(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题2.7直线的交点坐标与距离公式(原卷版+解析)

专题2.7直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.

2．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.3．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.4．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.5．中点坐标公式公式：

设平面上两点，线段的中点为，则.【题型1求两直线的交点坐标】【方法点拨】(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.

(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.【例1】(2023·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（

）A．1,1 B．12,12 C．【变式1-1】(2023·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（

）A．2,3 B．−2,−3 C．0,1 D．0,0【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABCA．43,23 B．32,0【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数A．k>−23 C．−23<k<2 D．【题型2经过两直线交点的直线方程】【方法点拨】①经过两直线，的交点的直线方程为(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.【例2】(2023·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2A．19x−9y=0 B．9x+19y=0C．3x+19y=0 D．19x+3y=0【变式2-1】(2023·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13xA．x+3y+5=0 B．x+3y−5=0C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0【变式2-2】(2023·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为A．3x−y+3+2=0C．3x−y−3−4=0【变式2-3】(2023·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和lA．3x−4y−1=0 B．3x−4y+1=0C．4x−3y−1=0 D．4x−3y+1=0【题型3两点间的距离公式的应用】【方法点拨】平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.【例3】(2023·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（A．8 B．6 C．3 D．0【变式3-1】（2023·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-2】（2023·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2A．13 B．22 C．2 D．【变式3-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点A．10 B．13 C．16 D．20【题型4点到直线的距离公式的应用】【方法点拨】(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解.(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.【例4】(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点A．y=x+2 B．y=−x−2 C．y=−x+2【变式4-1】(2023·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（

）A．13,17 C．−∞,1【变式4-2】(2023·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（

）A．x+y+3=0 B．17x+y−29=0C．x+y+3=0或17x+y−29=0 D．3x+y+3=0【变式4-3】(2023·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（

）A．y=x+1 B．y=6C．y=43x【题型5两条平行直线间的距离公式的应用】【方法点拨】第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.【例5】(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2A．724 B．522 C．5 【变式5-1】(2023·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B．21313 C．513【变式5-2】(2023·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（A．12x+8y−15=0 B．9x+6y−5=0C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0 D．6x+4y−15=0【变式5-3】(2023·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（

）A．a≤4 B．−16≤a≤4C．−4≤a≤16 D．a≤16或a≥4【题型6与距离有关的最值问题】【方法点拨】点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.最值问题的常用求法有两种：(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.【例6】(2023·全国·高三专题练习）原点到直线l:3+2λx+4+λA．225 B．25 C．2【变式6-1】(2023·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤1A．1，33 B．33，13 C．22，【变式6-2】(2023·江苏·高二阶段练习）直线2x+3y−6=0分别交x轴和y于点A,B，P为直线y=x上一点，则PA−PB的最大值是（A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）过定点M的直线ax+y−2=0与过定点N的直线x−ay+4a−2=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为(

)A．1 B．3 C．4 D．2专题2.7直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.

2．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.3．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.4．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.5．中点坐标公式公式：

设平面上两点，线段的中点为，则.【题型1求两直线的交点坐标】【方法点拨】(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.

(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.【例1】(2023·全国·高二专题练习）直线y=x与直线x+y−2=0的交点坐标是（

）A．1,1 B．12,12 C．【解题思路】两直线方程组成方程组，所得解即为两直线交点坐标.【解答过程】由x+y−2=0y=x，可得x=1y=1故选：A.【变式1-1】(2023·贵州·高二学业考试）直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为（

