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文档简介
数学源于生活,又服务于生活。学习数学,学生可以更好地了解并解决生活中的问题。本文从实际生活中的情境入手,引导学生理解平均变化率的概念。近日,在一次市级教研活动中,笔者有幸执教选择性必修第一册第5章起始课“平均变化率”一课,学生参与度高,教学效果良好,得到了听课教师的一致好评。这是“导数及其应用”的起始课,对导数概念的形成起着奠基的作用。下面是课堂教学实录,不当之处,敬请指正。一、课堂实录(一)生活情境引入[情境1]师:同学们,这是某市某种病病例从某月1日到20日的数据图,为了便于研究,我们用平滑的曲线连接得到图1,请问你能发现什么?生:图象有最大值。生:图象有上升有下降。师:你说得很好,请你具体说说哪里上升,哪里下降。生:AB、BC上升,CD、DE下降。师:那么刚刚说的信息,我们数学上学过吗?对应数学课本上的什么知识点?生:最值、单调性。(教师边听边记录在黑板上)师:大家还能发现什么?生:AB段上升,BC段也是上升,但是变化的快慢不同。师:很好,大家观察到变化快慢不同,那么,上升的快慢,反映在图象上还可以用什么语言描述?生:平缓、陡峭。师:这位同学说得非常好。同学们想一想,我们研究过变化的快慢问题吗?学生纷纷摇头。师:今天我们就来研究这个问题。大家想想看,视觉上的平缓、陡峭在数学上用什么刻画呢?生:我想用斜率,可是斜率是刻画直线的,而这里是曲线。师:其他同学的想法呢?生:是的,我们能否用斜率表示呢?师:请一位同学把对应的数学式子说一下,并说说你的理解。生:KAB=,KBC=,比较明显地看出错误,对应图象AB段变化慢,BC段变化快。师:你能用同样的方法理解其他部分的变化情况吗?生:KCD<0,说明对应CD段是下降的。师:特别棒,给你点赞!BC段更加陡峭,斜率比AB段要大。也就是说我们斜率的正负刻画了上升或下降,用数值绝对值的大小刻画了变化的快慢,即图象的陡峭程度。评析:教师从生活中的例子入手,让学生自主观察,并记录观察到的信息。学生先观察到学习过的最值和单调性等问题,再发现图象变化快慢不同,而变化快慢学生并没有学过,教师借此激发学生的求知欲,自然地引导学生思考如何刻画快慢。[情境2]现有某市3月和4月某几天最高气温记载(见表1)。师:观察表1和图2(以3月18日作为第一天),你们有什么发现?生:气温是上升的,而且从3月18日到4月18日上升15.1℃,从4月18日到4月20日上升14.9℃。生:4月18日到4月20日气温上升快。师:哦,你是怎样发现的?生:虽然两段上气温差值差不多,但是时间相差得多,第一段时间更长,斜率更大,也就是比值更大。师:很好,气温随时间变化而变化,我们把气温差值记做Δy,时间差值记做Δx,你能具体说说吗?生8:AB段:=≈0.5,AB段==7.4,后一个的比值更大,说明气温变化更快。师:是的,后一个变化太快,人们在4月20日感叹:“天气热的太快了!”评析:增加情境2,进一步让学生直观体会气温变化的快慢,引导学生尝试用代数刻画变化的快慢,从生活情境过渡到数学情境。(二)概念自然生成师:为了更直观地观察变化情况,我们可以画什么图来表示?生:函数图象。师:请大家观察气温随时间变化图,刚才表中发现的气温变化快的,在图中对应的是?生:BC段更加陡峭。师:气温一直上升的,BC段比AB段变化快,气温“陡升”。这个比值能反映图象上每一处的变化情况吗?生:不能,因为我们用的数据是一段曲线的端点值。师:可以看做函数在一个区间上的比值,不能反映每一处的变化情况,那么可以是?生:平均变化情况。师:那你能给刻画变化快慢的比值起个名字吗?生:平均变化率。学生口述,教师板书平均变化率的定义。师:很好,我们既从图中观察了曲线的变化平缓与陡峭,又通过平均变化率这个比值具体地量化了变化情况,这在数学上是什么思想?生:数形结合。师:很棒!我们用曲线的端点值精准刻画了曲线在一个区间上的平均变化情况,是把曲线的一段近似看成了线段来研究,这是数学上重要的数学思想——“以直代曲”。师:请大家思考平均变化率的几何意义?生:直线的斜率。师:很好!平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))所在直线的斜率。(边说边板书)师:同学们可以举出反映平均变化率的例子吗?生:成绩、身高的变化等。生:一周内小草的生长高度和一周内大树的生长高度,它们的平均变化率不同。师:是啊,同样的时间小草的生长高度更大,也就是说平均变化率更?生:更大。师:这真是一个很好的例子,小草的生命力多么顽强!评析:学生在教师的引导下,从一开始尝试使用斜率刻画曲线变化的快慢,逐渐发现斜率这个比值很有代表性,正负可以表示变化的方向,数值的绝对值大小表示变化的快慢,通过情境2进一步确定使用斜率是完全可以的。教师通过启发性的语言,从特殊到一般,从具体到抽象,在直线的斜率等旧知识的联系下,引导学生自然生成“平均变化率”的概念。平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。(三)例题巩固概念例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图3所示,试计算该婴儿从出生到第3个月、6个月到12个月体重的平均变化率(见图3)。例2.已知函数f(x)=3x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1]、[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。评析:通过让学生板演例1,规范平均变化率解题过程,理解平均变化率的实际意义是刻画函数平均变化快慢的模型;通过例2,让学生发现平均变化率可正、可负、可0,几何意义就是斜率。(四)活动探究升华已知函数f(x)=x2,分别计算在下列区间上的平均变化率:(1)[1,3](2)[1,2](3)[1,1.1](4)[1,1.001]师:我们把曲线上两点连线的斜率,也称为曲线的割线的斜率,大家以小组为单位,计算以上区间上的平均变化率,并对计算结果进行讨论。(其间教师多走动,多观察)生:我发现平均变化率越来越小。生:我发现平均变化率越来越接近2。生:我画了一下函数f(x)=x2的图象,发现割线的位置趋向于一个确定的位置。师:特别棒,你是怎样想到画图的?生:我们刚才学习平均变化率时就运用了数形结合的思想。这个题的计算结果趋向2,2应该是函数f(x)=x2在x=1处的切线斜率。生:我觉得区间需要双向研究,我又计算了区间[0.9,1],[0.99,1],[0.999,1]上的平均变化率,也发现从小于2的方向趋向2,2就是切线斜率。该生发言完毕,全场报以热烈的掌声,教师使用几何画板演示。评析:该探究环节也是本节课的一个亮点。由于笔者执教班级的数学基础较好,学生对数学学习有热情、感兴趣,因此,在本节课中,教学任务一是理解平均变化率的意义,二是通过该探究为下节课做铺垫。本环节给学生充分思考(该环节大约用了15分钟时间),意在通过探究,初步体会区间缩小时割线斜率会无限趋向一个常数,为下节课学习导数的概念奠定基础。二、课堂总评“平均变化率”是导数及其应用的第一节课,对平均变化率的理解是重点,“平均变化率”概念的生成是难点。在生成概念的过程中,学生不可能准确地说出定义来,本课从生活实例,让学生通过图形感受变化,再进一步感受变化的快慢。旧的知识不能刻画变化快慢问题,学生自然会想到需要学习新的数学模型,这体现了数形
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