高中数学选择性必修二课件：5 2 3 简单复合函数的导数(人教A版)

5.2.3简单复合函数的导数第五章§5.2导数的运算1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.学习目标同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.导语随堂演练课时对点练一、复合函数概念的理解二、求复合函数的导数三、复合函数的导数的应用内容索引一、复合函数概念的理解问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)lnx不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思.知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝

.注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.f(g(x))例1

(多选)下列哪些函数是复合函数A.y＝xlnx B.y＝(3x＋6)2C.y＝esinx D.y＝√√√解析A不是复合函数；BCD都是复合函数.反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数.反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数.√√√二、求复合函数的导数问题2

如何求函数y＝sin2x的导数？提示y＝2sinxcosx，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sinu，它的导数y′＝cosu，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.知识梳理复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝

，即y对x的导数等于

.注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.y′u·u′xy对u的导数与u对x的导数的乘积例2

求下列函数的导数：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.例2

求下列函数的导数：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.(2)y＝cos(x2)；解令u＝x2，则y＝cosu，所以y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).(3)y＝log2(2x＋1)；解设y＝log2u，u＝2x＋1，(4)y＝e3x＋2.解设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.跟踪训练2

求下列函数的导数：解y＝

，设y＝

，u＝1－2x，则y′x＝＝

·(－2)＝

.(2)y＝5log2(1－x)；解函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′三、复合函数的导数的应用例3

某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.将t＝18代入s′(t)，反思感悟将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.跟踪训练3

已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.2解析s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.课堂小结随堂演练12341.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1,y＝tn√√12342.函数y＝(2021－8x)3的导数y′等于A.3(2021－8x)2 B.－24xC.－24(2021－8x)2 D.24(2021－8x)2√解析y′＝3(2021－8x)2×(2021－8x)′＝3(2021－8x)2×(－8)＝－24(2021－8x)2.1234√12344.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____.2解析易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，课时对点练基础巩固12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.12345678910111213141516√12345678910111213141516√解析∵y＝xln(2x＋5)，123456789101112131415164.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负舍).123456789101112131415165.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于A.2e B.e C.6 D.2√解析∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故选C.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；123456789101112131415167.质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2

做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为______m/s.20解析∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).123456789101112131415168.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_____.2解析设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.123456789101112131415169.求下列函数的导数：(1)y＝ln(ex＋x2)；解令u＝ex＋x2，则y＝lnu.12345678910111213141516(2)y＝102x＋3；解令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln10.(3)y＝sin4x＋cos4x.∴y′＝－sin4x.12345678910111213141516解设y＝

，u＝1－x2，则y′x＝＝

·(－2x)＝

.12345678910111213141516(5)y＝sin2xcos3x；解∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.(6)y＝x3ecosx.解y′＝(x3)′ecosx＋x3(ecosx)′＝3x2ecosx＋x3ecosx·(cosx)′＝3x2ecosx－x3ecosxsinx.1234567891011121314151610.曲线y＝esinx在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为

，求直线l的方程.12345678910111213141516解∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esinx在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0(m≠1).∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.123456789101112131415综合运用16√12345678910111213141516解析依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，12345678910111213141516所以结合图象可得，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0).12345678910111213141516√√12345678910111213141516所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0).12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝2x－lnx，则f′(1)＝________.2e－1解析因为f(lnx)＝2x－lnx，令t＝lnx，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1.12345678910111213141516解∵f(x)＝eπxsinπx，∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx).12345678910111213141516解设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知

＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.备用工具&资料12345678910111213141516解∵f(x)＝eπxsinπx，∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx).123456789101112