平面任意力系的平衡方程讲解

生产线数字化仿真技术——平面任意力系的平衡方程赵千里

1.基本形式如平面任意力系向任一点O简化，所得主矢、主矩均为零，则物体处于平衡；反之，若力系是平衡力系，则主矢、主矩必同时为零。因此，平面任意力系平衡的充要条件为一、平面任意力系的平衡方程

MO=∑MO(F)=0（a）

可得一、平面任意力系的平衡方程

∑Fx＝0∑Fy＝0∑MO(F)＝0MO=∑MO(F)=0（b）因平面任意力系有三个独立的平衡方程，故最多只能求解三个未知量。1）确定研究对象，画出受力图。应取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。

2）列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此二力的坐标轴，列出投影方程。如不存在两未知力相互平行，则可选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐标轴可以不画，但倾斜则必须画出。题解分析。将已知量以其代数量入题。先得代数形式的解以便分析各参数对解的影响，最后一次性代入数字得数字解，这是工程分析的习惯。二、平面任意力系平衡方程的解题步骤摇臂吊车如图所示，已知梁AB的重力为G1＝4kN，立柱EF的重力为G2＝3kN，载荷为W＝20kN，梁长l＝2m，立柱h＝1.2m，载荷到A铰的距离x＝1.5m，点A、E间水平距离a=0.2m，拉杆倾角

＝30

。试求立柱E、F处的约束反力。

解1）画受力图。2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx

因求E、F处的支座反力，故取整个摇臂吊车为研究对象。∑Fx＝0，FEx-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，FEy–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）

已知；G1＝4kN，G2＝3kN，W＝20kN，l＝2m，h＝1.2m，x＝1.5m，a=0.2m，

＝30

。试求立柱E、F处的约束反力。

解1）画受力图。2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx

求出FEy后，只存在点F、E上两处未知力，故可任择其一为矩心，列出力矩方程为：∑Fx＝0，FEx-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，FEy–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）∑ME(F)=0，FFxlh-G1(a+l/2)–W(x+a)=0FFx=[G1(2a+l)+2W(x+a)]/2=32.3kN（←）FEx=FFx=32.3kN（→）1.平面汇交力系∑Fx＝0∑Fy＝0

若平面力系中各力作用线汇交于一点，则称为平面汇交力系。显见M=ΣM(F)=0恒能满足，则其独立平衡方程为两个投影方程，即（c）三、平面任意力系的特殊形式F1OF2F3F4xy2.平面平行力系∑Fy＝0∑MO(F)＝0

若平面力系中各力作用线全部平行，则称为平面平行力系，取y轴平行于各力作用线。显见ΣFx＝0恒能满足，则其独立平衡方程为∑MA(F)＝0∑MB(F)＝0其中A、B两点的连线不能与各力平行。（d）（e）也可用二矩式，即F1OF2F3Fnxy

外伸梁如图所示，已知F=qa/2，M=2ql2。求A、B两点的约束反力。∑MA(F)=0，FB2a-M-Fa-FQa/2=0

FB=(M+Fa+0.5FQa)/2a=2qa(↑)∑Fy=0，

FA+FB-F-FQ=0

FA=FQ+F-FB=3qa+qa/2-2qa=1.5qa(↑)FAFB解1）取A