2022-2023学年上海市致远某中学高二年级上册开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市致远高二上学期开学数学试题

一、单选题

1.下列命题中，真命题为（）

A.若点尸（a,2a）（aK0）为角。终边上一点，贝必拓。=竽

B.同时满足sinx=:，cosx=且的角有且只有一个

22

C.如果角a满足-3兀<a<-|兀，那么角a是第二象限的角

D.tanx=-6的解集为=

D

【分析】根据三角函数正余弦的定义可判断选项A；根据角度的周期性可判断选项B,

C,D.

【详解】若点「（4,20（4=0）为角6终边上一点，

则当a>OEI寸，sin6>=^;当时，sin0=-^,选项A错误；

55

同时满足sinx=g，cosx=立的角有无数个，此时x=2E+5,选项B错误；

如果角a满足-3兀<a<-|兀，那么角a是第三象限的角，选项C错误；

tanx=-6的解集为{x|x=E-g,%ez},选项D正确；故选D.

2.如果复数z满足|z+l-i|=2,那么|z-2+i|的最大值是（）

A.V13+2B.2+后C.而+夜D.V13+4

A

【分析】由复数z满足|z+l-i|=2可知，其在复平面内对应的点的轨迹为以为

圆心，2为半径的圆，|z-2+i|表示圆上的点与点M（2,-l）的距离，求出|CM|即可.

【详解】复数z满足|z+l-i|=2,表示以C（-1,1）为圆心，2为半径的圆.

|z-2+i|表示圆上的点与点M（2,-1）的距离.

因为|CM|=j32+22=而,所以|z-2+i|的最大值是加+2.

故选：A.

3.关于函数丫=$皿■的判断，正确的是

A.最小正周期为2兀，值域为卜1山，在区间-去］上是单调减函数

B.最小正周期为兀，值域为［-1』，在区间0,］上是单调减函数

C.最小正周期为兀，值域为［0』，在区间（）,］上是单调增函数

D.最小正周期为2兀，值域为［0』，在区间上是单调增函数

C

【详解】y=sin2*的值域为［0,1］,故排除选项A、B,因为、;而/工;1节在的最小

正周期为无，故排除选项D；故选C.

二、填空题

「心〜msina-cosa

4.已知tan。=2,则----------=___________________.

sina+cosa

\_

3

【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切，再将tana=2代入即可求解.

，、工sincr-cosatana-I2-11

【详解】----------=-------;=「•=:，

sma+cosatana+12+13

故答案为.g

5.已知全集。=8：,集合A={x|x4a-1},8={x［x>a+2},C={x|x<0或xN4},且

a，（AuB）=C,求实数。的取值范围.

（^»,2）U［5,+oo）

【分析】利用并集的定义得AU3,从而得dSUB），根据集合包含关系列不等式求解.

【详解】全集。=R,集合A={x|xWa-l},8={x[x>a+2},

所以408={小>4+2或了44-1},

所以电（AuB）={xk-l<x4a+2}.

集合C={4r<0或x"},且药（AuB）±C,

所以。+2<0或

解得av-2或,

即。的范围为(y,2)u[5,+8).

故(YO,2)U[5,+OO)

6.已知x>-l,贝i]y=xH--的最小值为__________-

X+1

1

【分析】利用基本不等式求对勾函数的最小值即可，注意等号成立的条件.

【详解】由题设，x+l>0,

y=xH----=(x+1)H-------1>2./(x+1)------1=1,当且仅当x=0时等号成立，

x+\x+\Vx+1

函数最小值为1.

故1

7.已知复数(a+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数“的值是.

2.

【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为0即

得。的值.

【详解】(a+2/)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)z,

令。-2=0得“=2.

本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

解能力.

8.向量)在向量5方向上的数量投影为-2,且刊=3,则£出=.

-6

【分析】利用投影的定义得到|E|cose=-2,再利用数量积运算即可求得结果.

【详解】根据题意，设万与5的夹角为则M在向量5方向上的数量投影为同cos。，

g|J|i|cos^=-2,

所以"|/?|cos8=-2x3=-6.

故答案为.—6

9.在平面直角坐标系中，设向量m=(6cosA,sinA),〃=(cosB,—0sinB),其中A、

B为AABC的两个内角.若记J.5，则C=.

【分析】由记工3则3〃=0,利用平面向量数量积的坐标公式进行化简，结合诱导公

式，可得答案.

【详解】若m_L〃，则质”，=0，即百cosAcosB-J^sinAsinB=0,

即cos（A+8）=0,即cos（兀-C）=0,则cosC=0,所以C=].

