2025九年级上册数数学(RJ)2025九年级上册数数学(RJ)22.3 第2课时 商品利润最大问题含答案

2025九年级上册数数学(RJ)2025九年级上册数数学(RJ)22.3第2课时商品利润最大问题第2课时商品利润最大问题知识点1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。2、抛物线的顶点是它的最高（低）点，当x=时，二次函数有最大（小）值y=。一、选择题1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A、B、C、D、2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品的售价为x元，则可卖处(350-10x)件商品。商品所获得的利润y元与售价x的函数关系为（）A、B、C、D、3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（）A、130元B、120元C、110元D、100元4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数（t单位s，h单位m）可用来描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（）A、0.71sB、0.70sC、0.63sD、0.36s5、如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数图像大致为（）AB第5题CD6、已知二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、47、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）ABC第7题D8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A、x=10,y=14B、x=14,y=10C、x=12,y=15D、x=15,y=12第6题第8题二、填空题1、已知卖出盒饭的盒数x（盒）与所获利润y（元）满足关系式：，则卖出盒饭数量为盒时，获得最大利润为元。2、人民币存款一年期的年利率为x，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期存款储蓄转存。如果存款额是a元，那么两年后的本息和y元的表达式为(不考虑利息税)。11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式。3、已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当时，x的值=.

4、如图，抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为14、如图，点P在抛物线y=x2-4x+3上运动，若以P为圆心，为半径的⊙P与x轴相切，则点P的坐标为。5、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．三、解答题1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为y（元）。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。问（1）该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间的函数关系式；（2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。4、（黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）5、（长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：。（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。（选作）

参考答案选择题1、D2、B3、B4、D5、D6、B7、B8、D二.填空题1、6002400002、3、4、5、0.166、（-2,1）7、3三．解答题1、解：设每天的房价为60+5x元，

则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．

∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．

∴y=（30-x）•5•（8+x）

=5（240+22x-x2）

=-5（x-11）2+1805．

因此，当x=11时，y取得最大值1805元，

即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。2、解：（1）y=（x-20）w

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x-1600，

∴y与x的函数关系式为：

y=-2x2+120x-1600；（3分）

（2）y=-2x2+120x-1600

=-2（x-30）2+200，

∴当x=30时，y有最大值200，

∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（6分）

（3）当y=150时，可得方程：

-2（x-30）2+200=150，

解这个方程，得

x1=25，x2=35，（8分）

根据题意，x2=35不合题意，应舍去，

∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．3、解：（1）把点（3，9），（4，16）代入函数关系式：

解得：∴y=-x2+14x-24

（2）当时，∴7月份获得最大利润，最大利润是25万元．

（3）当y=0时，有方程：

x2-14x+24=0

解得：x1=2，x2=12．

所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数，

因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份．4、解：（1）设件数为x，依题意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；

（2）当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，

当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x2+700x

当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x∴y=600x(0≤x≤10，且x为整数)−10x2+700x(10＜x≤50，且x为整数)200x(x＞50，且x为整数)（3）由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=35时，利润y有最大值，

此时，销售单价为3000-10（x-10）=2750元，

答：公司应将最低销售单价调整为2750元．5、解：（1）∵25＜28＜30，

y＝40−x(25≤x≤30)25−0.5x(30＜x≤35)∴把x=28代入y=40-x得，

∴y=12（万件），

答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；

（2）①当

25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，

故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；

②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100==故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；

对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；

答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；

（3）①当

25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5，

-x2+61x-862.5≥67.5，

化简得：x2-61x+930≤0

解得：30≤x≤31，

当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30；

②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-化简得：x2-71x+1230≤0

解得：30≤x≤41，

当两年的总盈利不低于67.5万元时，30≤x≤35，

答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．第3课时拱桥问题和运动中的抛物线知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。一、选择1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=-2x2B．y=2x2C、D、第1题第2题第3题第4题2、有长24m的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm，面积是sm2，则s与x的关系式是（）A、B、C、D、3、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A、B、C、D、4、在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）A、y=（60+2x）（40+2x）B、y=（60+x）（40+x）C、y=（60+2x）（40+x）D、y=（60+x）（40+2x）5、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A、B、C、D、6、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（）A、y=36（1-x）B、y=36（1+x）C、D、7、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A、B、C、D、第5题第7题第8题8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A、4米B、3米C、2米D、1米二、填空题1、一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数解析式是2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为第10题第13题第14题第15题3、二次函数中，，且x=0时y=4,则y的最（大或小）值=4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是5、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8,9），则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出约米。6、如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是米。7、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外。8、某文具店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售（6-x）个，则当x=时，一天出售这种文具盒的总利润y最大。9、某一型号的飞机着陆后滑行的距离y（米）与滑行时间x（秒）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行米才能停下来。10、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC,BC为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是。第18题三、解答题1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x的变化而变化。（1）请直写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O为原点米，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系。（1）直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使C,D点在抛物线上，A,B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？