数学-湖南省部分地市州(湘西州等)金太阳2023-2024学年高二下学期7月期末考试题和答案

湖南省高二年级期末考试A.J2B.22C.2D.4A.1B.－1C.2D.－24.已知a，β是两个平面，m，n，l是三条直线，且a∩β=l，mÌa，nÌβ,m丄l，则“m丄n”是“a丄β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知曲线y=lnx在点(1,0)处的切线与圆x2+y2-4mx+2y+3m=0相切，该圆的半径为() B. D.或16.要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有()7.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为A.1B.228.已知f(x+5)为偶函数，若函数y=x-5与y=f(x)图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，A.45B.－45C.90D.－909.已知随机变量X服从正态分布N(14,σ2)，且P(X<a)=P(X>a+4)=0.1，则10.把函数f(x)=cos3x的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于点(2a,0)对称，则a的值可能为A.B.C.D.11.已知函数f(x)=(x-aex)(lnx-ax)恰好有三个零点，分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则下列说法正确的是A.x2=exB.x1，x2，x3成等差数列C.x1，x2，x3成等比数列12.已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为.14.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量-(2ae),i-(inc:-F),且m丄n.（1）求A；已知F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，且C上一点(m,3)到点F的距离为4.（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且AF+BF=24，求l的方程.如图，在多面体ABCDE中，平面ABE丄平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，BC=2DE，AB丄AC，EA=EB.（1）证明：AB=AC.（2）若直线BE与平面ABC所成的角为45°,求二面角A-BE-C的正弦值.某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为.（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在n=5和n=6之中选其一，则应选择哪个？若函数f(x)满足对于任意的-enut-e,t-[reo--o恒成立，则称f(x)为“反转函数”.已知函数f(x)=alnx+（1）当a=1时，证明：f(x)为“反转函数”.（2）已知g(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3.湖南省高二年级期末考试数学参考答案1.D由题可知,C的焦距为2C=2\3十1=4.2.B因为A={儿|1<|儿十1|<3}={儿|—4<儿<—2或0<儿<2},所以A∩B={—3,1}.3.A由义2十(3—i)义十2—i=0,可得(义十1)(义十2—i)=0,则虚数义=—2十i,故义的虚部为1.4.B若m丄n,当nⅡl时,m丄β不一定成立,故不能推出α丄β.若α丄β,且α∩β=l,m丄l,则m丄β,因为mGα,所以α丄β.5.C由y=ln儿,得yI=则曲线y=ln儿在点(1,0)处的切线方程为y=儿—1.因为切线与儿圆(儿2m)2十(y十1)2=4m2—3m十1相切,所以,即2m2—3m十1=0,解得m=则该圆的半径为\或\.6.A将4名学生分成两个组,第一种情况,一组1人,一组3人,则不同的安排方法有1十C=4种;第二种情况,每组2人,则不同的安排方法有C=3种.故共有7种不同的安排方法.7.B由题意得羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列,设该数列为{an},公差为d,则羊、1十5d,解得,8.A因为f(儿十5)为偶函数,所以f(儿十5)=f(—儿十5),即y=f(儿)的图象关于直线儿=5对称.又y=|儿—5|的图象关于直线儿=5对称,所以它们图象的交点也关于直线儿=5对称,即儿i=5×9=45.9.AD由=14,得a=12,则P=0.1,所以P=0.5—0.1=0.4.10.AC由题意得=cos=cos=cos3a=0,得3a=十kπ,k∈Z,即a=十,k∈Z.故选AC.11.ACD由=0,可得a=即直线y=a与曲线y=由可得,令解得儿=e.【欧高二数学●参考答案第1页(共6页)欧】当0<儿<e时,yI>0,y=单调递增;儿当儿>e时,yI<0,y=单调递减.儿故当儿=e时,y=l儿(儿>0)取得最大值.儿1由y=e儿,可得y=(e儿儿1当儿<1时,yI>0,y=单调递增;当儿>1时,yI<0,y=单调递减.故当儿=1时,y=取得最大值.如图,在同一坐标系内作出的图象,由=a,可得儿2=ae儿2,由l2=a,可得儿,且y=在上单调递增,YAlnzy=lnzy=ABCe又0<儿1<1,1<儿2<e,0<ln儿2<1,所以儿1=ln儿2,即儿2=e儿1,则选项A正确.,且y=在上单调递减,=儿,则选项C正确.=<,则选项儿3D正确.12.44π由题意得该正四棱柱的外接球的半径为所以该正四棱柱的外接球的表面积为4π×11=44π.13.—62由sn=2an十2可知,当n=1时,s1=2a1十2=a1,则a1=—2,(sn=2an十2,当n≥2时,由〈得an=sn—sn—1=2an—2an—1,则an=2an—1,故{an}为等比(sn—1=2an—1十2,数列,则an=(—2)●2n—1=(—1)●2n,从而s5=2a5十2=—62.14.