山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题

山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在0°～360°的范围内，与﹣520°终边相同的角是（）A．310° B．200° C．140° D．20°2．（5分）半径为2的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（）A． B． C． D．3．（5分）函数的最小正周期是（）A．π B．2π C．1 D．24．（5分）已知向量和不共线，向量＝+m，＝5+3，＝﹣3+3，若A、B、D三点共线，则m＝（）A．3 B．2 C．1 D．﹣25．（5分）函数的定义域为（）A． B． C． D．6．（5分）已知平面向量＝（10sinθ，1），，若，则tanθ＝（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或3 D．或37．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影的数量为（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）＝2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，（m≥2，m∈N+），则满足条件的实数m的最小值为（）A．506 B．507 C．508 D．509二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知向量，，则下列命题正确的是（）A． B．可以作为平面向量的一组基底 C． D．（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ω＝2 B．函数f（x）的图象关于直线对称 C．函数是偶函数 D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是以π为周期的函数 B．函数f（x）存在无穷多个零点 C． D．至少存在三个不同的实数a∈（﹣1，4），使得f（x+a）为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若角α的终边与单位圆相交于点，则sinα＝．13．（5分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，若，，则＝．14．（5分）已知平面向量对任意实数x，y都有，成立．若，则的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量，．（1）若，求实数λ的值；（2）求向量与夹角的正弦值．16．（15分）已知向量，，函数．（1）求函数f（x）在区间上的最值；（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．17．（15分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）+1（其中|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数．（1）求函数g（x）的解析式和对称中心；（2）若对∀a，b∈[0，m]，当a＜b时，都有f（b）﹣f（a）＞g（a）﹣g（b）成立，求实数m的取值范围．18．（17分）如图，已知O是△ABC的外心，，，，，．（1）判断△ABC的形状，且求n＝3时的值；（2）当n＝8时，①求的值（用含i，j，k的式子表示）；②若，求集合P中的最小元素．19．（17分）已知函数f（x）＝﹣2sin2x+2cosx+3t，其中t为常数．（1）当t＝，时，若f（x）＝0，求x的值；（2）设函数f（x）在上有两个零点m，n，①求t的取值范围；②证明：m+n＞﹣．参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在0°～360°的范围内，与﹣520°终边相同的角是（）A．310° B．200° C．140° D．20°【解答】解：与﹣520°终边相同的角可以表示为360°k﹣520°（k∈Z），由题意可知，因为k∈Z，所以k＝2，于是有360°×2﹣520°＝200°．故选：B．2．（5分）半径为2的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（）A． B． C． D．【解答】解：由弧长公式l＝α•r，得α＝＝＝．故选：B．3．（5分）函数的最小正周期是（）A．π B．2π C．1 D．2【解答】解：的最小正周期为T＝＝2．故选：D．4．（5分）已知向量和不共线，向量＝+m，＝5+3，＝﹣3+3，若A、B、D三点共线，则m＝（）A．3 B．2 C．1 D．﹣2【解答】解：∵向量和不共线，向量＝+m，＝5+3，＝﹣3+3，A、B、D三点共线，∴＝＝＝λ（），解得m＝3．故选：A．5．（5分）函数的定义域为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得2sinx﹣1≥0，即sinx，因为0≤x≤2π，所以．故选：C．6．（5分）已知平面向量＝（10sinθ，1），，若，则tanθ＝（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或3 D．或3【解答】解：平面向量＝（10sinθ，1），，，则10sinθcosθ+3＝0，即10sinθcosθ+3sin2θ+3cos2θ＝0，即10tanθ+3tan2θ+3＝0，解得tanθ＝或﹣3．故选：A．7．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影的数量为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：，即：，即外接圆的圆心O为边BC的中点，则△ABC是以BC为斜边的直角三角形，结合有：，则向量在向量方向上的投影为．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，（m≥2，m∈N+），则满足条件的实数m的最小值为（）A．506 B．507 C．508 D．509【解答】解：∵函数f（x）＝2sinx，对∀m≥2，m∈N*，都有|f（xm﹣1）﹣f（xm）|≤f（x）max﹣f（x）min≤2﹣（﹣2）＝4，∴要使实数m的值最小，应尽可能多让xi（i＝1，2，…，m）取得最值点，∵0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N*，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，在一个周期2π上|f（xm﹣1）﹣f（xm）|的最大值为4，且2024＝506×4，∴x1取一个零点，xm取最后一个零点时，m才能最小，∴x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，…，x507＝．∴m的最小值为507．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知向量，，则下列命题正确的是（）A． B．可以作为平面向量的一组基底 C． D．