高考数学微专题集专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题(原卷版+解析)

专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题【微点综述】近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高．1．圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．2．常见题型及其解法圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：（1）探索常数的存在性；（2）探索点的存在性；（3）探索最值的存在性；（4）探索曲线的存在性；（5）探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系．下面分类说明．类型一、探索常数的存在性问题1．如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.类型二、探索点的存在性问题2．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.3．已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．(1)求的方程；(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．类型三、探索曲线的存在性问题4．如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.①证明：；②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．5．已知椭圆过点，其焦距为．(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．图（1）

图（2）(2023安徽·淮南一中高二月考）6．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.类型四、探索最值的存在性问题7．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.类型五、探索命题是否成立问题8．已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．9．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．（1）求的方程；（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.【总结】探索性问题的基本题型及其求解方法：（1）给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．（2）只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述．此类问题也是最常考的探索性问题，解答这类问题时，一般要先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则探索性得到肯定；若导致矛盾，则假设不存在．本题就是“是否存在”型探索性问题．解决探索性问题的注意事项：探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【强化训练】(2023·福建省福州格致中学模拟预测）10．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．(1)求的方程；(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．(2023·上海虹口·二模）12．已知抛物线：的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，（）两点.(1)若，求的值；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.13．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）14．设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．(1)求点G运动的曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．(2023·河南省杞县高中模拟预测）15．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．16．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.17．如图，椭圆的顶点为，，，，焦点为，，，．(1)求椭圆C的方程；(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，．是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设，的面积分别为，，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于，两点（，不是椭圆的顶点），探究直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线过点且与椭圆相交于不同的两点，，直线与x轴交于点，是直线上异于的任意一点，当时，直线是否恒过轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．21．已知椭圆的左右焦点分别为，且离心率为，点M为椭圆上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由．22．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知不经过点P（0，2）的直线l：交椭圆C于A，B两点，M在AB上满足且，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由．23．如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．24．已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.25．已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切．1求椭圆C的标准方程；2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．27．已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由．28．已知离心率为的椭圆，与直线交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为.(1)求椭圆方程;(2)若，则三角形的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.29．已知椭圆的右焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是椭圆上不同的三点，若直线的斜率之积为，试问从两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题【微点综述】近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高．1．圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．2．常见题型及其解法圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：（1）探索常数的存在性；（2）探索点的存在性；（3）探索最值的存在性；（4）探索曲线的存在性；（5）探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系．下面分类说明．类型一、探索常数的存在性问题1．如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.类型二、探索点的存在性问题2．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.3．已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．(1)求的方程；(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．类型三、探索曲线的存在性问题4．如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.①证明：；②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．5．已知椭圆过点，其焦距为．(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．图（1）

图（2）(2023安徽·淮南一中高二月考）6．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.类型四、探索最值的存在性问题7．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.类型五、探索命题是否成立问题8．已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．9．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．（1）求的方程；（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.【总结】探索性问题的基本题型及其求解方法：（1）给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．（2）只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述．此类问题也是最常考的探索性问题，解答这类问题时，一般要先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则探索性得到肯定；若导致矛盾，则假设不存在．本题就是“是否存在”型探索性问题．解决探索性问题的注意事项：探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【强化训练】(2023·福建省福州格致中学模拟预测）10．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．(1)求的方程；(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．(2023·上海虹口·二模）12．已知抛物线：的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，（）两点.(1)若，求的值；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.13．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）14．设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．(1)求点G运动的曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．(2023·河南省杞县高中模拟预测）15．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．16．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.17．如图，椭圆的顶点为，，，，焦点为，，，．(1)求椭圆C的方程；(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，．是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设，的面积分别为，，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于，两点（，不是椭圆的顶点），探究直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线过点且与椭圆相交于不同的两点，，直线与x轴交于点，是直线上异于的任意一点，当时，直线是否恒过轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．21．已知椭圆的左右焦点分别为，且离心率为，点M为椭圆上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由．22．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知不经过点P（0，2）的直线l：交椭圆C于A，B两点，M在AB上满足且，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由．答案：（1）（2）直线恒过定点，详见解析分析：（1）根据题意可得，解出方程可得椭圆的标准方程；（2）设，，根据向量的关系以及三角形的性质可得为外接圆的直径，即，根据点A，B在直线上可得，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理代入可得，解出方程或，代入直线中即可得定点.【详解】解：（1）由题意得解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）设，，又，所以，，因为在上满足，所以为的中点．又，即，所以线段为外接圆的直径，即，所以．又在直线上，所以，即，联立消得，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，由韦达定理得代入（*）中，得，解得或，所以直线：或，所以直线过定点或（舍去），综上所述：直线恒过定点．【点睛】本题主要考查了根据求椭圆的方程，直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，得出的关系是解题的关键，属于难题.23．如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．答案：（1）（2）见解析（3）落在定直线上【详解】试题分析：（1）由椭圆方程可知点两点的坐标，可设点的坐标（设而不求），根据斜率的计算公式列出的表达式，又点在椭圆上，联立椭圆方程，从而可问题可得解；（2）由题意可联立直线与椭圆方程，消去，根据韦达定理，求得点的纵坐标与参数的关系式，再分别算出斜率，进行运算化简，从而问题可得证.（3）同（2）法，由点的纵坐标，求出直线的方程，联立两直线方程，求出其交点的横坐标与点的坐标无关，从而可判断交点落在定直线上，从而问题可得解.试题解析：(1)设，由于，所以，因为在椭圆上，于是，即，所以.(2)设直线，，由得，于是，．(3)由于直线与轴的交点为，于是，联立直线与椭圆的方程，可得，于是因为直线，直线，两式相除，可知，于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．24．已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.答案：(1)椭圆;(2)见解析.【详解】分析：(1)由，可得，根据椭圆定义，可得，从而可得，进而可得椭圆的方程；(2)设直线，，由消去y得，由，可得，结合韦达定理可得.详解：（1）由题意，，根据椭圆定义，所以所以，因此，椭圆.（用待定系数法，列方程组求解同样给分）（2）设直线，，由消去y得因为，所以即，解得所以，点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.25．已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切．1求椭圆C的标准方程；2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）定点为.【详解】分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，结合性质

，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得结果；(2)设直线联立，得.假设轴上存在定点，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得，要使为定值，则的值与无关，所以，从而可得结果.详解：（1）由题意知，，解得则椭圆的方程是（2）①当直线的斜率存在时，设直线联立，得所以假设轴上存在定点，使得为定值。所以要使为定值，则的值与无关，所以解得，此时为定值，定点为②当直线的斜率不存在时，，也成立所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.26．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2），定值为1.【详解】试题分析：（Ⅰ）由可得，再根据离心率求得，由此可得，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线与直线的斜率，结合根与系数的关系可得，根据此式的特点可得当时，为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故椭圆的方程为．

（Ⅱ）假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.

因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．27．已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由．答案：(1)