数学-湖南省长沙市平高教育集团六校2023-2024学年高二下学期期末联考试题和答案

平高教育集团湖南六校2024年度春季学期期末质量监测*祝考试顺利*A.-2B.-3C.3D.3.“a=”是“直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay+1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.-B.C.-2D.2226.已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为()2163219A.B.C.D.7.第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有()A.60种B.74种C.88种D.120种 8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为35，则该正四棱台内半径最大的球的表面64π64πA.12πB.27πC.D.9.对于随机变量X，下列说法正确的有()A.若E(X)=1，则E(2X-1)=1B.若D(X)=1，则D(2X-1)=4C.若X:N(2,4)，则E(X)=4D.若X~B(10,0.5)，则E(X)=5A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)的最小值为-D.在上单调递增下列说法正确的是()B.设f，n∈N*，则f的最小值为12.5C.若tan-bn+2>0对任意的n∈N*恒成立，则t>D.设cn=若数列{cn}的前n项和为Tn，则Tn<212.若复数z满足z(1-i)=1+3i，i为虚数单位，则z=. 14.已知曲线mx2-(8m-1)x-3y+16m+8=0恒过M点，且M在抛物线C:y2=2px上．若P是C上的一点，点N(6,3)，则点P到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为.15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C为锐角，且a=2csinA.（1）求角C的大小；16.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=2，E、F分别是SC、BD的中点.（1）求证：EF//平面SAB；（2）若二面角S-AB-D的大小为，求直线SD与平面ABCD所成角的大小.17.双曲线C的焦点与椭圆+y2=1的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线C的一弦中点为(3,2)，求此弦所在的直线方程.（1）若a=1，判断f(x)的单调性；（2）若f(x)在(5,+∞)上没有极值点，求a的取值范围.19.某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝、软翅风筝、串式风筝、板式风筝、立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝、板式风筝、立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为X分，求X的分布列与期望；（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为1,2,3,…中的任意一个数，记乙累计得n分的概率为P(n)，当n≥3时，求P(n).平高教育集团湖南六校2024年度春季学期期末质量监测*祝考试顺利*.【答案】B【解析】【分析】解不等式后根据交集运算求解.故选：B.A.-2B.-3C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直关系的坐标表示解方程可得m=-3.故选：B3.“a=”是“直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay+1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件进行判断时，直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay+1=0，即为直线y-1=0与直线y+1=0的斜率都是-3，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；若直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay+1=0平行，当a=0时，两直线方程都为x-1=0，直线重合不符合题意，当a≠0时，两直线平行则斜率相等，截距不相等解得是必要条件；故选：C【答案】A【解析】【分析】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.4a444故选：A.B.C.-2D.2【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解.故选：A.6.已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为()2163219A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意得C=36求出n的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为零，求出r，从而可求出展开式中的常数项.因为的展开式中第3项的二项式系数等于36，*，所以n=9，所以展开式的通项公式为Tr+1=Cx9-rrx9-3r，所以该展开式中的常数项为故选：A7.第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有()A.60种B.74种C.88种D.120种【答案】B【解析】【分析】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解.当A场地承办2个竞赛项目时，分2,1,3和2,2,2两种情况，有种安排.故选：B.8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则该正四棱台内半径最大的球的表面A.12πB.27πC.D.【答案】D【解析】【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.