,,n

故彳

10.在正方体A8CO-A4GA中，E、尸分别是棱AA、AB的中点，则异面直线EF和

所成角的大小为.

n

7

【分析】因为E///AQ,又A8〃CR,所以E尸〃CQ,根据异面直线所成角的定义计

算可得.

【详解】在正方体中连接A8、CD,,且C"cCQ=。，

因为E、尸分别是棱A/、A8的中点，

所以EF//A8,又AB〃CD，所以E产〃C2，

所以NC。。即为异面直线E尸和G。所成角的平面角，

因为四边形CDAG为正方形，所以NC0£>=],

TT

所以异面直线收和G。所成角的大小，

11.复数4/2满足:|Z]|=3,|Z2|=4,|Z1+Z2|=5,则|Z/Z2|=

5

【分析】根据给定条件，结合复数模公式计算作答.

【详解】设复数ZI=a+bi,Z2=c+di,a,dc,deR,z,+z2=(a+c)+(b+d)i,

z}-z2=(a-c)+(b-d)if

由闻=3得〃2+22=9,由区|=4得/+/=16,由忆+Z2I=5得(〃+c)2+(b+d)2=25,

因止匕ac+仇/=0,

所以L一z2|二J(〃-c)2+(Z?-d)2=>Ja2+h2-2(ac+bd)+c2+d2=5

故5

12.已知z、。为复数，(l+3i)z为纯虚数，。=/，且同=5亚，则3=.

±(?-0

设z=a+4,由(l+3i)z为纯虚数，求得4=36,再由同=50求得a?+6、250,求解

出。和6,再代入。=白即可求得答案.

【详解】设Z=Q+矶〃,"€/?),

则(1+3，”=(1+3。(4+初)=々-36+(3〃+〃)，，

由题意，得。=3。W0,

z(a+bi)(2-i)(2a+Z?)+(2b-o)i

^-2+7-(2+z)(2-z)—5，

由同=50,得（竽1+（"黄）=卜应y,

解得，/+/=250.

4=15a=-l5

将a=3b代入，解得或

b=5b=-5

代入3=(2"+"(2/7-4)i可得0=±(7-i).

故土（7-i）

本题主要考查复数代数形式的运算，复数模的计算和复数的基本概念，考查学生的转化

和计算能力，属于中档题.

13.在平行四边形ABCD中,AD=1,NBAD=60',E为CD的中点.若前面=1,贝U

AB的长为.

2

【详解】设AB的长为工，因为恁=赤+就，BE=BC+CE，所以前•诙=

(而+丽•辰+国=通反+通在+配：配在=gx+Wc0sl80+1+

X

1-COS120=1,

2

解得X=g,所以AB的长为2

【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识

是解答好本类题目的关键.

14.设函数〃x)=cos"-高®>0),若7(x)4/⑥对任意的实数x都成立，则o

的最小值为.

2

3

【分析】根据题意/(X)取最大值根据余弦函数取最大值条件解得0的表达式,

进而确定其最小值.

【详解】因为卜寸任意的实数X都成立，所以“X)取最大值/

所以匹3-工=2尿也eZ),:.(o=8k+-(keZ),

463

因为0>(),所以当Z=()时•，。取最小值为

函数y=Acos(0x+e)+8(A>0,0>0)的性质

(1)为ax=A+8,ymin=A-B.

(2)周期T=女.

CO

(3)由。田+9=E(&62)求对称轴，最大值对应自变量满足0x+S=2E(ZeZ),最小

值对应自变量满足8+9=/+2版"(ZeZ),

7TTT

(4)由一2+2人5J+2EkeZ)求增区间；由

-7T34

5+2人8+g彳+2氏(丘0求减区间.

15.如图，某公司要在4、8两地连线上的定点C处建造广告牌CO,其中。为顶端，AC

长35米，CB长80米，设点A、8在同一水平面上，从A和5看。的仰角分别为a和夕.施

工完成后，CO与铅垂方向有偏差，现在实测得a=38.12。，4=18.45。，则8的长为

(结果精确到0.01米).

26.93米

【分析】根据正弦定理计算得解.

【详解】设=DA=b,CD=m,则4n汨二180。一2一6=123.43。，

AB115sin38.12°

由正弦定理得一一即Q=«85.06,

smcr~sinZADBsin123.43°

所以，7?=>/802+a2-160«cos18.45°»26.93，所以8的长为26.93米.

故26.93米.

16.如图，在正方体中，A、B、C、。分别是顶点或所在棱的中点，贝IJA、B、C、。四

点共面的图形（填上所有正确答案的序号）.

①③④

【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结

合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据.

