高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)10.1.3古典概型(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

10.1.3古典概型（讲义+例题+小练）古典概型的定义：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.2.概率计算公式：A事件发生的概率;例：1．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（

）A． B． C． D．2．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过30的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（

）A． B． C． D．3．抛掷红､黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是___________.4．某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：平均时长（单位：分钟）（0，20]（20，40]（40，60]（60，80]人数921155语文成绩优秀人数39103(1)估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．举一反三1．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（

）A． B． C． D．2．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲､乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为(

)A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.53．有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.4．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量18060120(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自不同地区的概率．巩固提升一、单选题1．中国古乐中的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．若从这五个音阶中任取三个音阶，排成含有三个音阶的一个音序，则这个音序中不含“商”这个音阶的概率为(

)A． B． C． D．2．空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法不正确的是（

）A．这14天中空气质量指数为“优良”的频率为B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从11日到14日空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日3．5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（

）A． B．C． D．4．连续掷2次骰子，先后得到的点数分别为，那么点到原点的距离不超过3的概率为（

）A． B． C． D．5．同时抛掷两粒均匀的骰子，则向上的点数之和小于6的概率是（

）A． B． C． D．6．已知集合，从的至少含有两个元素的所有子集中任取一个集合，记为，则中的元素恰好为连续整数的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题7．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．中国巴西英国墨西哥俄罗斯意大利德国韩国加拿大沙特阿拉伯7.42.07.53.912.66.410.26.215.716.6根据上表，下列结论正确的是（

）A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为8．某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（

）A．中一等奖的概率为 B．中二等奖的概率为 C．中三等奖的概率为 D．没有中奖的概率为三、填空题9．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），则Ⅰ号骰子的点数等于Ⅱ号骰子的点数的概率为______.10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为___________．四、解答题11．对某班名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，，，，在纵轴上对应的高度分别为，，，，，如图所示.(1)求实数的值及这名同学每天参加课外活动的时间的众数；(2)从每天参加活动不少于分钟的人(含男生甲)中任选人，求其中的男生甲被选中的概率.12．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表.成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42．人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b(1)若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；(2)在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．10.1.3古典概型（讲义+例题+小练）古典概型的定义：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.2.概率计算公式：A事件发生的概率;例：1．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用列举法求解，先列出这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况，再找出所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的情况，然后根据古典型的概率公式求解即可【详解】分别为表示冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目，则这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况有：，共10种，其中所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的有：，共7种，所以所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为，故选：D2．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过30的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出随机选取2个不同的数的所有情况，得出其中恰好是一组孪生素数的情况，则可求出概率.【详解】大于3且不超过30的素数有5，7，11，13，17，19，23，29，从中随机选取2个不同的数的情况有（5，7），（5，11），（5，13），（5，17），（5，19），（5，23），（5，29），（7，11），（7，13），（7，17），（7，19），（7，23），（7，29），（11，13），（11，17），（11，19），（11，23），（11，29），（13，17），（13，19），（13，23），（13，29），（17，19），（17，23），（17，29），（19，23），（17，29），（23，29）共28种，其中恰好是一组孪生素数的有（5，7），（11，13），（17，19）共3种，所以恰好是一组孪生素数的概率为.故选：B.3．抛掷红､黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是___________.【答案】【解析】【分析】抛掷红、黄两枚骰子，写出当红色骰子的点数为4或6时有几种，两颗骰子的点数之积大于20的种数有几种，根据概率公式可得答案．【详解】抛掷红、黄两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表黄色骰子，当红色骰子的点数为4或6时有，，，，，，，，，，，共12种，两颗骰子的点数之积大于20的种数有，，，种，根据概率公式得，两颗骰子的点数之积大于20的概率,故答案为：4．某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：平均时长（单位：分钟）（0，20]（20，40]（40，60]（60，80]人数921155语文成绩优秀人数39103(1)估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．【答案】(1)平均数为分钟(2)【解析】【分析】（1）根据平均数的求法，求得平均数.（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.(1)平均数为分钟.(2)区间（60，80]的学生有人，记为，其中为语文成绩优秀，从中任取人，基本事件有：，共种，其中至少有人语文成绩优秀的为：，共种，所以所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率为.举一反三1．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，共有个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为.故选：D2．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲､乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为(

)A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5【答案】C【解析】【分析】采用枚举法即可求解.【详解】将两位运动员编号为A、B，将3个“雪容融”编号为X，将运动员和雪容融随机排成一排，可以是：ABXXX，XABXX，XXABX，XXXAB，BAXXX，XBAXX，XXBAX，XXXBA，AXBXX，BXAXX，XAXBX，XBXAX，XXAXB，XXBXA，AXXBX，BXXAX，XAXXB，XBXXA，AXXXB，BXXXA，共20种排法，其中3个“雪容融”连在一起共有6种.故概率为.故选：C.3．有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可.【详解】解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，基本事件有：，，，，，，共有种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：，，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为.故答案为：4．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量18060120(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自不同地区的概率．【答案】(1)A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是3，1，2(2)【解析】【分析】（1）根据分层抽样的比例，可确定6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（2）列举出6件样品中随机抽取2件的各种可能的情况，再列举出这2件商品来自不同地区的的可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.(1)A，B，C三个地区商品的总数量为180+60＋120＝360，抽样比为,∴样本中包含三个地区的个体数量分别是：180×＝3，60×＝1，120×＝2,∴A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是3，1，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A1，A2，A3；B，；C1，C2．,

