高中数学选择性必修2课件：5 3 2 第三课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用(人教A版)

第五章

第三课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用1.能用导数解决函数的零点问题.2.体会导数在解决实际问题中的作用.3.能利用导数解决简单的实际问题.课标要求素养要求1.通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养.2.借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.函数图象的画法函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，按如下步骤画出函数f(x)的图象：(1)求出函数f(x)的________；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的______；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的______，并得出f(x)的________与______；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的__________；(5)画出f(x)的大致图象.定义域零点单调性极值正负变化趋势2.用导数解决优化问题的基本思路函数导数点睛1.思考辨析，判断正误(1)用导数研究实际问题要先求定义域.()(2)方程xex＝2有两个不相等的实数根.(

)√×C解析由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.C解析由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.C解析由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0.故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值.4.某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数关系式为y1＝17x2，生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x>0，为使利润最大，应生产该产品________千台.解析由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，当x∈(0，6)时，y′>0，当x∈(6，＋∞)时，y′<0，∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数.则当x＝6时，y有最大值.6课堂互动题型剖析2题型一利用导数研究函数的图象B当x<0时，y<0，排除A；当x<3时，y′>0，当x>3时，y′<0，∴函数在(0，＋∞)上先增后减.故选B.当x<0时，y<0，排除A；当x→＋∞时，y→0.故选B.根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.思维升华根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.思维升华【训练1】

函数f(x)＝ex2－2x2的图象大致为(

)A题型二利用导数解决函数的零点或方程的根问题f′(x)及f(x)随x的变化情况如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

极大值

所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞).(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.①当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减.又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点.②当a<1时，1－a>0，e1－a>1，综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点，当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点.与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系.(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)确定参数的取值范围.思维升华解

对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解

由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.题型三导数在生活实际问题中应用(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.所以商场每日销售该商品所获得的利润从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)

极大值42

解决利润最大问题的思路及注意点(1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数解析式，再利用导数求最大值.(2)求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.思维升华【训练3】

某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元). (1)写出y与x的函数关系式；解改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1).(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大.解y′＝5a(4－2x－12x2)，角度2用料最省、成本(费用)最低问题而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.当0≤x<5时，f′(x)<0，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值.思维升华【训练4】

已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8<v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当

v＝12千米/时时地，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？解设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，则y1＝5v2.令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，当v∈(8，16)时，y′<0，y为减函数；当v∈(16，v0]时，y′>0，y为增函数.故当v＝16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.若v0<16，则v∈(8，v0]，且y′<0，y在(8，v0]上为减函数.故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省.1.运用零点存在性定理求解零点存在或者零点个数问题的关键是寻找合适的零点区间.本题还可以采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题.2.利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题.

解题的一般方法如下： (1)设出变量找出函数关系式，确定定义域； (2)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点处函数值比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(

) A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不对B解析设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.所以当x＝4时，y最小.2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(

) A.32，16 B.30，15 C.40，20 D.36，18A3.设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为(

)C解析根据题意，f(x)为偶函数，则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B，D.又由于函数f(x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C.4.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈(0，0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(

) A.0.0162 B.0.0324 C.0.0243 D.0.0486B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486).所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去).当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0.0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.5.若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是(

) A.[－2，2] B.[0，2] C.[－2，0] D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)A解析方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题.令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′>0，解得x>1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故选A.二、填空题6.已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________.1解析f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1，3)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝5>0，所以f(x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点.7.若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是_____________.解析

令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g′(x)＝0，得x＝0或－2，∴g(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增.由f(x)＝0有一个实根，得Δ≤0(Δ是方程f′(x)＝0的根的判别式)或f(x1)·f(x2)>0(x1，x2是f(x)的极值的点).①由Δ≤0，得a＝0；②令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a(a≠0)，三、解答题9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解

设广告的高和宽分别为xcm，ycm，令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140).当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小.10.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解设长方体的宽为xm，则长为2xm，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x).令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.故在x＝1时V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值.从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m.故当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.11.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有(

) A.a＝－3，b＝2 B.a＝－3，b＝－3 C.a＝－3，b>2 D.a＝1，b＝2BCD解析

记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD.12.某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销售N(单位：吨)与零售价M(单位：元)有如下关系：N＝8300－170M－M2，则该批材料零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元.3023000解析设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N(M－20)＝－M3－150M2＋11700M－166000，则y′＝－3M2－300M＋11700，令y′＝0得M＝30或M＝－130(舍去)，当M∈(0，30)时，y′>0，当M∈(30，＋∞)时，y′<0，因此当M＝30时，y有最大值，

ymax＝23000.解

由题意，知每生产1千瓶正品盈利4000元，每生产1千瓶次品亏损2000元，(2)求该种饮品的最大日利润.则f′(x)＝3600－4x2.令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).当1≤x<30时，f′(x)>0；当30<x≤40时，f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，30)上单调递增，在(30，40]上单调递减，所以该种饮品的最大日利润为72000元.14.已知函