图①：证明AB〃EF,CD//EF,可得4B〃C£）；

图③：证明BO〃EF,AC//EF,可得BD〃AC；

图④：证明GH〃EF,AC//EF,BD//GH,可得BD〃AC.

【详解】图①：取GO的中点G连结BF、EF,

:B、尸均为相应边的中点，则：BF/LHG

又；HG//_AE,则8尸上AE即ABFE为平行四边形

：.AB//EF

同理：CD//EF

则AB〃C力即A、B、C、。四点共面，图①正确;

①

图②：显然48与C。异面，图②不正确；

图③：连结AC,B£»,EF,

BE//_DF即BDFE为平行四边形

.,.BD//EF

又；A、C分别为相应边的中点，贝!|AC〃EF

...BO〃AC即A、B、C、。四点共面，图③正确;

图④：连结AC,BDEF,GH,

GE//_HF即GEFH为平行四边形,则GH//EF

又C分别为相应边的中点，则AC〃EF

同理：BD//GH

...8O〃AC即A、B、C、。四点共面，图④正确.

故①③④.

三、解答题

17.已知函数/（力=48$8刈1（8+?）（0>0）的最小正周期为万.

（1）求。的值;

jr

(2)讨论在区间0,-上的单调性.

(1)0=1；(2)/(x)在区间0,J上单调递增，在区间g上单调递减.

【详解】试题分析：(1)根据两角和的正弦公式把sin(0x+?)展开，在利用二倍角公

式即可把“X)化成〃x)=2sin(20x+?)+a,由最小正周期为万及周期公式即可求

得。的值；(2)由[0,1]求得+f4苧，根据正弦函数的图象找出单调区间，解

12」244

TT

出相应X的范围即得了(X)在区间0,-上的单调性.

n4(.71.71

试题解析：(1)/(x)=4costyx-sinGX+—=4costyxsinfyxcos—+cosd;xsin—

4

=2V2COS69X(sinCOX+COS69X)=2V2(cos69%sinCOX4-cos2CDX^=

V2sinIcox4-V2cos2cox+&

=2sin2ox+f+&,的最小正周期为乃，且。＞0,从而==不0=1.

(2)由(1)知，“x)2sin(2s+f]+夜，若04x4工，则生42x+C4红，当

V4J2444

+f时，/(X)递增，当gMZx+gw¥Awxwg时，/(x)递减,

442824482

所以/(X)在区间[o，g]上单调递增，在区间上单调递减.

oJ[_o2_

三角恒等变换及三角函数的性质.

【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题.本题解答

的关键是通过两角和的正弦公式、二倍角公式等把函数/(X)化成“一角一名一次式''形

式的正弦型函数，利用给出的最小正周期求得0;对于给定区间上的单调区间可换元转

化为正弦曲线由其图象求出，也可以求出其在R上的单调区间，通过给火取值，求出与

71

给出的区间0,-的交集来求解.

18.已知z为虚数，且忖=逐，若z2-22为实数.

⑴求复数z；

(2)若z的虚部为正数，且o=z+4sin/i(i为虚数单位，OeR),求。的模的取值范

围.

(l)z=—l+2i或z=—l—2i

(2)[1,737]

【分析】(1)设Z=4+〃i,由|目=石得/+匕2=5,再由z?-25为实数得。=一1，进而

可求得z=—l+2i或z=—l-2i；

(2)由(1)可知z=-l+2i,代入得。=-l+(2+4sin。”，进而求得

同=J16(sine+g］+l,利用换法得到同=J161+gj+l,再利用一元二次函数的图

像的性质即可求得闷的最值，即其取值范围.

【详解】⑴设z=a+〃i(。、人ER且Z?wO,i为虚数单位)，

由|z卜石得力+从=5(*),

又因为z?-2z=(a+6i)--2(a-bi)=a2-b2-2a+2/?(a+l)i为实数，

所以旗a+l)=O,又b/O,所以a=-l.

将a=-l代入(*)解得人=i2.于是z=—l+2i或z=—l-2i.

(2)若z的虚部为正数，由(1)得z=—l+2i,所以。=-l+2i+4sinOi,

g|Jiy=-l+(2+4sin6»)-i,

所以阿=+(2+4sin®)2,即网=Jl61inO+g)+1,

设，=sin8(-lW1),则网=J16,+g)+1,

因为y=16(f+；J+l在-1-1上单调递减，在-；/上单调递增，

所以阿=J16(f+，］+l在代-1，-1上单调递减，在re-1,1上单调递增，

因此所求。的模的取值范围为［1,历］.

19.已知正方体ABCO-A8cA的棱长为2,E、F、G分别是A/、