高中数学选择性必修2课件：5 1 1 变化率问题(人教A版)

第五章

一元函数的导数及其应用[数学文化]——了解数学文化的发展与应用(一)早期导数概念——特殊的形式大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f′(A).(二)17世纪——广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数.(三)19世纪导数——逐渐成熟的理论1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式.2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情.我们在平面解析几何中已知知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性.问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？链接：：

(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′，其中x′与v′分别表示x与v对时间t的导数.(2)由导数的几何意义，切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题课标要求素养要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.体会极限思想.根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展数学抽象与数学运算素养.新知探究下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图：某地气温日变化曲线图问题1从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？提示“气温陡增”是指温度在相同的时间内变化大，即温差大.问题2如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25℃，10时的气温是29℃，12时的气温是30℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？问题1从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？提示“气温陡增”是指温度在相同的时间内变化大，即温差大.问题2如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25℃，10时的气温是29℃，12时的气温是30℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？1.瞬时速度(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.曲线的割线和切线切线是割线的极限位置拓展深化[微判断]1.在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0＋Δt)>h(t0).()

提示也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).2.瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量.(

)

提示

瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.3.曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.()××√

[微训练]1.若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是________.2.抛物线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线的斜率是________.答案22.抛物线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线的斜率是________.答案2[微思考]1.教材中求抛物线切线的斜率的过程中Δx表示什么？它的取值范围是什么？

提示

Δx是自变量的增量，它可以是正值，也可以是负值，但不为0.2.如果某物体在某时间段内的平均速度为0，能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0?

提示不能.答案B题型二求瞬时速度【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.【迁移1】若本例中的条件不变，试求物体的初速度.解求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，即物体的初速度为1m/s.【迁移2】若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.【训练2】一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.题型三求曲线在某点处切线的斜率或方程【例3】求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.规律方法求抛物线在某点处的切线方程的步骤【训练3】求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.二、素养训练1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为(

) A.2 B.3 C.－2 D.－3答案D2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(

) A.4 B.5 C.6 D.7答案C3.抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________.答案24.求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.备用工具&资料3.抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________.答案2二、素养训练1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为(

) A.2 B.3 C.－2 D.－3答案D拓展深化[微判断]1.在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0＋Δt)>h(t0).()

提示也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).2.瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量.(

)

提示

瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.3.曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.()××√(三)19世纪导数——逐渐成熟的理论1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增