高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题08二次函数与幂函数(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练08二次函数与幂函数练高考明方向1．(2023上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____2．(2023浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关3．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 ()(A)(B)(C)(D)4．(2023北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟5．(2023广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A． B． C． D．讲典例备高考二次函数与幂函数二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、幂函数的定义基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋12．（幂函数的判断）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个类型二、幂函数的图象基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知，且，若，则函数的图像为（）.A． B．C． D．2．（根据图象确定解析式）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、33．（利用图象比较大小）对于幂函数，若，则，的大小关系是（）A． B．C． D．无法确定4．（利用图象比较大小）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________．①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点；③当时，函数的图象是一条直线；④当时，函数在定义域内是严格减函数；⑤过点的幂函数图象关于轴对称．类型三、幂函数的性质基础知识：1、五个常见幂函数的性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数eq\a\vs4\al(偶函数)奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减过定点(0,0)，(1,1)(1,1)1．（幂函数单调性）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（）A． B． C． D．2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.3．（幂函数的奇偶性）设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（）A． B．C． D．类型四、二次函数的解析式基础知识：二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq\f(x1＋x2,2)基本题型：1．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.2．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质基础知识：函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c<0C．a－b＋c>0D．abc<02．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是()基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．类型四、二次函数给定区间上最值问题基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则f(x)的最小值是________．2、（轴动区间定）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为________．3、（轴定区间动）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．新预测破高考1．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（）A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数C．的值域为 D．在定义域内有最大值2．下列关于幂函数的结论，正确的是（）.A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象不经过第四象限C．幂函数为奇函数或偶函数 D．幂函数在其定义域内都有反函数3．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②4．(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为()5．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（）A． B． C．或 D．6．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．-17．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0 B．1C．2 D．39．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A． B．C． D．10．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．11．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8)))在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b12．(多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则()A．函数f(x)有两个不同的零点B．函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增C．当a＞1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3D．当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝eq\f(1,3)13．已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.则在的值域为__________.14．定义函数，，则的最小值为________.15．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为______．17．已知二次函数（，，），且函数图象过点.（1）若函数图象的对称轴方程为，方程有两个相等的实数根，求函数的解析式；（2）令函数，若、为方程的两个实数根，求的最小值.18．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.2023高考一轮复习讲与练08二次函数与幂函数练高考明方向1．(2023上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____答案：【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以．2．(2023浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关答案：B【解析】函数的对称轴为，①当，此时，，；②当，此时，，；③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．3．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 ()(A)(B)(C)(D)答案：C 【解析】对A：由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B：由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和，构造函数，则，在上单调递增，因此，又由得，∴，C正确，对D： 要比较和，只需比较和，而函数在上单调递增，故，又由得，∴，D错误4．(2023北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟答案：B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入中可解得，∴，∴当分钟时，可食用率最大．5．(2023广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A． B． C． D．答案：C【解析】是奇函数的为与，故选C．讲典例备高考二次函数与幂函数二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、幂函数的定义基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋1答案：C【详解】根据幂函数的定义知，y＝eq\f(1,x3)是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．2．（幂函数的判断）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案：B【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.类型二、幂函数的图象基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知，且，若，则函数的图像为（）.A． B．C． D．答案：A【解析】由题意得：，令，则，解得或（舍去），所以，即，所以的图像即为的图像．2．（根据图象确定解析式）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3答案：D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，，所以解析式中指数的值依次可以是，3．（利用图象比较大小）对于幂函数，若，则，的大小关系是（）A． B．C． D．无法确定答案：A【解析】幂函数在上是增函数，大致图象如图所示.设，，其中，则AC的中点E的坐标为，且，，.，.4．（利用图象比较大小）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b答案：A【解析】由幂函数图像特征知，，，，所以选A．5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________．①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点；③当时，函数的图象是一条直线；④当时，函数在定义域内是严格减函数；⑤过点的幂函数图象关于轴对称．答案：3

