数学思想在教学中的运用

数学思想是基于数学知识的深度认知，是对数学知识的高度概括。教师注重数学思想在教学中的融入，有助于学生理解数学知识的本质，掌握数学知识的精髓，促进学生对数学知识的灵活运用。本文以“等差数列”一课的教学为例，展示数形结合思想、归纳推理思想、分类讨论思想、函数思想等数学思想的具体运用过程，以供参考。一、等差数列的概念及通项公式推导（一）等差数列的概念等差数列概念的认识与理解是本节课授课的重点，关系着后续教学活动的推进。教师可以从生活实际出发创设不同的情境，一来帮助学生认识等差数列与人们生产生活的密切关系，二来营造一种亲切的授课氛围，促进学生自动自发地进行学习。尤其创设图形情境，指引学生挖掘图形中隐含的数量关系，给学生带来直观认识，使其理解等差数列各项间的数量关系，渗透数形结合与归纳推理思想。情境一：展示成年女鞋的各种尺码（单位：cm）数据。25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21情境二：某小区2013—2017年的绿化覆盖率情况（见表1）。表1情境三：某装饰图案按照如图1所示的规律排列，各图中白色正六边形的个数分别为6，10，14，….图1课堂上，教师抛出问题：观察三个情境中涉及的数据从第二项开始，其与前一项有什么关系，三组数据有哪些共同点？以此引入等差数列的概念。学生经过观察、思考发现：三组数据从第二项开始，每一项与其前面项之差均是定值。满足这一特征的数列为等差数列，其中的公差常用d表示。如此创设不同情境，由学生自主分析、探寻数列特征，得出等差数列的概念，增添课堂乐趣，加深学生印象的同时，使学生更好地体会到数形结合思想、归纳推理思想在数学学习中的作用。（二）等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式是本节课教学的重点。在进行该部分教学中，教师可以通过归纳推理思想指引学生自主完成等差数列通项公式的推导，理解等差数列通项公式中各字母代表的含义以及推导过程，避免死记硬背，促进活学活用。课堂上，教师可以要求学生运用a1，a2，a3，…，an-1，an表示具有n项的等差数列，通过归纳推理探寻项数与具体项之间的关系（也即是等差数列的通项公式）。具体推导过程如下：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d（n≥2）将上述各式左右两边分别相加得到：a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d这里需要注意，推导过程是在n≥2的条件下进行的，需要检验n=1时是否成立。显然当n=1时，a1=a1，即得到n∈N*等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d。分析等差数列通项公式，可以看出其描述的是项数、公差和首项之间的关系，只要给出数列的首项和公差，就能得到数列中的每一项。教学中，教师通过指引学生进行等差数列通项公式的推导，使学生明晰等差数列通项公式的由来，通过累加的方法推理出等差数列的通项公式，有效地锻炼了学生的归纳推理能力。二、等差数列与一次函数从函数视角来看，数列是特殊的函数。那么等差数列是怎样的一个函数呢？为了探寻等差数列与函数的关系，教师可以引导学生从函数视角对等差数列的通项公式加以审视与探寻，借助函数思想加深学生对等差数列通项公式的认识。教师在课堂上展示两个等差数列的通项公式：①an=3n-2；②an=-2n+9，要求学生联系所学的一次函数知识，画出其图象。学生分析可知：①对应的一次函数为：y=3x-2，②对应的一次函数为y=-2x+9，只不过n表示顺序取值为正整数，而x的取值为R。①②对应的图象如图2所示：①

②图2对于等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d可以写成an=dn+（a1-d），将n看成x，an看成y，对照一次函数性质可以得出：公差d的符号决定等差数列的增减，a1和d的大小关系决定了对应函数图象和y轴的交点是在x轴上方还是下方。其中在讨论等差数列通项公式性质时，需要对d进行分类讨论，具体如表2所示。表2教师在教学中要求学生联系所学，从函数视角分析等差数列的通项公式，使其认识到等差数列是特殊的一次函数，只不过对应一次函数n的取值为正整数。如此教学，能帮助学生建立新旧知识的联系，使其对等差数列的认识提升到函数的高度，为以后解决等差数列问题提供思考的方向。