沪教版九年级数学第二学期中考复习：等腰、直角三角形的存在性问题 讲义设计 （无答案）

直角，等腰的存在性问题

直角三角形

1.直角三角形基本定理

2.存在性问题的基本两法(两点之间距离公式；两线一圆)

3.简化图形，几何标图

类型一：在平面直角坐标系内的直角三角形

1、在直角坐标平面内，。为原点，二次函数^=一/+"+，的图像经过A(-1,0)和点B(O,3),

顶点为P。

(1)求二次函数的解析式及点P的坐标；

(2)如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，

求点Q的坐标。

AV

6-

5-

4-

3B

2-

1-

iii।1।।।।।^

-4-3-2-101234567x

-1,

-2-

-3-

-4,

图7

2、已知点P是函数y(x>0)图像上一点，%_Lx轴于点A,交函数y=，(x>0)图像于点

2x

M,P8_Ly轴于点B,交函数y=，(x>0)图像于点M(点M、N不重合)

X

(1)当点P的横坐标为2时，求AP/WN的面积；

(2)证明：MN/IAB；(如图7)

(3)试问：4。"'能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.

（图7）(备用图)

3、如图所示，抛物线y=-卜一6〃，-(m>0)的顶点为A,直线/：y=-热x-加与y轴交点为

B.

(1)写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)证明点A在直线/上，并求/0A8的度数；

(3)动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、A为顶点的三角形与/

OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

类型二：三角形和四边形中的直角三角形存在性问题

4、已知八4BC中，ZZ?=90°,BC=3,=4,D是边48上一点，DE〃8c交AC于点E,将八修

沿DE翻折得到DE,若△4EC是直角三角形，则AD长为▲.

4

5、如图，在梯形微力中，AD=BC=\Q,tanD=-,E是腰加上一点，且个：龙=1：3.

3

(1)当46：切=1：3时，求梯形4a®的面积；A„

(2)当NABE=/BCE忖,求线段做的长；\

(3)当△腔■是直角三角形时，求边四的长.

D

6、△ABC和ADEF的顶点A与D重合，已知/B=90°-，ZBAC=30°,BC=6,ZFDE=90°,DF=DE=4

(1)如图①，EF与边AC、A8分别交于点G、H,且FG=EH.设诉=Z,在射线OF上取一点P,

记：DP=xa,联结CA设ADPC的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

(2)在(1)的条件下，求当x为何值时PC//Afi；

(3)如图②，先将^DEF绕点。逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持DE边与AC边完全

重合的条件下，使ADEF沿着AC方向移动.当ADEF移动到什么位置时，以线段AD.FC.BC

的长度为边长的二伟形星百的二角刑.

4

7、在△48C中，AB=AC=10,cosfi=-（如图11）,D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在

5

。右边），运动初始时。和8重合，运动至E和C重合时运动终止.过E作EF〃八C交A8于F,联

结。F

（1）若设8D=x,EF=y,求y关于x的函数，并求其定义域；

（2）如果△80F为直角三角形，求ABOF的面积；

备用图

8、在△ABC中，ZBAC=90°,AB<AC,M是BC边的中点，MN工BC交AC于点、N.动点P从点、

8出发，沿射线54以每秒6个长度单位运动，联结MP,同时。从点N出发，沿射线NC以一

定的速度运动，且始终保持MQ_LMP,设运动时间为x秒(%>0).

(1)求证：ABMPs丛NMQ；

(2)若NB=60°,AB=4-73>设的面积为y,求y与x的函数关系式;

(3)判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由.

9、已知△ABC为等边三角形，48=6,P是A8上的一个动点(与

A、B不重合)，过点P作AB的垂线与BC相交于点。，以

点。为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG,其中

D、E在BC上，F在AC上，

(1)设8P的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y

关于x的函数解析式及定义域；

(2)当8P=2时，求CF的长；

(3)AGOP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP

的长；若不能，请说明理由.

10、如图，直角梯形ABCD中，ABWDC,NDA8=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个

单位长的速度，从点A沿线段A8向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点

A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动.过点M作直线/HAD,与折线A-C-B的交点为

Q.点M运动的时间为t（秒）.

（1）当f=0.5时，求线段QM的长；

（2）点M在线段A8上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以,

请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由.

（3）若△PCQ的面积为y,请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围；

二.等腰三角形

1.等腰三角形基础知识

2.三线合一

3.存在性问题的基本两法（两点之间距离公式；两圆一线）

4.与锐角三角比不得不说的故事

5.简化图形，几何标图

类型一.填空压轴

11、在Rt/SABC中，ZACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△RAB为等腰三角形,

则符合条件的点P共有个.

12、在△ABC中，A8=AC,把△ABC折叠，使点8与点A重合，折痕交AB于点交8c于点N.如

果△CAN是等腰三角形，则NB的度数为.

