高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)3.6零点定理(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

3.6零点定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一零点的区间【例1】(2023·河南开封·）函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·湖南）函数的零点所在区间是（

）A．B．C．D．2．(2023·四川攀枝花）已知函数的零点在区间上，则（

）A． B． C． D．3．(2023·云南德宏）方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．考点二零点的个数【例2-1】(2023·陕西）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2-2】(2023·山西）已知若，则在内的零点个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【一隅三反】1．(2023·安徽）已知函数则方程的解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．(2023·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．03．(2023·海南省）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（

）个零点A．4 B．5 C．6 D．7考点三比较零点的大小【例3】(2023·安徽）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·河南）若实数满足，则（

）A． B．C． D．2．(2023·安徽）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．(2023·山西）正实数满足，则实数之间的大小关系为（

）A． B． C． D．考点四已知零点求参数【例4-1】(2023·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】(2023·吉林）已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．【例4-3】(2023·安徽·合肥市）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．2．(2023·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．(2023·广西·贵港市高级中学三模）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．(2023·山西）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．考点五零点的综合运用【例5-1】(2023·新疆克拉玛依）函数在区间上的所有零点之和为（

）A． B．C． D．【例5-2】(2023·甘肃）若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5-3】(2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·安徽·合肥一六八中学）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（

）A． B． C． D．2．(2023·陕西·模拟预测（理））已知是方程的根，是方程的根，则的值为（

）A．2 B．3 C．6 D．103．(2023·陕西·西安中学一模（理））函数的所有零点之和为_________.3.6零点定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一零点的区间【例1】(2023·河南开封·）函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，的定义域为，，所以在上单调递增，所以，，由零点存在性定理知：，函数的一个零点所在的区间是.故选：D.【一隅三反】1．(2023·湖南）函数的零点所在区间是（

）A．B．C．D．答案：B【解析】因为是上的增函数，且，所以的零点在区间内.故选：B2．(2023·四川攀枝花）已知函数的零点在区间上，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函数的定义域为，且在上单调递增，故其至多一个零点；又，，故的零点在区间，故.故选：．3．(2023·云南德宏）方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】设，易知在定义域内是增函数，又，，所以的零点在上，即题中方程的根属于．故选：B．考点二零点的个数【例2-1】(2023·陕西）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】当时，则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当时，函数的零点有两个，当时，，即当时，函数的零点有一个.综上，函数的零点有三个.故选：D【例2-2】(2023·山西）已知若，则在内的零点个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11答案：B【解析】作出的图像，则在内的零点个数为曲线与直线在内的交点个数9.选：B.【一隅三反】1．(2023·安徽）已知函数则方程的解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C．2．(2023·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．0答案：C【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．故选：C．3．(2023·海南省）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（

）个零点A．4 B．5 C．6 D．7答案：C【解析】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点故选：C考点三比较零点的大小【例3】(2023·安徽）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：D【一隅三反】1．(2023·河南）若实数满足，则（

）A． B．C． D．答案：B【解析】画出与三个函数的图象，如图可得的与交点的横坐标依次为，故故选：B2．(2023·安徽）已知，，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知．；设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即.故选:A．3．(2023·山西）正实数满足，则实数之间的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，则；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，故；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，则；故选：A.考点四已知零点求参数【例4-1】(2023·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】对函数求导得：，当或时，，当时，，即在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，在同一坐标系内作出函数的图像和直线，如图，观察图象知，当时，函数的图像与直线有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是.故选：B【例4-2】(2023·吉林）已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；作出在上的图象，如图：由图可知要使有3个不同的实根，则.故选：D.【例4-3】(2023·安徽·合肥市）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根据题意，函数，若，即，必有，令，则，设，则函数和在区间内有4个交点，又由于，必有，即的取值范围是，故选：B.【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】函数的图像如下图所示：若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则函数的图像与直线有三个交点，若直线经过原点时，m＝0，若直线与函数的图像相切，令，令.故.故选：D．2．(2023·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，.当时，由，得；当时，由，得.结合函数的图象可知，若有3个零点，则．故选：A3．(2023·广西·贵港市高级中学三模）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由，得，即.设，即在有且仅有6个实数根，因为，故只需，解得，故选：D．4．(2023·山西）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意知，画出函数的简图，如图所示由恰好有两个零点转化为与直线有两个不同的交点，由图知，当直线经过点两点的斜率为，则.所以实数k的取值范围为.故选：C.考点五零点的综合运用【例5-1】(2023·新疆克拉玛依）函数在区间上的所有零点之和为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因为，令，即，当时显然不成立，当时，作出和的图象，如图，它们关于点对称，由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C．【例5-2】(2023·甘肃）若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函数在区间上有2个零点即方程在区间上有2个实数根设，则为偶函数.且当时，，当时，在上单调递增，且所以在上单调递减，则在上单调递增，又时，；时，，则的大致图像如图.所以方程在区间上有2个实数根满足则，设，则在上恒成立所以故选：A【例5-3】(2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令、，则、，在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，解方程组，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，，A、B、D错误，因为，所以在上单调递增，因为，，所以，因为点在直线上，所以，，故C正确，故选：C．【一隅三反】1．(2023·安徽·合肥一六八中学）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（

）A． B． C． D．答案：B【解析】是奇函数，且是的一个零点，所以，把分别代入下面四个选项，对于A，，不一定为0，故A错误；对于B，，所以是函数的零点，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确；故选：B.2．(2023·陕西·模拟预测（理））已知是方程的根，是方程的根，则的值为（

）A．2 B．3 C．6 D．10答案：A【解析】方程可变形为方程，方程可变形为