三、等差数列的前n项和及其与二次函数的关系（一）等差数列的前n项和在实际生产生活中，人们往往需要计算等差数列前n项和是多少。教师在教学中可以提出“等差数列的前n项和是否有固定的计算方式”这一问题，指引学生先通过数形结合建立对等差数列前n项和的初步印象，而后借助归纳推理进行探究，使其感受到数学思想在学习中的妙用。1.数形结合思想人们接触事物往往先进行感性认识。在等差数列的前n项和教学中，教师引导学生从数形结合角度进行判断，更容易激发学生的学习兴趣。以等差数列1，2，3，4，…，n为例，要求该数列的前n项和，可以向学生展示图3，给予学生思路上的引导。图3学生可以将等差数列的每一项看作圆柱体的个数，共有n层圆柱体按照图中方式堆放在一起。想求Sn=a1+a2+…+an的值，学生可以将图形倒置后和原图形放在一起，就可以直观地看到每一层圆柱体的数量相等，共有n层，由此猜想等差数列的前n项和为Sn=。教师运用数形结合思想给学生带来对等差数列前n项和的初步、直观认识，调动了学生的学习积极性，增强了学生的学习自信。2.归纳推理思想为更好地证明上述猜想，教学中可以引导学生通过归纳推理，推导出等差数列的前n项和公式。推理过程如下：Sn=a1+a2+…+an-1+an①，Sn=an+an-1+…+a2+a1②①+②得到：2Sn=，于是问题就落脚在了如何证明a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…上。分开来看，由等差数列通项公式可得：a2+an-1=（a1+d）+（an-d）=a1+an；a3+an-2=（a1+2d）+（an-2d）=a1+an；a4+an-3=（a1+3d）+（an-3d）=a1+an；...由此得到：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）=n（a1+an）则Sn=，其中将an=a1+（n-1）d代入可得到另一种形式为：Sn=na1+d。如此通过归纳推理，推导出了等差数列前n项和的计算公式。教学中，学生参与整个推导过程，从结合图形的感性认识到归纳推理的理性认识，这符合学生的认知规律，能够加深学生对等差数列前n项和的认识与理解。（二）等差数列前n项和与二次函数的关系在学习过程中，学生时常会遇到求等差数列前几项和的最大值和最小值问题。部分学生因未能很好地建立等差数列前n项和与函数之间的关系，而容易出错。为帮助学生更好地破解相关问题，教师在教学中引导学生运用函数思想探索等差数列前n项和与二次函数的关系。教学中，要求学生将n看作自变量，对Sn=na1+d进行整理，化成二次函数形式，得到Sn=na1+d=n2+（a1-）n。其中当d＜0时，对应的二次函数图象开口向下，对称轴为直线n′=-+。在讨论其在何处取得最大值时，需要结合对称轴的具体位置加以分析。当d＞0时，对应的二次函数图象开口向上，Sn存在最小值，对称轴为直线n′=-+。当d=0，等差数列为常数列，则Sn=na1。为了使学生对上述内容有更清晰的认识，并能灵活运用，教师应在课堂上做好相关例题的剖析。例.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4=1，S5=10，求Sn取得最大值时对应的n值。该题是课本上的一道练习题，学生运用函数思想能够很快得出结果。课堂上，教师可以让学生思考“看到求Sn的最大值能够想到哪些知识”。事实上，n的取值是正整数，意味着Sn表达式对应的二次函数图象是开口向下的，即d＜0。由a4=1，S5=10容易求得a1=4，d=-1，则-+=4，表示Sn取得最大值时对应的n值是4或5。再如以下习题：例.等差数列{an}中，a1=20，公差d=-，令bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Sn。该题与上一道习题的不同之处是，数列{an}中存在为负数的项，要求Sn，需要先确定该数列在第几项出现负数。由等差数列的通项公式可得an=a1+（n-1）d=20+（n-1）×（-）=-n+，令an＞0，容易解得n＜9，数列的第8项为正数，第9项为0，第10项为负数。学生根据n的不同进行分类讨论，即，当n≤9时，Sn=n2+（a1-）n=-n2+n；当n＞9时，Sn=S9-（a10+a11+…+an）=90-=n2-n+180。教师通过该习题的讲解使学生认识到，运用等差数列前n项和公式进行解