【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，的任何指数幂均为，所以幂函数的图象都经过点，故正确；对于③，当时，函数的定义域为，其图象是两条射线，故错误；对于④，当时，在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点时，得为偶数，故幂函数图象关于轴对称，故正确.类型三、幂函数的性质基础知识：1、五个常见幂函数的性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数eq\a\vs4\al(偶函数)奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减过定点(0,0)，(1,1)(1,1)1．（幂函数单调性）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知得，解得：，所以，因为，，，又，所以，由在上递增，可得：，所以.2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.答案：【详解】因为是幂函数，，解得或1，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，.3．（幂函数的奇偶性）设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（）A． B．C． D．答案：C【详解】时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意.类型四、二次函数的解析式基础知识：二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq\f(x1＋x2,2)基本题型：1．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案：eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2【解析】因为f(x)是二次函数且f(0)＝2，所以设f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)．又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－(ax2＋bx＋2)＝x－1，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＝0，,a＋b＋1＝0，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.2．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.答案：f(x)＝x2＋2x.【解析】法一：设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.法二：由二次函数f(x)与x轴交于(0,0)，(－2,0)，知f(x)的图象关于x＝－1对称．设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案：f(x)＝x2－4x＋3.【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质基础知识：函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c<0C．a－b＋c>0D．abc<0答案：AD【解析】根据对称轴x＝－eq\f(b,2a)＝1得到b＝－2a，A正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，C错误；函数图象开口向下，所以a<0，b＝－2a>0，当x＝0时，y＝c>0，故abc<0，D正确．2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是()答案：ABD【解析】若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A符合；若a<0，则f(x)的图象开口向下，过点(0,1)，对称轴的方程为x＝－eq\f(1,2a)，g(x)的图象过点(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0))，且－eq\f(1,2a)<－eq\f(1,a)，B符合；若0<a<eq\f(1,4)，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x＝－eq\f(1,2a)，g(x)的图象过点(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0))，且－eq\f(1,2a)>－eq\f(1,a)，C不符合；若a>eq\f(1,4)，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x＝－eq\f(1,2a)，g(x)的图象过点(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0))，且－eq\f(1,2a)>－eq\f(1,a)，D符合．基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．类型四、二次函数给定区间上最值问题基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则f(x)的最小值是________．答案：－1【解析】∵函数f(x)＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq\f(3,2)>1，∴函数f(x)＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，∴f(x)min＝2－6＋3＝－1.2、（轴动区间定）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为________．答案：－1或2【解析】易知y＝－x2＋2ax＋1－a(x∈R)的图象的对称轴为直线x＝a.当a<0时，函数f(x)的图象如图①中实线部分所示，当x＝0时，ymax＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.当0≤a≤1时，函数f(x)的图象如图②中实线部分所示，当x＝a时，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝eq\f(1±\r(5),2).∵0≤a≤1，∴a＝eq\f(1±\r(5),2)不满足题意．当a>1时，函数f(x)的图象如图③中实线部分所示，当x＝1时，ymax＝f(1)＝a＝2，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.3、（轴定区间动）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1；当0<t<1时，f(x)min＝1；当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.新预测破高考1．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（）A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数C．的值域为 D．在定义域内有最大值答案：B【详解】设，则，解得，，的定义域为，故A错误；可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；值域为，故C错误；故在定义域内没有最大值，故D错误.2．下列关于幂函数的结论，正确的是（）.A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象不经过第四象限C．幂函数为奇函数或偶函数 D．幂函数在其定义域内都有反函数答案：B【解析】幂函数不过点，则A错误；当时，，则幂函数的图象不经过第四象限，则B正确；的定义域为，不关于原点或轴对称，则C错误；在内无反函数，则D错误；3．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②答案：D【详解】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，4．(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为()答案：ACD【详解】当a<0时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向下，对称轴为x＝－eq\f(1,a)>0，f(0)＝1，故A符合；当a＝2n(n∈N*)时，g(x)＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝－eq\f(1,a)<0，Δ＝4－4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合；当a＝eq\f(1,2n)(n∈N*)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝－eq\f(1,a)<0，Δ＝4－4a>0，图象和x轴有两个交点，故C符合．B明显不符合题意，故选A、C、D.5．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（）A． B． C．或 D．答案：A【详解】根据幂函数的概念，得，解得或，①若，则，令，其定义域为，且，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若，则，令，其定义域为，且，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以.6．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．-1答案：C【解析】设幂函数，图象过点，故，故，，令，则，，∴时，.7．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定答案：A【解析】由题，，，所以，，，，，.8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0 B．1C．2 D．3答案：B【解析】∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．∴m＝1,故选B.9．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A． B．C． D．答案：B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需.10．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．答案：A【详解】对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：，解得或（舍去），∴，是偶函数，∴，，而，即，11．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8)))在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b答案：C【解析】因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8)))在函数f(x)的图象上，所以eq\f(1,8)＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x－3，易知当x>0时，f(x)单调递减．因为eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)<1，lnπ>lne＝1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))>f(lnπ)，即a>c>b，故选C.12．(多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则()A．函数f(x)有两个不同的零点B．函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增C．当a＞1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3D．当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝eq\f(1,3)答案：ACD【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f(x)有两个不同的零点，A正确．因为二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，且图象开