数学二次函数图像知识点梳理

数学二次函数图像知识点梳理数学二次函数图像知识点梳理一、二次函数的定义与性质1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)2.二次函数的图像：抛物线3.二次函数的顶点：抛物线的最高点或最低点4.二次函数的对称轴：垂直于x轴，通过顶点的直线5.二次函数的开口方向：由a的正负决定-a>0时，开口向上-a<0时，开口向下二、二次函数图像的特征1.顶点的坐标：(-b/2a,c-b^2/4a)2.对称轴的方程：x=-b/2a3.抛物线的焦点：对于开口向上的抛物线，焦点在顶点的下方；对于开口向下的抛物线，焦点在顶点的上方4.焦距：2√(a^2-b^2/4a)5.顶点到焦点的距离：c-b^2/4a三、二次函数图像与坐标轴的交点1.与x轴的交点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=02.与y轴的交点：令x=0，得到y=c四、二次函数图像的增减性1.在对称轴左侧，函数值随着x的增大而增大2.在对称轴右侧，函数值随着x的增大而减小五、二次函数图像的应用1.求解最值问题：找到函数的最大值或最小值2.求解范围问题：确定函数值的正负情况3.实际问题中的应用：如抛物线与几何图形的面积、物体的运动等六、二次函数图像的变换1.横向拉伸或压缩：改变a的值2.纵向拉伸或压缩：改变c的值3.横向平移：改变对称轴的位置4.纵向平移：改变抛物线的整体位置七、特殊情况下的二次函数图像1.y=x^2：开口向上，顶点在原点2.y=-x^2：开口向下，顶点在原点3.y=ax^2：a>0时，开口向上，顶点在原点；a<0时，开口向下，顶点在原点八、与二次函数相关的数学问题1.求解二次方程：ax^2+bx+c=02.求解函数的导数：y'=2ax+b3.求解函数的积分：∫(ax^2+bx+c)dx以上是对数学二次函数图像的详细知识点梳理，希望对你有所帮助。习题及方法：1.习题：已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求该函数的顶点坐标和对称轴方程。答案：顶点坐标为(1,3)，对称轴方程为x=1。解题思路：根据二次函数的性质，顶点坐标可以通过公式(-b/2a,c-b^2/4a)求得，其中a=-2,b=4,c=1。对称轴方程为x=-b/2a。2.习题：二次函数y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标分别是什么？答案：交点坐标为(1/3,0)和(2,0)。解题思路：令y=0，得到方程3x^2-6x+2=0，解得x=1/3和x=2。3.习题：二次函数y=-x^2+4与y轴的交点坐标是什么？答案：交点坐标为(0,4)。解题思路：令x=0，得到y=4。4.习题：已知二次函数的顶点坐标为(-3,8)，对称轴方程为x=-3，求该函数的表达式。答案：函数表达式为y=a(x+3)^2+8。解题思路：对称轴方程为x=-b/2a，所以b=0。顶点坐标为(-b/2a,c)，代入得到a=1。5.习题：二次函数y=2(x-1)^2-3的图像向左平移2个单位，向上平移1个单位后的函数表达式是什么？答案：函数表达式为y=2(x-1+2)^2-3+1，即y=2(x+1)^2-2。解题思路：根据平移的规律，对原函数进行相应的变换。6.习题：已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(2,-3)，求该函数的解析式。答案：函数解析式为y=a(x-2)^2-3。解题思路：开口向上，所以a>0。顶点式解析式为y=a(x-h)^2+k，代入顶点坐标得到a=1。7.习题：二次函数y=-x^2+4x-5的图像经过点(1,2)，求该函数的解析式。答案：函数解析式为y=-(x-2)^2+1。解题思路：将点(1,2)代入原函数，得到2=-(1-2)^2+1，解得a=-1。8.习题：已知二次函数y=ax^2-2x+1的图像经过点(0,1)和(1,0)，求该函数的解析式。答案：函数解析式为y=-x^2+2x+1。解题思路：将点(0,1)代入原函数，得到1=a(0)^2-2(0)+1，解得a=-1。将点(1,0)代入原函数，得到0=a(1)^2-2(1)+1，解得a=-1。其他相关知识及习题：一、配方法求解二次方程1.习题：求解方程x^2-4x+3=0。答案：x1=1,x2=3。解题思路：通过配方法，将方程转化为(x-2)^2=1，再开方得到x-2=±1，解得x1=1,x2=3。2.习题：求解方程2x^2+5x-2=0。答案：x1=-2,x2=1/2。解题思路：通过配方法，将方程转化为(2x+5/4)^2=9/16，再开方得到2x+5/4=±3/4，解得x1=-2,x2=1/2。二、一元二次方程的根与系数的关系1.习题：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根为x1和x2，求证：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。答案：无需解答，这是根与系数的关系公式。2.习题：已知一元二次方程x^2-4x+3=0的两个根为x1和x2，求x1*x2的值。答案：x1*x2=3。解题思路：根据根与系数的关系，x1*x2=c/a，代入a=1,b=-4,c=3得到x1*x2=3。三、二次函数的图像与不等式的关系1.习题：已知二次函数y=x^2-2x-3，求解不等式y>0。答案：x<-1或x>3。解题思路：首先找出函数的零点，即解方程x^2-2x-3=0，得到x=-1和x=3。根据函数的开口方向和增减性，得出不等式的解集。2.习题：已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求解不等式y≤0。答案：x∈(-∞,1/2]∪[2,+∞)。解题思路：首先找出函数的零点，即解方程-2x^2+4x+1=0，得到x=1/2和x=2。根据函数的开口方向和增减性，得出不等式的解集。四、二次函数图像的应用1.习题：一个球体的体积V与半径r之间的关系可以近似表示为V=4/3πr^3，求该球体半径为5cm时的体积。答案：V=5031cm^3。解题思路：将球体体积公式看作是关于r的二次函数，代入r=5cm计算体积。2.习题：某商品的销售利润P与销售量x之间的关系可以表示为P=-2x^2+10x，求销售量为5时的利润。答案：P=50。解题思路：将销售利润公式看作是关于x的二次函数，代入x=5计算利润。总结：以上知识点和习题主要涉及