高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究五导数与不等式综合问题(原卷版+解析)

专题研究五导数与不等式综合问题编写：廖云波题型一导数与三角函数【例1-1】已知，其中．（1）若在处取得极值，求实数的值．（2）若在，上单调递增，求实数的取值范围．【例1-2】已知函数．（1）证明：函数在上单调递增；（2）若，，求的取值范围．归纳总结：【练习1-1】已知．（1）若在上单调，求实数的取值范围；（2）证明：当时，在，上恒成立．题型二导数与数列【例2-1】已知a>0且函数.(1)若，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：.【例2-2】已知函数.证明：(1)当，不等式恒成立；(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）归纳总结：【练习2-1】设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：.题型三同构法解不等式【例3-1】已知函数．(1)求的极值；(2)若对任意的，恒成立，求正实数a的取值范围．【练习3-1】已知函数．(1)设，证明：对，都有恒成立；(2)若，求证：．【请完成课时作业（二十三）】

【课时作业（二十三）】1．函数.(1)当时，求函数的极值；(2)当，且.①证明：有两个极值点；②证明：对任意的.2．已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．3．已知函数，为的导函数．(1)若，证明：曲线与轴相切．(2)证明：对于任意大于1的自然数，不等式恒成立．4．已知函数．(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．5．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．(1)求函数f(x)在区间[]上的最大值；(2)证明：．6．设函数(1)当时，求的值域；(2)当时，，求k的取值范围.专题研究五导数与不等式综合问题编写：廖云波题型一导数与三角函数【例1-1】已知，其中．（1）若在处取得极值，求实数的值．（2）若在，上单调递增，求实数的取值范围．【解析】解：（1），（2分）由可得，；（4分）经检验，满足题意．（5分）（2）函数在单调递增．在上恒成立．（7分）即在上恒成立．即，（10分）．（11分）检验，时，，，仅在处取得．所以满足题意．．（12分）【例1-2】已知函数．（1）证明：函数在上单调递增；（2）若，，求的取值范围．【解析】解：（1）证明：，因为，所以，，于是（等号当且仅当时成立）．故函数在上单调递增．（2）由（1）得在上单调递增，又，所以，（ⅰ）当时，成立．（ⅱ）当时，令，则，当时，，单调递减，又，所以，故时，．由式可得，令，则由式可得令，得在上单调递增，又，，所以存在使得，即时，，所以时，，单调递减，又，所以，即时，，与矛盾．综上，满足条件的的取值范围是，．归纳总结：【练习1-1】已知．（1）若在上单调，求实数的取值范围；（2）证明：当时，在，上恒成立．【解析】解：（1）（1分）若在上单调递增，则当，恒成立，当时，，此时；（4分）若在上单调递减，同理可得（5分）所以的取值范围是（6分）（2）时，（7分）当，时，在上单调递增，在上单调递减，（9分）存在，使得在，上，在，上，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减（11分）故在，上，，，所以在，上恒成立（12分）题型二导数与数列【例2-1】已知a>0且函数.(1)若，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）代入，求导分析导函数的正负，进而确定原函数的单调性即可；（2）求导可得，再分析与1的关系，结合求解即可；（3）根据（2）可得，整理可得，再累加证明即可.(1)代入有，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.(2)因为，，，令有，，当，即时，在上单调递增，故成立.当，即时，在上，单调递减.，不满足.综上有(3)由（2）可得，当时，当时，，即，当时，有，即，即，故，…，累加可得，即，即得证【例2-2】已知函数.证明：(1)当，不等式恒成立；(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）要证不等式成立，即证恒成立，令，利用导数判断单调性求出最值可得答案；（2）由（1）知，令则转化为，利用放缩法和等比数列求和可得答案.(1)要证不等式成立，即证恒成立，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，所以恒成立.(2)由（1）知，令则，所以，即归纳总结：【练习2-1】设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）求导，再分，和三种情况讨论，再根据导函数的符号即可得出答案；（2）由（1）知：当时，在上单调递减，从而有，则有，再令，再利用放缩法及裂项相消法即可得证.(1)解：的定义域为，，令，当时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增，当时，有二正根，，，当，，在和上单调递减，当，，在上单调递增，当时，恒成立，即恒成立，故在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；(2)证明：由（1）知：当时，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时取等号，