2024年四川省广元市中考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年四川省广元市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.将−1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是(

)A.−1 B.1 C.−3 D.32.下列计算正确的是(

)A.a3+a3=a6 B.3.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是(

)

A. B. C. D.4.在“五⋅四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是(

)A.中位数是95 B.方差是3 C.众数是95 D.平均数是945.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于(

)A.64°

B.60°

C.54°

D.52°6.如果单项式−x2my3与单项式2x4A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为(

)

A.5 B.10 C.2 8.我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元，则可列方程是(

)A.67503x−50=3000x B.30003x−50=9.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为A.5 B.7 C.32 10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,−2)与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且−1<x1<0，2≤x2<3，则下列结论：①a−b+c<0；②方程a

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.分解因式：(a+1)2−4a=12.2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10−18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为______秒.13.点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为______．

14.若点Q(x,y)满足1x+1y=15.已知y=3x与y=kx(x>0)的图象交于点A(2,m)，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=kx

16.如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55

三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：(2024−π)0+|18.(本小题8分)

先化简，再求值：aa−b÷a2−b2a19.(本小题8分)

如图，已知矩形ABCD．

(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．20.(本小题9分)

广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析(竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x<90；C：70≤x<80；D：60≤x<70；E：90≤x<60).并绘制了如下尚不完整的统计图．

抽取学生成绩等级人数统计表等级ABCDE人数m2730126其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．

(1)样本容量为______，m=______；

(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；

(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法.求这两人来自同一个年级的概率．21.(本小题9分)

小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα=74，β=30°，求该介质的折射率；

(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图22.(本小题10分)

近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价(元/件)8090销售价(元/件)100120(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？23.(本小题10分)

如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2=mx+n的图象相交于点A(−3,a)，B(a+32,−2)两点，O为坐标原点，连接OA，OB．

(1)求y1=kx与y2=mx+n24.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE/​/CF交BC于点E．

(1)求证：DE为⊙O的切线；

(2)若AC=4，tan∠CFD=2，求⊙O的半径．25.(本小题12分)

数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．

在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．

(1)初步探究

如图2，若∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB；

(2)尝试应用

如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4，求CD的长；

(3)创新提升

如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=226.(本小题14分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=−x2+bx+c经过点A(−3,−1)，与y轴交于点B(0,2)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C的坐标；

(3)作抛物线F关于直线y=−1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．参考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.A

8.C

9.A

10.C

11.(a−1)12.4.3×1013.18°

14.(2,−1)(答案不唯一，满足x+y=1且x≠0，y≠0)

15.(0,4)

16.517.解：原式=1+2−3+3−4

=1+2−4

18.解：原式=aa−b⋅(a−b)2(a+b)(a−b)−a−ba+b

=aa+b−a−ba+b19.(1)解：如图1所示：

(2)证明：如图2设EF与AC的交点为O，由(1)可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，FA=FC，

∠COE=∠AOF=90°，

OA=OC，

又∵四边形ABCD是矩形，

∴CD/​/AB，

∴∠ECO=∠FAO，

在△COE和△AOF中，

∠ECO=∠FAOOC=OA∠EOC=∠FOA，

∴△COE≌△AOF(ASA)，

∴EC=FA，

∴EA=EC=FA=FC，

∴四边形AFCE是菱形．20.90

15

21.解：(1)∵cosα=74，

∴如图，设b=7x，则c=4x，

由勾股定理得，a=(4x)2−(7x)2=3x，

∴sinα=ac=3x4x=34，

又∵β=30°，

∴sinβ=sin30°=12，

∴折射率为：sinαsinβ=3412=32；

(2)由题意可得α=60°，折射率为32，

∴sinαsinβ=sin60°sinβ=32，

∴sinβ=322.解：(1)由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，

∴x+y=5080x+90y=4300．

∴x=20y=30．

答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．

(2)由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进(200−m)件长款服装，

∴80m+90(200−m)≤16800．

∴m≥120．

又设利润为w元，

则w=(100−80)m+(120−90)(200−m)=−10m+6000．

∵−10<0

∴w随m的增大而减小．

∴当m=120时，利润w最大为：−10×120+6000=4800(元)．

答：当购进120件短款服装，8023.解：(1)∵反比例函数y1=kx和一次函数y2=mx+n的图象相交于点A(−3,a)，B(a+32,−2)两点

∴k=−3a=−2(a+32)，

∴a=3，

∴点A(−3,3)，B(92,−2)，

∴k=−3×3=−9，

∴y1=−9x，

把A(−3,3)，B92，−2)代入y=mx+n得−3m+n=392m+n=−2，

解得m=−23n=1，

∴y2=−23x+1；

(2)由图象可知，当24.(1)证明：连接OD，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∴∠COD=2∠CAB=90°，

∵DE/​/CF，

∴∠COD+∠EDO=180°，

∴∠EDO=90°

∴DE为⊙O的切线；

(2)解：过点C作CH⊥AB于点H，

∵△ACB为等腰直角三角形，AC=4，

∴CH=AH=12AB=22，

∵tan∠CFD=CHFH=2，

∴FH=2，

在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2=CH2=F25.(1)证明：如图2，∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△ABC，

∴ADAC=ACAB，

∴AC2=AD⋅AB．

(2)解：如图3，设AD=m，

∵点D为AB中点，

∴AD=BD=m，AB=2m，

由(1)得△ACD∽△ABC，

∴CDBC=ADAC=ACAB，

∴AC2=AD⋅AB=m×2m=2m2，

∴AC=2m或AC=−2m(不符合题意，舍去)，

∴CDBC=ACAB=2m2m=22，

∵BC=4，

∴CD=22BC=22×4=22，

∴CD的长是22．

(3)解：如图4，作BF⊥DC交DC的延长线于点F，则∠F=90°，

∵点E为CD中点，

∴CE=DE，

设CE=DE=n，

∵∠CDB=∠CBD=30°，

∴CB=CD=2n，∠BCF=∠CDB+∠CBD=60°，

∴∠FBC=90°−∠BCF=30°，

∴CF=12CB=n，

∴EF=CE+CF=2n，BF=CB2−CF2=(2n)2−26.解：(1)将A(−3,−1)，B(0,2)代入y=−x2+bx+c，

得：−9−3b+c=−1c=2，

解得：b=−2c=2，

∴抛物线的函数表达式为y=−x2−2x+2；

(2)如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM/​/y轴，

∴△CDM∽△ODB，

∴CDOD=CMOB=CM2，

设AB的解析式为y=mx+n，

把A(−3,−1)，B(0,2)代入解析式得−3m+n=−1m=2，