则从6件样品中抽取2件商品构成的所有基本事件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B}，{A1，C1}，{A1，C2}，{A2，A3}，{A2，B}，{A2，C1}，{A2，C2}，{A3，B}，{A3，C1}，{A3，C2}，{B，C1}，{B，C2}，{C1，C2}共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自不同地区”，则事件D包含的基本事件有：{A1，B}，{A1，C1}，{A1，C2}，{A2，B}，{A2，C1}，{A2，C2}，{A3，B}，{A3，C1}，{A3，C2}，{B，C1}，{B，C2}共11个．∴P(D)＝，即这2件商品来自不同地区的概率为．巩固提升一、单选题1．中国古乐中的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．若从这五个音阶中任取三个音阶，排成含有三个音阶的一个音序，则这个音序中不含“商”这个音阶的概率为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】采用列举法即可求该古典概型概率问题.【详解】从这五个音阶中任取三个音阶，有：(宫商角)，(宫商徵)，(宫商羽)；(宫角徵)，(宫角羽)；(宫徵羽)；(商角徵)，(商角羽)；(商徵羽)；(角徵羽)；共10个基本事件；其中不含“商”的基本事件有(宫角徵)，(宫角羽)，(宫徵羽)，(角徵羽)共4个；∴这个音序中不含“商”这个音阶的概率为.故选：A.2．空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法不正确的是（

）A．这14天中空气质量指数为“优良”的频率为B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从11日到14日空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日【答案】B【解析】【分析】结合连续14天的空气质量指数趋势图，逐项判断，即可得到结果.【详解】14天中有：1-3日，7日，12-14日共7天空气质量指数为优成良，所以这14天中空气质量指数为“优良”的频率为，故A正确；14天中的中位数为，故B错误；从11日到14日空气质量指数越来越低，故空气质量越来越好，故C正确；观察折线图可知D正确．故选：B．3．5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：5张卡片中卡片上的数字为奇数的有张，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是；故选：C4．连续掷2次骰子，先后得到的点数分别为，那么点到原点的距离不超过3的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】写出满足点到原点的距离不超过3的事件，再写出总的基本事件，利用古典概型即可得到答案.【详解】点到原点的距离不超过3，故点可以为，总事件为36种，故点到原点的距离不超过3的概率为.故选：D.5．同时抛掷两粒均匀的骰子，则向上的点数之和小于6的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】同时抛掷两粒均匀的骰子，总的基本事件有36种，其中向上的点数之和小于6的基本事件为：，共有10种，故向上的点数之和小于6的概率为，故选：C.6．已知集合，从的至少含有两个元素的所有子集中任取一个集合，记为，则中的元素恰好为连续整数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得所有集合的可能，找到满足题意的集合，利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】因为集合中含有2个元素的子集有如下10个：其中元素是连续整数的有4个，是含有3个元素的子集有如下10个：，其中元素是连续整数的有3个，是含有个元素的子集有5个，其中元素是连续整数的有2个，是.含有个元素的子集有1个，是，其满足元素是连续整数.即的所有可能有：26种，满足元素是连续整数的有10种.故满足题意的概率.故选：A.二、多选题7．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．中国巴西英国墨西哥俄罗斯意大利德国韩国加拿大沙特阿拉伯7.42.07.53.912.66.410.26.215.716.6根据上表，下列结论正确的是（

）A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，最大值减去最小值即为极值；B选项，数据按照从小到大排列，找到处于中间位置的两个，两个的平均数即为中位数；C选项，利用分位数的定义进行求解；D选项，列举法求解古典概型的概率.【详解】，A正确；按照从小到大的顺序进行排列：2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，处于中间位置的第5和第6分别为7.4，7.5，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为，B正确；为整数，所以10个数的30%分位数是，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.3吨，C错误；人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区有4个，随机抽取两个进行访谈，一共出现的情况有：（德国，俄罗斯），（德国，加拿大），（德国，沙特阿拉伯），（俄罗斯，加拿大），（俄罗斯，沙特阿拉伯），（加拿大，沙特阿拉伯），共有6种情况，其中俄罗斯被抽到的情况有3种，故被抽中的概率为，D正确.故选：ABD8．某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（

）A．中一等奖的概率为 B．中二等奖的概率为 C．中三等奖的概率为 D．没有中奖的概率为【答案】AC【解析】【分析】根据题意，求得所有可能的情况个数，再针对每个选项求得对应的情况个数，利用古典概型的概率公式即可求得结果.【详解】根据题意，所有可能的情况为，对：其中满足的情况为，，，有6种情况，即同时为，且，故发生的概率，故选项A正确；对：满足的情况，当，，有6种情况，即同时为，且；当，有10种情况，即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，故发生的概率，故选项B错误；对：满足的情况，当，，有6种情况，即同时为，且，当，有10种情况；即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，当，有8种情况，即分别为或或或以及分别为或或或，且，故可得发生的概率，故选项C正确；对：没有中奖的概率为，故选项D错误．故选：AC．三、填空题9．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），则Ⅰ号骰子的点数等于Ⅱ号骰子的点数的概率为______.【答案】【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】记Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数为，则所有的基本事件构成的集合为：，该集合中共有36个基本事件，Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数相等时对应的基本事件的集合为，记为为“Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数相等”，则，故答案为：.10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为