【详解】作出如图所示正四棱台，其中OO1为正四棱台的高，EE1为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为35，因为OO1=3故半径最大的球不与上下底面同时相切，故选：ABD过O,E,E1,O1作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则上O2EO==则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，即该正四棱台内半径最大的球半径球的表面积为S=4πr2=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.9.对于随机变量X，下列说法正确的有()A.若E(X)=1，则E(2X-1)=1B.若D(X)=1，则D(2X-1)=4C.若X:N(2,4)，则E(X)=4D.若X~B(10,0.5)，则E(X)=5【答案】ABD【解析】【分析】根据期望和方差变换公式和二项分布、正态分布相关概念求解即可.【详解】对于A，若E(X)=1，则E(2X-1)=2×1-1=1，故A正确；对于C，若X:N(2,4)，则E(X)=2，故C错误；A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)的最小值为-D在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】首先化简函数sin2x，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f(x)=sinx.cosx=sin2x，函数的定义域为R，对A，sin2x=-f所以函数f(x)是奇函数，故A正确；对B，函数f(x)的最小正周期为=π,故B错误；对C，函数f(x)的最小值为-，故C正确；f不单调在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：AC下列说法正确的是()B.设f(n)=，n∈N*，则f(n)的最小值为12.5nC.若tan-bn+2>0D.设cn=若数列{cn}的前n项和为Tn，则Tn<2【答案】BCD【解析】【分析】对于A：先求an，结合等比数列性质分析求解；对于B：由f(n)=an+，利用对勾函数的性n质求解判断；对于C：由t>对n∈N*恒成立求解判断；对于D：由利用裂项相消法求解判断.n；若n，n因为对勾函数y=x+在(0,6)内单调递增，在所以f(n)min=f(3)=12.5，故B正确；且b1令则f(n+1)—f(n当1≤n≤2时，f(n+1)>f(n)；当n=3时，f(3)=f(4)，当n≥4时，f(n+1)<f(n)，则f(n)max=f(3)=f(4)=1，则t>1，故C【答案】7故选：BCD【答案】12i##2i1【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得z=—1+2i，结合共轭复数的概念，即可求解.故答案为：12i.2y213.若椭圆+y2m【答案】2或【解析】 【分析】根据焦点的位置分类讨论，结合离心率的计算公式可得答案. 故答案为：2或14.已知曲线mx2(8m1)x3y+16m+8=0恒过M点，且M在抛物线C:y2=2px上．若P是C上的一点，点N(6,3)，则点P到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为.【解析】进而可得C的方程为y2=4x，设点P在准线l上的投影为D，抛物线的定义结合几何性质分析求解.令解得，可知曲线mx2(8m1)x3y+16m+8=0恒过点M(4,4)，因为M在抛物线C:y2=2px上，则16=8p，解得p=2，又因为32=9<24，可知点N在抛物线内，设点P在准线l上的投影为D，则PD=PF，PF+PN=PDPN当且仅当PN与C的准线垂直时，等号成立，所以点P到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为7.故答案为：7.15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C为锐角，且a=2csinA.（1）求角C的大小； 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得sinC=即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得ab=3·,结合余弦定理计算即可求解.【小问1详解】因为C为锐角，所以C=【小问2详解】b216.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=2，E、F分别是SC、BD的中点.（1）求证：EF//平面SAB；（2）若二面角S—AB—D的大小为，求直线SD与平面ABCD【答案】（1）证明见解析；【解析】【分析】（1）取线段SB、AB的中点分别为H、G，连接EH、HG、FG，然后四边形EFGH为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行；（2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可.【小问1详解】证明：取线段SB、AB的中点分别为H、G，连接EH、HG、FG，则EH//BC,EH=，FG//AD,FG=，又底面ABCD是正方形，即BC//AD,BC=AD，则EH//FG,EH=FG，即四边形EFGH为平行四边形，则EF//HG，又EF在平面SAB外，HG平面SAB，故EF//平面SAB.【小问2详解】取线段AB的中点为O点，连接SO、DO，又SA=SB=2，底面ABCD是边长为1的正方形，又二面角S-AB-D的大小为，又SO平面SAB，平面SAB∩平面ABCD=AB，故直线SD与平面ABCD所成角的大小为. 17.双曲线C的焦点与椭圆+y2=1的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为x=.（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线C的一弦中点为(3,2)，求此弦所在的直线方程.（2）3x-2y-5=0【解析】【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距c，再由准线方程求得a，从而可得b，然后可得双曲线方程.（2）设弦的两端分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程.【小问1详解】-a2【小问2详解】设弦的两端分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)．则有：:弦中点为(3,2)，:{则所求直线方程为：y-2=)→3x-2y-5=0.（1）若a=1，判断f(x)的单调性；（2）若f(x)在(5,+∞)上没有极值点，求a的取值范围.【答案】