13、如果在AABC中，A8=AC=3,BC=2,那么顶角的正弦值为

类型二：平面直角坐标系中的等腰三角形

14、在直角坐标系中，把点A(—1,a)(。为常数)向右平移4个单位得到点4,经过点A、4的

抛物线丫=以2+法+。与y轴的交点的纵坐标为2.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)设该抛物线的顶点为点P,点8的坐标为(1,相)，且加＜3,若aABP是等腰三角形，求点8

的坐标。“

0-'~~~'>x

图7

15、如图，已知抛物线y=-/+2x+l-机与x轴相交于A、8两点，与y轴相交于点C,其中点

C的坐标是(0,3),顶点为点D,联结CD,抛物线的对称轴与x轴相交于点£.

(1)求m的值；

(2)求NCDE的度数;

(3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P,使得

△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存

在，请说明理由.

类型三：以三角形为背景的等腰三角形存在性问题

16、在RtaABC中，ZA=90,A8=6,AC=8,点。为边的中点，EDA.BC交边

AC于点E,点P为射线A8上一动点，点。为边AC上一动点，且NPDQ=90.

(1)求ED、EC的长；

(2)若3P=2,求CQ的长；

(3)记线段P。与线段OE的交点为点/，若为等腰三角形，求6P的长.

17、如图11,在△△8c中，ZACB=90°,AC=BC=2,M是边AC的中点，CHLBM于H.

(1)试求sMNMCH的值；

(2)求证：NABM=NCAH；

(3)若。是边A8上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为.

（图11）

类型四：以四边形为背景的等腰三角形存在性问题

18、已知：UABCD中,对角线4d8,48=15,4>20,点-为射线先上一动点，/2LAI/(点〃与

点3分别在直线/尸的两侧)，且NPL的NO10,连结,物

(1)当点，"在夕6位内时，如图13,设於x,AP=y,求y关于x的函数关系式，并写出函数的

定义域；

(2)请在图14中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与跖相似的三角形，若存在,

请写出并证明；若不存在，请说明理由；

(3)当为等腰三角形时，求郎的长。

（图13）（图14）

19、如图9,矩形ABCD中，4B=&,点E是BC边上的一个动点，联结AE,过点D作。R_LAE,

垂足为点F.

(1)设8£=x,ZADF的余切值为y,求y关于x的函数解析式；

(2)若存在点E,使得AA8E、AADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5,

试求矩形A8CD的面积；

(3)对(2)中求出的矩形ABCD,联结CF,当8E的长为多少时，ACDF是等腰三角形？

（图9）(备用图)

4

20、已知：如图，直角梯形48co中，AD//BC,ZB=90°,AB=8,4)=12,tanC=-,AM

3

//DC,E、F分别是线段4)、AM上的动点(点E与4。不重合)且设

DE=x，MF=y.

(1)求证：AM=DM^

(2)求y与x的函数关系式并写出定义域；

(3)若点E在边AD上移动时，AERW为等腰三角形，求x的值；

(4)若以为半径的。M和以E。为半径的。E相切，求AEMD的面积.

21、如图10,在直角梯形A8C£＞中，ADUBC,NC=90°,BC=12,AD=18,A8=10.动

点P、。分别从点。、8同时出发，动点P沿射线QA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动

点。在线段5c上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点。运动到点。时，点P随之停止运

动.设运动的时间为f(秒).

(1)当点P在线段D4上运动时，联结5。，若ZABP=ZADB,求f的值；

(2)当点P在线段D4上运动时，若以B。为直径的圆与以A尸为直径的圆外切，求f的值；

(3)设射线P。与射线AB相交于点E,A4EP能否为等腰三角形？如果能，请直接

类型五：以圆为背景的等腰三角形存在性问题

22、已知：O。的直径AB=8,OB与。。相交于点C、D,O。的直径CF与。B相交于

点E,设。B的半径为x,0E的长为y,

（1）如图7,当点E在线段0C上时，求〉关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）当点E在直径CF上时，如果。E的长为3,求公共弦CD的长；

（3）设。8与AB相交于G,试问AOEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出弧BC的长度（不

必写过程）；如果不能，请简要说明理由.

23、在梯形A8CD中，AD//BC,ABA.AD,AB=4,AD=5,CD=5.E为底边8c上一点，以点E为圆心,

BE为半径画。E交直线DE于点F

(1)如图，当点F在线段DE上时，设BE=x,DF=y,试建立y关于x的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围；

(2)当以CD直径的。。与。E与相切时，求x的值；

(3)联接AF、BF,当AABF是以AF为腰的等腰三角形时，求X的值。

24、如图，已知AB是。。的直径，AB=8,点C在半径0A上(点C与点。、A不重合)，过点C作

AB的垂线交。。于点D,联结。。，过点B作。。的平行线交。。于点E、交射线CD于点F

(1)若耘'=£?,求NF的度数；

(2)设CO=x,E/=y,写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

(3)设点C关于直线。。的对称点为P,若^PBE为等腰三角形，求。C的长.

备用图

三.等腰直角三角形

25、在平面直角坐标系中，/XABC的顶点分别是4(-1,0),3(3,0),C(0,2),己知动直线

旷=，成0＜机＜2)与线段4(：、8c分别交于D、E两点，而在X轴上存在点P,使得为等腰

直角三角形，那么m