高中数学选择性必修二课件：4 2 1 第1课时 等差数列的概念及通项公式(人教A版)

第1课时等差数列的概念及通项公式第四章4.2.1等差数列的概念1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的

问题.学习目标同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属狗的居多一些，同样是属狗的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列.导语随堂演练课时对点练一、等差数列的概念二、等差中项三、等差数列的通项公式内容索引一、等差数列的概念问题1

观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？提示对于①，我们发现1758－1682＝76,1834－1758＝76,1910－1834＝76,1986－1910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986＋76＝2062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.知识梳理一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的

都等于

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母

表示.注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.差2同一个常数公差d例1

判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9，…；②9,6,3,0，－3，…；③1,3,4,5,6，…；④7,7,7,7,7，…；例1

判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9，…；②9,6,3,0，－3，…；③1,3,4,5,6，…；④7,7,7,7,7，…；解①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是.反思感悟利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.跟踪训练1

(多选)下列数列是等差数列的是√√√解析由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.二、等差中项二、等差中项问题2由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？提示由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.知识梳理由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的

，且

.注意点：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝

；(3)a3是a1和a5的等差中项.等差中项2A＝a＋b解析由题意知a，b的等差中项为√(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.解因为－1，a，b，c,7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，又a是－1与3的等差中项，又c是3与7的等差中项，所以该数列为－1,1,3,5,7.解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.跟踪训练2

若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.三、等差数列的通项公式问题3

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).知识梳理首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝

.注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.a1＋(n－1)d例3

在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.解设等差数列的公差为d，由题意知所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.跟踪训练3

在等差数列{an}中，求解下列各题：(1)已知公差d＝－

，a7＝8，则a1＝_____.故a1＝10.10(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝_____.解析设首项为a1，公差为d，(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝_____.解析由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58.581.知识清单：(1)等差数列的有关概念.(2)等差数列的通项公式.2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法.3.常见误区：在具体应用问题中项数不清.课堂小结随堂演练12341.(多选)下列数列中，是等差数列的是A.1,4,7,10 B.lg2，lg4，lg8，lg16C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2√解析A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.√√12342.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为A.2 B.3 C.－2 D.－3√解析由等差数列的定义，得d＝－2.12343.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为A.26 B.29 C.39 D.52解析∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.√12344.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝_____.0∴a6＝a1＋5d＝0.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是A.3n－1 B.3n＋2C.3n－2 D.3n＋1√解析因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N*.12345678910111213141516解析∵b是x,2x的等差中项，√又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，123456789101112131415163.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于A.90 B.96 C.98 D.100√解析由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.12345678910111213141516√√又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，12345678910111213141516√故an＝2(n＋1)2.12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为_____.解析设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6，3123456789101112131415168.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_______________.a＝－b或a＝3b即a2－2ab－3b2＝0，∴(a－3b)(a＋b)＝0，∴a＝3b或a＝－b.123456789101112131415169.在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；解a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.解由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.1234567891011121314151610.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求数列的第10项；解设数列{an}的公差为d，a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.12345678910111213141516(2)问112是数列{an}的第几项？解an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项.12345678910111213141516(3)在80到110之间有多少项？解由80<3n－5<110，所以n的取值为29,30，…，38，共10项.123456789101112131415综合运用1611.“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析lgx，lgy，lgz成等差数列⇒2lgy＝lgx＋lgz⇒lg(x·z)＝lgy2⇒y2＝xz，但y2＝xz不能保证x，y，z均为正数，故选A.12345678910111213141516√解析设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，12345678910111213141516√解析由题意可知，a＋b＝1，12345678910111213141516n∈N*拓广探究1234567891011121314151615.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2021共2021个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有A.132项 B.133项 C.134项 D.135项√12345678910111213141516解析被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15(n－1)＝15n－7，所以该数列的项数共有135项.16.若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝

则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.(1)求证：数列{an}为准等差数列；12345678910111213141516证明因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)，

①所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，

②②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，所以数列{an}是公差为2的准等差数列.12345678910111213141516(2)求数列{an}的通项公式.12345678910111213141516解因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2