高中数学选择性必修二课件：5 2 2 导数的四则运算法则(人教A版)

第五章

§5.2导数的运算5.2.2导数的四则运算法则学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则

求函数的导数.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点导数的运算法则已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.(1)[f(x)±g(x)]′＝

.(2)[f(x)·g(x)]′＝

，特别地，[cf(x)]′＝

.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√2题型探究PARTTWO一、利用运算法则求函数的导数例1

求下列函数的导数：(2)y＝3x2＋xcosx；解y′＝(3x2＋xcosx)′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋x′cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(4)y＝lgx－ex；(4)y＝lgx－ex；反思感悟利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x2＋xlnx；解y′＝(x2＋xlnx)′＝(x2)′＋(xlnx)′＝2x＋(x)′lnx＋x(lnx)′＝2x＋lnx＋1.(4)y＝(2x2－1)(3x＋1).解方法一y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.(4)y＝(2x2－1)(3x＋1).解方法一y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.二、利用运算法则求曲线的切线√(2)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.①求a，b的值；解f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.设切点的坐标为(x0，y0)，由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14.反思感悟(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.跟踪训练2

(1)曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为A.y＝－x＋2 B.y＝5x－4C.y＝－5x＋6 D.y＝x－1√解析由y＝x3－4x2＋4，得y′＝3x2－8x，y′|x＝1＝3－8＝－5，所以曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6.(2)已知函数f(x)＝

曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为____.1,1例3

(1)曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是三、与切线有关的综合问题√解析设曲线y＝xlnx在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行.∵y′＝lnx＋1，∴

＝lnx0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为(1,0).(2)设曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线与直线

x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝___.解析令y＝f(x)，则曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为f′(1)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(1)＝2.因为f(x)＝a(x－1)ex，所以f′(x)＝aex

＋a(x－1)ex＝axex，反思感悟本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.3随堂演练PARTTHREE1.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，√123452.设函数y＝－2exsinx，则y′等于A.－2excosx B.－2exsinxC.2exsinx D.－2ex(sinx＋cosx)12345√解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx).A.－1 B.0 C.1 D.212345√所以f′(x)＝f′(－1)x－2.所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，所以f′(－1)＝－1.123451所以f′(1)＝1.1123451.知识清单：(1)导数的运算法则.(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)下列运算中正确的是基础巩固√12345678910111213141516√解析A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，故错误；12345678910111213141516D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，故正确.2.函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为√12345678910111213141516解析对函数求导得f′(x)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝1，解析∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，即lnx0＝1，解得x0＝e.3.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于12345678910111213141516√4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于A.－1 B.－2 C.2 D.012345678910111213141516√解析∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.5.(多选)当函数y＝

(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是A.a B.0 C.－a D.a2√12345678910111213141516√12345678910111213141516012345678910111213141516所以f

′(1)＝0.由f′(x0)＋f(x0)＝0，得8.已知函数f(x)＝ex·sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是_______.12345678910111213141516y＝x解析∵f(x)＝ex·sinx，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.9.若曲线y＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围.123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；解因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.12345678910111213141516(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.解由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.A.1 B.－1 C.7 D.－7综合运用√12345678910111213141516解析因为f(x)＝(x＋a)·lnx，x>0，又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，12.已知曲线f(x)＝(x＋a)·lnx在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于√12345678910111213141516解析∵f′(x)＝f′(－1)·x－2，∴f′(－1)＝－f′(－1)－2，解得f′(－1)＝－1.1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为___________.x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点坐标为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋lnx(x>0)，12345678910111213141516∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.15.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝____.拓广探究1234567891011121314151621212345678910111213141516解析因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.16.偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在