【解答】解：对于A，由、，可得＝（1，1）﹣（0，2）＝（1，﹣1），故A项正确；对于B，因为不共线，所以可以用表示坐标平面内的任意向量，因此可以作为平面向量的一组基底，故B项正确；对于C，由、，得＝（1，2），所以||＝＝，故C项不正确；对于D，由、，得＝1×0+1×1＝1，||＝，||＝1，所以cos＜，＞＝＝＝，故D项不正确．故选：AB．（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ω＝2 B．函数f（x）的图象关于直线对称 C．函数是偶函数 D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象【解答】解：由题意可得，A＝2，T＝4（）＝π，故ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ），选项A正确；又2×＝+2kπ，k∈Z，|φ|＜，所以φ＝，f（x）＝2sin（2x+），因为2×+＝﹣，此时函数取得最小值，即x＝﹣为函数的一条对称轴，B正确；＝2sin（2x﹣π）＝﹣2sin2x为奇函数，C错误；将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是以π为周期的函数 B．函数f（x）存在无穷多个零点 C． D．至少存在三个不同的实数a∈（﹣1，4），使得f（x+a）为偶函数【解答】解：对于A，f（x+π）＝|sin（x+π）﹣cos（x+π）|+sin[2（x+π）]＝|﹣sinx+cosx|+sin（2x+2π）＝|sinx﹣cosx|+sin2x＝f（x），可知f（x）是以π为周期的函数，故A项正确．对于B，因为f（x）的周期为π，所以研究f（x）在区间[0，π]上的正负，当x∈[0，）时，f（x）＝cosx﹣sinx+sin2x因为cosx﹣sinx＞0且sin2x≥0，所以f（x）＞0在[0，）上恒成立；当x∈[，π]时，f（x）＝sinx﹣cosx+sin2x，设t＝sinx﹣cosx，0≤t≤，则f（x）＝t+（1﹣t2）＝﹣t2+t+，当t＝1时，f（x）有最大值1，当t＝0时，f（x）＝，且t＝时，f（x）＝，可知f（x）的最小值为＞0．综上所述，f（x）在[0，π]上的取值均大于0，f（x）＝0没有实数根，结合f（x）的周期为π，可知f（x）＝0在R上没有实数根，即f（x）在R上没有零点，故B项不正确；对于C，f（+x）＝|sin（x+）﹣cos（x+）|+sin[2（x+）]＝|sinx|+cos2x，f（﹣x）＝|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|+sin[2（﹣x）]＝|sinx|+cos2x，所以f（+x）＝f（﹣x）对任意的x∈R成立，故C项正确；对于D，由C的结论可知f（x）的图象关于直线x＝对称，当a＝时，f（x+a）＝f（x+），图象关于y轴对称，此时f（x+a）为偶函数，结合f（x）的周期为π，可知a＝时，f（x+a）为偶函数，又因为f（﹣+x）＝f（﹣﹣x）＝|cosx|﹣cos2x，所以f（x）的图象关于直线x＝﹣对称，可知a＝时，f（x+a）为偶函数，综上所述，当a∈（﹣1，4）时，至少存在a＝、、三个值，使f（x+a）为偶函数，故D项正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若角α的终边与单位圆相交于点，则sinα＝．【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点，∴sinα＝．故答案为：．13．（5分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，若，，则＝3．【解答】解：根据题意，可得•＝||•||cos＝4，由，得＝﹣＝﹣，设＝λ，则＝λ（﹣）＝﹣λ，＝＝+（1﹣λ），结合，得＝，解得λ＝，所以＝+，可得＝（+）•＝•+||2＝＝3．故答案为：3．14．（5分）已知平面向量对任意实数x，y都有，成立．若，则的取值范围是．【解答】解：如图，设，，，若对任意实数x，y都有，成立，则由向量减法的几何意义可知：AB⊥MB，AC⊥MC，则B，C在以MA为直径的圆上运动，过O作OD∥AC，交MC于E，交圆于D，则在OD上的射影最长为|ED|，＝，设∠AMC＝θ，则|AC|＝2sinθ，OE|＝sinθ，DE|＝1﹣|OE|＝1﹣sinθ，∴，则当sin时，的最大值是．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量，．（1）若，求实数λ的值；（2）求向量与夹角的正弦值．【解答】解：（1）因为，，所以λ＝（3λ﹣2，4λ﹣1），＝（7，6），若，则（λ）•（）＝21λ﹣14+24λ﹣6＝0，解得λ＝；（2）设向量与夹角为α，则0≤α≤π，所以cosα＝＝＝，则sinα＝．16．（15分）已知向量，，函数．（1）求函数f（x）在区间上的最值；（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．【解答】解：（1）由，，得f（x）＝＝sin2x﹣cos2x＝2（sin2xcos﹣cos2xsin）＝2sin（2x﹣），当x∈时，2x﹣∈[，]，可得sin（2x﹣）∈[﹣1，]，所以当x＝时，f（x）有最小值﹣2，当x＝时，f（x）有最大值1，综上所述，f（x）的最大值为1，最小值为﹣2；（2）由（1）得f（x）＝2sin（2x﹣），令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ（k∈Z），解得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），所以f（x）在R上的增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z），与区间[0，π]求交集，得f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为[0，]与[，π]．17．（15分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）+1（其中|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数．（1）求函数g（x）的解析式和对称中心；（2）若对∀a，b∈[0，m]，当a＜b时，都有f（b）﹣f（a）＞g（a）﹣g（b）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）将f（x）向左平移后得，∵g（x）是偶函数，∴（k∈Z），又，∴，即，由余弦函数的性质可知，g（x）的对称中心为（，1），（k∈Z）；（2）由f（b）﹣f（a）＞g（a）﹣g（b）得f（b）+g（b）＞f（a）+g（a），即，令，则显然当x∈[0，m]时，由b＞a得h（x）是增函数，，当x∈[0，m]时，，∴，则，即．18．（17分）如图，已知O是△ABC的外心，，，，，．（1）判断△ABC的形状，且求n＝3时的值；（2）当n＝8时，①求的值（用含i，j，k的式子表示）；②若，求集合P中的最小元素．【解答】解：（1），得，，∴△ABC为等边三角形；由题意知BC的中点为D2，且，，，故＝5|AD2|＝5．（2）①∵△ABC为等边三角形，O为外接圆的圆心，所以＝，，，，，，，，，又n＝8，∴D1，E3，Fk分别为BC，CA，AB的9等分点，＝＝．同理，•＝．②令S＝9i+9j﹣ij﹣jk＝（9﹣j）i+9j﹣jk，∵3≤i，j，k≤6，∴9﹣j＞0，S可以看为自变量为i的一次函数，在i＝3时取得最小