴BD＝DE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴DE＝BD=22BE＝623．（10分）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业篷勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）A款文创产品每件的进价80元，则B文创产品每件的进价是65元；（2）购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．【解答】解：（1）A款文创产品每件的进价a元，则B文创产品每件的进价是（a﹣15）元，根据题意得：960a解得：a＝80，经检验，a＝80是原分式方程的解，80﹣15＝65．答：A款文创产品每件的进价80元，则B文创产品每件的进价是65元．（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100﹣x）件，总利润为W，根据题意得：80x+65（100﹣x）≤7400，解得：x≤60，∴W＝（100﹣80）x+（80﹣65）（100﹣x）＝5x+1500，∵k＝5＞0，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，利润最大，W最大＝5×60+1500＝1800．答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=12AB时，求【答案】（1）反比例函数的表达式为y=6x，一次函数的表达式为y＝﹣2x（2）点P的坐标为（0，5）；（3）a＝6或a＝10．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，∴m1∴m＝6，∴反比例函数的表达式为y=6∴2=6∴n＝3，∴B（3，2），∴k+解得k=∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，∵点A（1，6），∴E（﹣1，6），设直线BE的解析式为y＝mx+c，∴-m解得m=∴直线BE的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，∴点P的坐标为（0，5）；（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，∴E（8-a2，0）．F（0，8﹣∵EF=12∴(8-解得a＝6或a＝10．25．（10分）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为4；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为4．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为S1=14S类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2OC拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM＝BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6-24，cos15°=6+【答案】操作发现：（1）4，4；（2）S1=14类比探究：证明见解析；拓展延伸：43-4【解答】解：操作发现：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为S△BOC=14当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，∴∠OMC＝∠MON＝∠BCD＝90°，∴四边形MONC是矩形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，OA＝OC，∴∠MOC＝∠MCO，∴OM＝MC，∴四边形OMCN是正方形，∴OM=12AD＝∴四边形OMCN的面积是4，故答案为：4，4；（2）如图，过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．∵O是正方形ABCD的中心，∴OG＝OH，∵∠OGC＝∠OHC＝∠C＝90°，∴四边形OGCH是矩形，∵OG＝OH，∴四边形OGCH是正方形，∴∠GOH＝∠EOF＝90°，∴∠EOG＝∠FOH，∵∠OGE＝∠OHF＝90°，∴△OGE≌△OHF（ASA），∴S△OGE＝S△OHF，∴S四边形OECF＝S正方形OGCH=14S正方形∴S1=14故答案为：S1=14类比探究：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠BCD＝∠OCD＝45°，∵∠FOE＝∠BOC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（ASA），∴BE＝CF，∴BE+DF＝CF+DF＝CD，∵CD=2OC∴BE+DF=2OC拓展延伸：过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．同（2）可知四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，OG＝OH，∵BM＝BN，∴GM＝NH，∵∠OGM＝∠OHN＝90°，∴△OGM≌△OHN（SAS），∴S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH，∵∠MON＝60°，∴∠GOM=12由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4，∴tan∠GOM＝tan15°=GMOG=∴GM＝2×(2-3)=4∴S△OGM=12∴重叠部分的面积＝S四边形OMBN＝S正方形OGBH﹣2S△OGM＝4﹣2×（4﹣23）＝43-426．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．（1）求该抛物线的