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文档简介
PAGE|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页小升初奥数—排列组合问题排列组合的应用小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人.小新、阿呆不在同一排。(1)(种)。(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.(种).(3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置.2×=1440(种).(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.(种).(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,(种).(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.(种).(7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3××2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列。某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非数码组成,且四个数码之和是,那么确保打开保险柜至少要试几次?四个非数码之和等于9的组合有1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3;2,2,2,3六种。第一种中,可以组成多少个密码呢?只要考虑的位置就可以了,可以任意选择个位置中的一个,其余位置放,共有种选择;第二种中,先考虑放,有种选择,再考虑的位置,可以有种选择,剩下的位置放,共有(种)选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有种选择.最后一种,与第一种的情形相似,的位置有种选择,其余位置放,共有种选择.综上所述,由加法原理,一共可以组成(个)不同的四位数,即确保能打开保险柜至少要试次.一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30,那么从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?设A:BC是满足题意的时刻,有A为8,B、D应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选择两个不同的数字,所以有种选法,而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字,所以有种选法,所以共有×=1260种选法。从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。名男生,名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法:⑴甲不在中间也不在两端;⑵甲、乙两人必须排在两端;⑶男、女生分别排在一起;⑷男女相间.⑴先排甲,个位置除了中间和两端之外的个位置都可以,有种选择,剩下的个人随意排,也就是个元素全排列的问题,有(种)选择.由乘法原理,共有(种)排法.⑵甲、乙先排,有(种)排法;剩下的个人随意排,有(种)排法.由乘法原理,共有(种)排法.⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列,有(种)不同排列方法,再分别对男生、女生内部进行排列,分别是个元素与个元素的全排列问题,分别有(种)和(种)排法.由乘法原理,共有(种)排法.⑷先排名男生,有(种)排法,再把名女生排到个空档中,有(种)排法.由乘法原理,一共有(种)排法。一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目.求:⑴当个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序?⑵当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序?⑴先将个舞蹈节目看成个节目,与个演唱节目一起排,则是个元素全排列的问题,有
(种)方法.第二步再排个舞蹈节目,也就是个舞蹈节
目全排列的问题,有(种)方法.根据乘法原理,一共有(种)方法.⑵首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),是个元素全排列的问题,一共有(种)方法.×□×□×□×□×□×□×第二步,再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”的位置),这相当于从个“×”中选个来排,一共有(种)方法.根据乘法原理,一共有(种)方法。⑴从1,2,…,8中任取3个数组成无重复数字的三位数,共有多少个?(只要求列式)⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员,宣传委员,共有多少种不同的选法?⑶3位同学坐8个座位,每个座位坐1人,共有几种坐法?⑷8个人坐3个座位,每个座位坐1人,共有多少种坐法?⑸一火车站有8股车道,停放3列火车,有多少种不同的停放方法?⑹8种不同的菜籽,任选3种种在不同土质的三块土地上,有多少种不同的种法?⑴按顺序,有百位、十位、个位三个位置,8个数字(8个元素)取出3个往上排,有种.⑵3种职务3个位置,从8位候选人(8个元素)任取3位往上排,有种.⑶3位同学看成是三个位置,任取8个座位号(8个元素)中的3个往上排(座号找人),每确定一种号码即对应一种坐法,有种.⑷3个坐位排号1,2,3三个位置,从8人中任取3个往上排(人找座位),有种.⑸3列火车编为1,2,3号,从8股车道中任取3股往上排,共有种.⑹土地编1,2,3号,从8种菜籽中任选3种往上排,有种。某校举行男生乒乓球比赛,比赛分成3个阶段进行,第一阶段:将参加比赛的48名选手分成8个小组,每组6人,分别进行单循环赛;第二阶段:将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组,每组人,分别进行单循环赛;第三阶段:由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛,确定至名的名次.问:整个赛程一共需要进行多少场比赛?第一阶段中,每个小组内部的个人每人要赛一场,组内赛场,共个小组,有场;第二阶段中,每个小组内部人中每人赛一场,组内赛场,共个小显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类L(1)最大的三角形1个(即△ABC),(2)第二大的三角形有3个(3)第三大的三角形有6个(4)第四大的三角形有10个(5)第五大的三角形有15个(6)最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59(个)图中共有三角形2×59=118(个)。一个圆上有12个点A1,A2,A3,…,A11,A12.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?我们采用递推的方法.I如果圆上只有3个点,那么只有一种连法.Ⅱ如果圆上有6个点,除A1点所在三角形的三顶点外,剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这时有可能的连法。Ⅲ如果圆上有9个点,考虑A1所在的三角形.此时,其余的6个点可能分布在:①A1所在三角形的一个边所对的弧上;②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形①,则由Ⅱ,这六个点有三种连法;如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.共有12种连法.Ⅳ最后考虑圆周上有12个点.同样考虑A1所在三角形,剩下9个点的分布有三种可能:①9个点都在同一段弧上:②有6个点是在一段弧上,另三点在另一段弧上;③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上.得到表3.共有12×3+3×6+1=55种.所以当圆周上有12个点时,满足题意的连法有55种。课后练习:如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米利用长方形的计数公式:横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个,所以有(4+3+2+1)×(4+3+2+1)=100,这些长方形的面积和为:(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)=124×86=10664。有10粒糖,每天至少吃一粒,吃完为止,共有多少种不同的吃法?初看本题似乎觉得很好入手,比如可以按天数进行分类枚举:1天吃完的有1种方法,这天吃10块;2天吃完的有9种方法,10=1+9=2+8=……=9+1;当枚举到3天吃完的时,情况就有点错综复杂了,叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考.不妨从具体的例子入手来分析,比如这10块糖分4天吃完:第1天吃2块;第2天吃3块;第3天吃1块;第4天吃4块.我们可以将10个“○”代表10粒糖,把10个“○”排成一排,“○”之间共有9个空位,若相邻两块糖是分在两天吃的,就在其间画一条竖线(如下图).○○|○○○|○|○○○○比如上图就表示“第1天吃2块;第2天吃3块;第3天吃1块;第4天吃4块.”这样一来,每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|’的方法”,要求有多少个不同的吃法,就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数。由于每个空位都有画‘|’与“不画‘|’两种可能:每个空位都有画每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能根据乘法原理,在这9个空位中画若干个“|”的方法数有:,这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法。用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成,那么一共要用多少根火柴?把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数:最上一层只用了3根火柴;从上向下数第二层用了3×2=6根;从上向下数第二层用了3×3=9根;……从上向下数第二层用了3×20=60根;所以总共要用火柴3×(1+2+3+……+20)=630。练习4.如图所示,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍?横放需1996×4根,竖放需1997×3根共需1996×4+1997×3=13975根。练习5.编号为1、2、3、4的四把椅子,摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐,规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上,一共有多少种坐法?(长沙市奥林匹克代表队集训试题)解析:如右图,四把椅子排成一个圆圈。当甲坐在①号位时,乙只能坐在②或④号位上,则共有4种排法;同理,当甲分别坐在②、③、④号位上时,各有4种排法。所以,一共有16种排列法。练习6.从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈中,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数,那么最多能找出_____
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