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文档简介
第五章
§5.2导数的运算5.2.2导数的四则运算法则学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点导数的运算法则已知f(x),g(x)为可导函数,且g(x)≠0.(1)[f(x)±g(x)]′=
.(2)[f(x)·g(x)]′=
,特别地,[cf(x)]′=
.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)cf′(x)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√2题型探究PARTTWO一、利用运算法则求函数的导数例1
求下列函数的导数:(2)y=3x2+xcosx;解y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=6x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx-xsinx.(4)y=lgx-ex;(4)y=lgx-ex;反思感悟利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定所需的求导法则和基本公式.(2)如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.跟踪训练1求下列函数的导数:(1)y=x2+xlnx;解y′=(x2+xlnx)′=(x2)′+(xlnx)′=2x+(x)′lnx+x(lnx)′=2x+lnx+1.(4)y=(2x2-1)(3x+1).解方法一y′=[(2x2-1)(3x+1)]′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′=4x(3x+1)+(2x2-1)×3=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.方法二∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.(4)y=(2x2-1)(3x+1).解方法一y′=[(2x2-1)(3x+1)]′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′=4x(3x+1)+(2x2-1)×3=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.方法二∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.二、利用运算法则求曲线的切线√(2)已知曲线f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0.①求a,b的值;解f(x)=x3+ax+b的导数f′(x)=3x2+a,由题意可得f′(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6,解得a=1,b=-16.设切点的坐标为(x0,y0),由f(x)=x3+x-16,可得y0=1+1-16=-14或y0=-1-1-16=-18,则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.反思感悟(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.(3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.跟踪训练2
(1)曲线y=x3-4x2+4在点(1,1)处的切线方程为A.y=-x+2 B.y=5x-4C.y=-5x+6 D.y=x-1√解析由y=x3-4x2+4,得y′=3x2-8x,y′|x=1=3-8=-5,所以曲线y=x3-4x2+4在点(1,1)处的切线方程为y-1=-5(x-1),即y=-5x+6.(2)已知函数f(x)=
曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0,则a,b的值分别为____.1,1例3
(1)曲线y=xlnx上的点到直线x-y-2=0的最短距离是三、与切线有关的综合问题√解析设曲线y=xlnx在点(x0,y0)处的切线与直线x-y-2=0平行.∵y′=lnx+1,∴
=lnx0+1=1,解得x0=1,∴y0=0,即切点坐标为(1,0).(2)设曲线y=a(x-1)ex在点(1,0)处的切线与直线
x+2y+1=0垂直,则实数a=___.解析令y=f(x),则曲线y=a(x-1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为f′(1),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f′(1)=2.因为f(x)=a(x-1)ex,所以f′(x)=aex
+a(x-1)ex=axex,反思感悟本题正确的求出函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.∴切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.令x=0得y=-2;令y=0得x=1.3随堂演练PARTTHREE1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是解析∵f′(x)=3ax2+6x,∴f′(-1)=3a-6=4,√123452.设函数y=-2exsinx,则y′等于A.-2excosx B.-2exsinxC.2exsinx D.-2ex(sinx+cosx)12345√解析y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).A.-1 B.0 C.1 D.212345√所以f′(x)=f′(-1)x-2.所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,所以f′(-1)=-1.123451所以f′(1)=1.1123451.知识清单:(1)导数的运算法则.(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:对于函数求导,一般要遵循先化简、再求导的基本原则.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)下列运算中正确的是基础巩固√12345678910111213141516√解析A项中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′,故正确;B项中,(sinx-2x2)′=(sinx)′-2(x2)′,故错误;12345678910111213141516D项中,(cosx·sinx)′=(cosx)′sinx+cosx(sinx)′,故正确.2.函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为√12345678910111213141516解析对函数求导得f′(x)=ex(cosx-sinx),∴f′(0)=1,解析∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1(x>0),由f′(x0)=2,得lnx0+1=2,即lnx0=1,解得x0=e.3.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于12345678910111213141516√4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于A.-1 B.-2 C.2 D.012345678910111213141516√解析∵f′(x)=4ax3+2bx,f′(x)为奇函数,∴f′(-1)=-f′(1)=-2.5.(多选)当函数y=
(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0可以是A.a B.0 C.-a D.a2√12345678910111213141516√12345678910111213141516012345678910111213141516所以f
′(1)=0.由f′(x0)+f(x0)=0,得8.已知函数f(x)=ex·sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是_______.12345678910111213141516y=x解析∵f(x)=ex·sinx,f′(x)=ex(sinx+cosx),f′(0)=1,f(0)=0,∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即y=x.9.若曲线y=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f′(x)=2x-8.(1)求a,b的值;解因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),所以f′(x)=2ax+b,又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.12345678910111213141516(2)设函数g(x)=exsinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.解由(1)可知g(x)=exsinx+x2-8x+3,所以g′(x)=exsinx+excosx+2x-8,所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7,又g(0)=3,所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.A.1 B.-1 C.7 D.-7综合运用√12345678910111213141516解析因为f(x)=(x+a)·lnx,x>0,又因为f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,12.已知曲线f(x)=(x+a)·lnx在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则a等于√12345678910111213141516解析∵f′(x)=f′(-1)·x-2,∴f′(-1)=-f′(-1)-2,解得f′(-1)=-1.1234567891011121314151614.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为___________.x-y-1=0解析∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,∴设切点坐标为(x0,y0).又∵f′(x)=1+lnx(x>0),12345678910111213141516∴切点坐标为(1,0),∴f′(1)=1+ln1=1.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.15.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)=____.拓广探究1234567891011121314151621212345678910111213141516解析因为f′(x)=(x)′·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′·x=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)+[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′·x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列,所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以f′(0)=84=212.16.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在
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