）A．2,3 B．−2,−3 C．0,1 D．0,0【解题思路】直接解方程求出两直线交点坐标即可.【解答过程】由x=2y=x+1解得x=2y=3，则直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为故选：A.【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）已知A0,0，B3,0，C1,2，则△ABCA．43,23 B．32,0【解题思路】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为△ABC垂心的坐标.【解答过程】解：因为A0,0，B3,0，所以kAB=0−0所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1，BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x，联立x=1y=x，得x=1所以垂心的坐标为1,1．故选：D．【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=−2x+4的交点在第一象限内，则实数A．k>−23 C．−23<k<2 D．【解题思路】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【解答过程】方法一：由直线l1，l2有交点，得k≠−2．由y=kx+k+2y=−2x+4，得x=2−kk+2y=6k+4方法二：由题意知，直线l1:y−2=k(x+1)过定点P(−1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)．若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为故选：C．【题型2经过两直线交点的直线方程】【方法点拨】①经过两直线，的交点的直线方程为(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.【例2】(2023·全国·高二专题练习）过原点和直线l1:x−3y+4=0与l2A．19x−9y=0 B．9x+19y=0C．3x+19y=0 D．19x+3y=0【解题思路】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.【解答过程】由{x−3y+4=02x+y+5=0可得故过原点和交点的直线为y=−319x故选：C.【变式2-1】(2023·北京高二期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13xA．x+3y+5=0 B．x+3y−5=0C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=1【解答过程】由x+y−3=02x−y=0解得x=1y=2，则直线x+y−3=0,2x−y=0的交点又直线y=13x的斜率为13，则所求直线方程为故选：C.【变式2-2】(2023·江苏·高二课时练习）过两条直线l1:x−y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为A．3x−y+3+2=0C．3x−y−3−4=0【解题思路】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【解答过程】由x−y＋3=02x故直线方程是：y−2=3x＋故选：A．【变式2-3】(2023·江苏省高二阶段练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和lA．3x−4y−1=0 B．3x−4y+1=0C．4x−3y−1=0 D．4x−3y+1=0【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m，从而可求出直线方程【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，由x−y+1=0x−2=0，得x=2y=3，即l1和l因为直线4x−3y+m=0过点(2,3)，所以8−9+m=0，得m=1，所以所求直线方程为4x−3y+1=0，故选：D.【题型3两点间的距离公式的应用】【方法点拨】平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.【例3】(2023·江苏·高二课时练习）已知点A2,4，B5,4，那么A，B两点之间的距离等于（A．8 B．6 C．3 D．0【解题思路】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.【解答过程】因点A2,4，B5,4，则所以A，B两点之间的距离等于3.故选：C.【变式3-1】（2023·广西·高二期中）已知A2,−3，B5,−7，则AB=A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据两点间距离公式即可求解.【解答过程】因为A2,−3，B所以AB=故选：C.【变式3-2】（2023·福建三明·高二期中）已知直线l1：2x−y−2=0与直线l2：3x+y−8=0的交点为A，则点A与点B2A．13 B．22 C．2 D．【解题思路】由题联立2x−y−2=03x+y−8=0得A【解答过程】解：联立方程2x−y−2=03x+y−8=0，解得x=2,y=2所以A2,2，所以2−22故选：D.【变式3-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:x−my+1=0过定点A，直线l2:mx+y−m+3=0过定点B，l1与l2相交于点A．10 B．13 C．16 D．20【解题思路】由题意，直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，又直线l1过定点A−1,0，直线l2【解答过程】解：因为1×m+−m×1=0，所以直线l1与直线l又因为直线l1:x−my+1=0过定点A−1,0，直线l2:mx+y−m+3=0所以在Rt△APB中，PA故选：B.【题型4点到直线的距离公式的应用】【方法点拨】(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解.(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.【例4】(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,2)，则点M､原点A．y=x+2 B．y=−x−2 C．y=−x+2【解题思路】分别利用点到直线距离公式即可确定答案.【解答过程】根据点到直线的距离公式可得，对于A，点M到直线x−y+2=0的距离为点O到直线x−y+2=0的距离为对于B，点M到直线x+y+2=0的距离为点O到直线x+y+2=0的距离为对于C，点M直线x+y−2=0的距离为点O到直线x+y−2=0的距离为对于D，点M到直线x−y−2=0的距离为点O到直线x−y−2=0的距离为故选:B.【变式4-1】(2023·江苏·高二阶段练习）点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，则实数a的取值范围为（

）A．13,17 C．−∞,1【解题思路】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.【解答过程】因为点a,6到直线3x−4y−2=0的距离大于5，所以3a−4×6−232+−42所以实数a的取值范围为−∞故选：B.【变式4-2】(2023·全国·高二课时练习）直线l经过点2,−5，且与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为（

）A．x+y+3=0 B．17x+y−29=0C．x+y+3=0或17x+y−29=0 D．3x+y+3=0【解题思路】根据直线l是否存在斜率，结据点到直线距离公式分类讨论进行求解即可.【解答过程】当直线l斜率不存在时，则方程为x=2，显然此时该直线与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：3，不符合题意，当直线l斜率存在时，设为k，则此时方程为：y+5=k(x−2)⇒kx−y−5−2k=0，因为直线与点3,−2和点−1,6的距离之比为1：2，所以有3k+2−5−2kk2+即−17x−y−5+34=0，或−x−y−3=0，即17x+y−29=0，或x+y+3=0，故选：C.【变式4-3】(2023·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（

）A．y=x+1 B．y=6C．y=43x【解题思路】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，故只需要求各选项的点线距离即可判断.【解答过程】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，对于A，y=x+1可化为x−y+1=0，故d=5−0+1对于B，易求M到直线y=6距离为6>4，故B错误；对于C，y=43x可化为4x−3y=0对于D，y=2x+1可化为2x−y+1=0，故d=2×5−0+1故选：C.【题型5两条平行直线间的距离公式的应用】【方法点拨】第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.【例5】(2023·河北·高二阶段练习）已知a<0，若直线l1:ax+2y−1=0与直线l2A．724 B．522 C．5 【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．【解答过程】解：直线l1:ax+2y−1=0与直线∴aa+1−2=0，解得a=−2或又a<0，所以a=−2，当a=−2时，直线l1:2x−2y+1=0与直线l2故选：A.【变式5-1】(2023·河南·高二阶段练习）已知直线3x+my−3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B．21313 C．513【解题思路】取直线3x+my−3=0上的定点1,0，再计算到6x+4y+1=0的距离即可.【解答过程】取直线3x+my−3=0上的定点1,0，则3x+my−3=0到6x+4y+1=0的距离即1,0到6x+4y+1=0的距离为d=6×1+4×0+1故选：D.【变式5-2】(2023·辽宁·高二开学考试）与两平行线l1：3x+2y−6=0，l2：6x+4y−3=0等距离的直线的方程为（A．12x+8y−15=0 B．9x+6y−5=0C．12x+8y−15=0或9x+6y−5=0 D．6x+4y−15=0【解题思路】设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0，再根据平行直线间的距离公式求解即可.【解答过程】设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0，又l1：6x+4y−12=0，l2：6x+4y−3=0，故即m+12=m+3，故m+12=m+3或m+12+m+3=0，故所求直线方程为6x+4y−152=0故选：A.【变式5-3】(2023·江苏·高二课时练习）若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5，则实数a的取值范围为（

）A．a≤4 B．−16≤a≤4C．−4≤a≤16 D．a≤16或a≥4【解题思路】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.【解答过程】直线2x+y−3=0化为4x+2y−6=0，则两直线之间的距离d=a+642解得−16≤a≤4.所以实数a的取值范围为−16≤a≤4.故选：B.【题型6与距离有关的最值问题】【方法点拨】点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.最值问题的常用求法有两种：(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.【例6】(2023·全国·