如图,记上PF2F1=θ,|F1F2|=2c.因为PF1丄PF2,则|PF2|=由椭圆的定义可得,|PF1|十|PF2|=2(sinθ十cosθ)c=2a,所以YAPF2F1YAPF2F1【欧高二数学●参考答案第2页(共6页)欧】 =sinθcosθ=\3—1,则sinθ十cosθ=\31,解得θ=或.又点P在第一象限,所以PF1>PF2,所以θ=,cos上PF2F1=.15.解:(1)由题意得m●n=2asinC—\3c=0,………………1分由正弦定理得2sinAsinC—\3sinC=0,…………………3分 又C∈(0,,所以sinC≠0,则2sinA—\3=0,即sinA=\.………5分因为A∈(0,,所以A=.……………6分(2)由S△ABC=bcsinA=\bc=33,……………………7分得bc=6,……………………8分结合=,得b=3,c=2.………………10分由余弦定理得a2=b2十c2—2bccosA=7,………………12分得a=\7.…………………13分16.解:(1)由抛物线的性质,得点(m,3)到C的准线的距离为4,……………2分则C的准线方程为y=—1,………………3分得=1,即p=2.…………5分故C的方程为儿2=4y.……………………6分(2)设l:y=2儿十b,A(儿1,y1),B(儿2,y2).…………………7分(儿2=4y,,………8由△=64十16b>0,得b>—4,……………9分,所以|AF|十|BF|=y1十1十y2十1=2(儿1十儿2)十2b十2=18十2b=24,………………13分得b=3>—4.………………14分故l的方程为y=2儿十3(或2儿—y十3=0).……………15分17.(1)证明:因为四边形BCDE为等腰梯形,BC=2DE,所以DEⅡBC,BE=CD.………1分取AB的中点O,AC的中点F,连接OE,OF,DF,则OFⅡBC,OF=BC,…………2分所以OFⅡDE,OF=DE,从而四边形OFDE为平行四边形,则OEⅡDF,OE=DF.…………………3分在△ABE中,EA=EB,且O为AB的中点,所以OE丄AB.……………4分因为平面ABE丄平面ABC,且平面ABE∩平面ABC=AB,OEG平面ABE,所以OE丄平面ABC.………………………5分【欧高二数学●参考答案第3页(共6页)欧】又OEⅡDF,所以DF丄平面ABC.又ACG平面ABC,所以DF丄AC.………………6分AB=2OB=2\BE2—OE2,AC=2CF=2\CD2—DF2,由BE=CD,OE=DF,得AB=AC.…………………………7分(2)解:由(1)知OE丄AB,AB丄AC,所以OB,AC,OE两两垂直,…8分以O为坐标原点,OB所在直线为儿轴,OE所在直线为义轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知上EBO=45。,不妨设AB=2,则B(1,0,0),E(0,0,1),C(—1,2,………………9分EEFACyOBFACy由图可知平面ABE的一个法向量为m=(0,1,0),……10分设平面CBE的法向量为n=(儿,y,义),(BCn=0,(—2儿十2y=0,(BCn=0,(—2儿十2y=0,令儿=1,得n=(1,1,1),…………………12分 ……………13分所以二面角A-BE-C的正弦值为\1—(\)2=\.……15分18.解:(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1,A2,A3,所选的题目回答正确为事件B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)十P(A2)P(B|A2)十P(A3)P(B|A3)=1×2十1×1十2×1=14323342,所以甲在该题库中任选一题作答,他回答正确的概率为.……………5分(2)当n=5时,设X为甲答对题目的数量,则X~B(10,p),……………7分故当n=5时,甲获得奖励的概率P1=P(X=5)十P(X≥6).…………10分当n=6时,甲获得奖励的情况可以分为如下情况:①前10题答对题目的数量大于等于6;②前10题答对题目的数量等于5,且最后2题至少答对1题;③前10题答对题目的数量等于4,且最后2题全部答对.故当n=6时,甲获得奖励的概率P2=P(X≥6)十P(X=5)×[1—(1—×(1—十P(X=4)××=P(X≥6)十P(X=5)十P(X=4),…………13分则P2—P1=P(X=4)—P(X=5)=C010—C010]<0,……………15分所以甲应选n=5.…………17分19.(1)证明:当a=1时,f(儿)=ln儿十,g(儿)=f(儿)—f()=2ln儿十—儿(儿>0),……………………1分【欧高二数学●参考答案第4页(共6页)欧】得—1=—<0,则g在上单调递减.……………2分当0<儿<1时,g(儿)>g(1)=0,当儿>1时,g(儿)<g(1)=0,…………3分所以对于任意的儿<0,即恒………………4分,△=4a2—4.当—1≤a≤1时,△≤0,gI(儿)≤0,则g(儿)在(0,十∞)上单调递减,不符合题意;……5分当a<—1时,gI(儿)<0,则g(儿)在(0,十∞)上单调递减,不符合题意;………………6分当a>1时,则g(儿)在(0,a—\a2—1),(a十\a2—1,十∞)上单调递减,在(a—\a2—1,a十\a2—1)上单调递增.因为a—\a2—1<1<a十\a2—1,g(1)=0,所以g(a—\a2—1)<0,g(a十\a2—1)>0.……………7分设函数F(儿)=e儿—儿(儿>1),得FI(儿)=e儿—1>0,则F(儿)是增函数,得F(2a)=e2a—2a>F(1)=e—1>0,即e2a>2a.………8分由a>\a2—1,得2a>a十\a2—1,所以e2a>2a>a十\a2—1>1,<<a十\2—1=a—\.设函数G(儿)=e2儿—e2儿2(儿>1),得GI(儿)=2e2儿—2e2儿,GⅡ(儿)=4e2儿—2e2>0,则GI(儿)是增函数.因为GI(儿)>GI(1)=2e2—2e2=0,所以G(儿)是增函数,则G(a)=e2a—e2a2