高中数学选择性必修2课件：4 3 2 第二课时 等比数列前n项和的性质及应用(人教A版)

第二课时等比数列前n项和的性质及应用课标要求素养要求1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！拓展深化[微判断]1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.()2.若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(

)3.若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(

)4.等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列.()√√√×5.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.()√[微训练]1.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是________.

解析易知Sm＝4，S2m－Sm＝8， ∴S3m－S2m＝16， ∴S3m＝12＋16＝28.

答案282.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.答案2[微思考]当等比数列{an}的公比q＝－1时，若k是偶数，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是等比数列吗？

提示不是.如数列1，－1，1，－1，…是公比为－1的等比数列，S2＝S4－S2＝S6－S4＝…＝0，不是等比数列.2题型一等比数列的连续n项之和的性质【例1】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，题型一等比数列的连续n项之和的性质【例1】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，法二∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，规律方法处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.【训练1】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(

) A.32 B.64 C.72 D.216

解析由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.

答案

B题型二等比数列的不连续n项和的性质【例2】一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.规律方法(1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇.(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想.规律方法(1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇.(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想.【训练2】一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.解法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*).由已知a1＝1，q≠1，有故公比为2，项数为8.∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.题型三等比数列前n项和的实际应用【例3】小华准备购买一部售价为5000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)解法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，故小华每期付款金额约为883.5元.法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，规律方法(1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解.【训练3】一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？即这个热气球上升的高度不可能超过125m.一、素养落地1.通过学习等比数列前n项和性质的应用，提升数学运算素养，通过利用等比数列前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养.2.应用等比数列前n项和的性质要注意使用整体的思想，即常把qn、Sn等看作一个整体.3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型.二、素养训练1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(

) A.31 B.33 C.35 D.37

解析设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.

答案

B答案B3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为(

) A.24里

B.12里 C.6里

D.3里答案C4.设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________.

解析易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，

故q3＝27，则q＝3.

答案

35.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝1，S8＝7，求S12.

解因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.

所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，

即(7－1)2＝1·(S12－7)，解得S12＝43.备用工具&资料4.设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________.

解析易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，

故q3＝27，则q＝3.

答案

33.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为(

) A.24里

B.12里 C.6里

D.3里∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.【训练1】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(

) A.32 B.64